Problemas de aritmética comercial resueltos por ecuaciones
Algunos problemas sobre cuestiones de aritmética comercial pueden tratarse mediante sistemas de ecuaciones.
Problema XXXI. Problema de interés
Un capital ha sido colocado al 6 % anual durante 3 años y 5 meses. Sabiendo que la suma del capital y de los intereses asciende, al cabo de ese tiempo, a pesos 4506,70, averiguar cuál es el capital y cuál es el interés.
Datos
- Tiempo: 3 años y 5 meses = 41 meses.
- Tasa: 6 % anual.
- Capital más interés: pesos 4506,70.
Planteo
Sea x el capital e y el interés.
$$
x+y=4506,70
$$
Como el interés simple, con tiempo expresado en meses, se calcula mediante:
$$
y=\frac{x\cdot41\cdot6}{1200}
$$
Resulta:
$$
1200y=246x
$$
$$
246x-1200y=0
$$
Entonces el sistema es:
$$
\begin{cases}
246x-1200y=0\\
x+y=4506,70
\end{cases}
$$
Resolución
De la segunda ecuación:
$$
y=4506,70-x
$$
Sustituyendo en la primera:
$$
246x-1200(4506,70-x)=0
$$
$$
246x-5.408.040+1200x=0
$$
$$
1446x=5.408.040
$$
$$
x=3740
$$
Calculando el interés:
$$
y=4506,70-3740
$$
$$
y=766,70
$$
Comprobación
$$
3740+766,70=4506,70
$$
$$
i=\frac{3740\cdot41\cdot6}{1200}=766,70
$$
Respuesta
El capital era de pesos 3740 y el interés obtenido fue de pesos 766,70.
Problema XXXII. Problema de descuento
Un pagaré fue descontado al 5 % anual, 45 días antes de su vencimiento. Sabiendo que se recibieron por dicho documento pesos 4720,32, averiguar cuál era su valor nominal y cuál fue el descuento sufrido.
Datos
- Tasa: 5 % anual.
- Tiempo: 45 días.
- Valor recibido: pesos 4720,32.
Planteo
Sea x el valor nominal del documento e y el descuento.
$$
x-y=4720,32
$$
El descuento comercial, con tiempo expresado en días, se calcula mediante:
$$
y=\frac{x\cdot45\cdot5}{36000}
$$
Resulta:
$$
36000y=225x
$$
$$
225x-36000y=0
$$
Entonces el sistema es:
$$
\begin{cases}
225x-36000y=0\\
x-y=4720,32
\end{cases}
$$
Resolución
De la segunda ecuación:
$$
x=4720,32+y
$$
Sustituyendo:
$$
225(4720,32+y)-36000y=0
$$
$$
1.062.072+225y-36000y=0
$$
$$
35775y=1.062.072
$$
$$
y=29,68
$$
Calculando el valor nominal:
$$
x=4720,32+29,68
$$
$$
x=4750
$$
Comprobación
$$
4750-29,68=4720,32
$$
$$
d=\frac{4750\cdot45\cdot5}{36000}=29,68
$$
Respuesta
El valor nominal del pagaré era de pesos 4750 y el descuento sufrido fue de pesos 29,68.
Problema XXXIII. Problema de repartición proporcional
Repartir el número 840 en partes proporcionales a 8, 10 y 12.
Planteo
Sean x, y y z los números buscados.
$$
\frac{x}{8}=\frac{y}{10}=\frac{z}{12}
$$
Además:
$$
x+y+z=840
$$
De estas condiciones se obtiene el sistema:
$$
\begin{cases}
\frac{x}{8}=\frac{y}{10}\\
\frac{y}{10}=\frac{z}{12}\\
x+y+z=840
\end{cases}
$$
Transformándolo:
$$
\begin{cases}
10x-8y=0\\
12y-10z=0\\
x+y+z=840
\end{cases}
$$
Resolución
Como las partes son proporcionales a 8, 10 y 12, podemos escribir:
$$
x=8k
$$
$$
y=10k
$$
$$
z=12k
$$
Sustituyendo en la suma:
$$
8k+10k+12k=840
$$
$$
30k=840
$$
$$
k=28
$$
Entonces:
$$
x=8\cdot28=224
$$
$$
y=10\cdot28=280
$$
$$
z=12\cdot28=336
$$
Comprobación
$$
224+280+336=840
$$
$$
\frac{224}{8}=\frac{280}{10}=\frac{336}{12}=28
$$
Respuesta
Las partes proporcionales son 224, 280 y 336.
Problema XXXIV. Problema de regla de compañía
A, B y C formaron una compañía. A puso pesos 400 por 6 años, B puso pesos 600 por 5 años y C puso pesos 1400 por 1 año. Habiéndose obtenido una pérdida de pesos 1500, ¿cuánto perdió cada uno?
Datos
- A puso pesos 400 durante 6 años.
- B puso pesos 600 durante 5 años.
- C puso pesos 1400 durante 1 año.
- Pérdida total: pesos 1500.
Planteo
Las pérdidas deben repartirse proporcionalmente a los productos del capital por el tiempo.
$$
400\cdot6=2400
$$
$$
600\cdot5=3000
$$
$$
1400\cdot1=1400
$$
Sean x, y y z las pérdidas correspondientes a A, B y C.
$$
\frac{x}{2400}=\frac{y}{3000}=\frac{z}{1400}
$$
Además:
$$
x+y+z=1500
$$
Resolución
Escribimos:
$$
x=2400k
$$
$$
y=3000k
$$
$$
z=1400k
$$
Sustituyendo en la suma:
$$
2400k+3000k+1400k=1500
$$
$$
6800k=1500
$$
$$
k=\frac{1500}{6800}
$$
Entonces:
$$
x=2400\cdot\frac{1500}{6800}=529,41
$$
$$
y=3000\cdot\frac{1500}{6800}=661,76
$$
$$
z=1400\cdot\frac{1500}{6800}=308,82
$$
Comprobación
$$
529,42+661,76+308,82=1500
$$
Y las pérdidas son proporcionales a los productos capital por tiempo:
$$
\frac{529,42}{2400}\approx\frac{661,76}{3000}\approx\frac{308,82}{1400}
$$
Respuesta
A perdió pesos 529,42, B perdió pesos 661,76 y C perdió pesos 308,82.
Problema XXXV. Problema de regla de mezcla inversa
Un almacenero desea mezclar vino de pesos 9 el litro con otro de clase inferior de pesos 5,50 el litro, de modo que el precio de la mezcla resulte de pesos 7 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben tomarse para obtener 700 litros de mezcla?
Datos
- Vino de pesos 9 el litro: x litros.
- Vino de pesos 5,50 el litro: y litros.
- Precio de la mezcla: pesos 7 el litro.
- Cantidad total: 700 litros.
Planteo
El precio total de la mezcla debe ser igual a la suma de los precios de las sustancias componentes.
El valor total de la mezcla es:
$$
7\cdot700=4900
$$
Entonces:
$$
9x+5,50y=4900
$$
Además:
$$
x+y=700
$$
Por lo tanto, el sistema es:
$$
\begin{cases}
9x+5,50y=4900\\
x+y=700
\end{cases}
$$
Resolución
De la segunda ecuación:
$$
x=700-y
$$
Sustituyendo:
$$
9(700-y)+5,50y=4900
$$
$$
6300-9y+5,50y=4900
$$
$$
-3,50y=-1400
$$
$$
y=400
$$
Entonces:
$$
x=700-400=300
$$
Comprobación
$$
300+400=700
$$
$$
9\cdot300+5,50\cdot400=2700+2200=4900
$$
$$
7\cdot700=4900
$$
Respuesta
Deben mezclarse 300 litros de vino de pesos 9 el litro con 400 litros de vino de pesos 5,50 el litro.
Descuento racional o matemático
Habíamos visto que el descuento que debe hacerse a un documento es igual al interés simple del valor nominal del mismo, producido en el tiempo que falta para pagar el vencimiento.
Este descuento, llamado descuento comercial, no es, sin embargo, equitativo, pues toma como capital el valor nominal del documento en lugar de tomar el valor efectivo del mismo en el momento que se quiere descontar.
Por esta razón existe otro descuento, llamado descuento racional o descuento matemático.
Definición
Se llama descuento racional de un documento al interés simple del valor efectivo del mismo, producido en el tiempo que falta para pagar el vencimiento.
Descuento racional o matemático
Llamando Dr al descuento racional de un documento cuyo valor efectivo es V, resulta:
$$
D_r=\frac{V\cdot r\cdot n}{36000}
$$
Como generalmente no se conoce el valor efectivo de un documento sino su valor nominal, interesa expresar el descuento racional y el valor efectivo en función del valor nominal.
Problema XXXVI. Fórmula del descuento racional y del valor efectivo en función del valor nominal
¿Cuál es el descuento racional Dr y cuál es el valor efectivo V de un pagaré de valor nominal N, descontado n días antes de su vencimiento al r % anual?
Datos
Valor nominal: N
Tasa anual: r
Tiempo: n días
Incógnitas
Descuento racional: Dr
Valor efectivo: V
Planteo
El valor efectivo es la diferencia entre el valor nominal y el descuento:
$$
V=N-D_r
$$
Y además:
$$
D_r=\frac{Vrn}{36000}
$$
Tomando:
$$
D_r=x
$$
$$
V=y
$$
Se obtiene el sistema:
$$
\begin{cases}
y=N-x\\
x=\dfrac{yrn}{36000}
\end{cases}
$$
o bien:
$$
\begin{cases}
x+y=N\\
36000x-rny=0
\end{cases}
$$
Resolución
Resolviendo el sistema:
$$
D_r=\frac{Nrn}{36000+rn}
$$
$$
V=\frac{36000N}{36000+rn}
$$
Resultado
Las fórmulas generales del descuento racional y del valor efectivo son:
$$
D_r=\frac{Nrn}{36000+rn}
$$
$$
V=\frac{36000N}{36000+rn}
$$
cuando el tiempo n está expresado en días.
Fórmula de la tasa y del tiempo
Despejando la tasa anual r:
$$
r=\frac{36000D_r}{Vn}
$$
Despejando el tiempo n:
$$
n=\frac{36000D_r}{Vr}
$$
Problema XXXVII. Descuento racional de un pagaré
¿Cuál será el descuento racional de un pagaré de pesos 4750 y cuál su valor efectivo si es descontado al 5 % anual, 45 días antes de su vencimiento?
Datos
- N = 4750
- r = 5 %
- n = 45 días
Fórmula
$$
D_r=\frac{Nrn}{36000+rn}
$$
Resolución
$$
D_r=
\frac{4750\cdot5\cdot45}
{36000+45\cdot5}
$$
$$
D_r=
\frac{1068750}{36225}
$$
$$
D_r\approx29,50
$$
Valor efectivo:
$$
V=N-D_r
$$
$$
V=4750-29,50
$$
$$
V=4720,50
$$
Respuesta
Descuento racional: pesos 29,50
Valor efectivo: pesos 4720,50
Problema XXXVIII. Tiempo de descuento racional
¿Con cuántos días de anticipación fue descontado un pagaré de pesos 2342 al 5 %, si el descuento racional fue de pesos 42?
Datos
Resolución
Primero calculamos el valor efectivo:
$$
V=N-D_r
$$
$$
V=2342-42
$$
$$
V=2300
$$
Aplicamos:
$$
n=\frac{36000D_r}{Vr}
$$
$$
n=
\frac{36000\cdot42}
{2300\cdot5}
$$
$$
n=131,47
$$
En la práctica comercial se toma la parte entera:
$$
n=131\;días
$$
Equivalente aproximadamente a:
4 meses y 11 días.
Comparación analítica del descuento comercial y racional
Las fórmulas son:
$$
D_c=\frac{Nrn}{36000}
$$
$$
D_r=\frac{Nrn}{36000+rn}
$$
Como ambos tienen el mismo numerador y el denominador de la primera expresión es menor que el de la segunda:
$$
D_c>D_r
$$
Por lo tanto, el descuento comercial siempre resulta mayor que el descuento racional.
La diferencia entre ambos es:
$$
D_c-D_r=
\frac{Nrn}{36000}
-
\frac{Nrn}{36000+rn}
$$
Operando:
$$
D_c-D_r=
D_c\cdot
\frac{rn}{36000+rn}
$$
También puede escribirse:
$$
D_c-D_r=
D_r\cdot
\frac{rn}{36000}
$$
Conclusión
La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de un documento es igual al descuento racional aplicado al descuento comercial del mismo documento.
Problema XXXIX. Diferencia entre descuento comercial y racional
¿Cuál es la diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de un pagaré de pesos 1850, descontado 60 días antes de su vencimiento al 6 % anual?
Resolución
Calculamos primero el descuento comercial:
$$
D_c=\frac{1850\cdot6\cdot60}{36000}
$$
$$
D_c=18,50
$$
Aplicando la fórmula de la diferencia:
$$
D_c-D_r=
\frac{D_c\cdot r\cdot n}
{36000+r\cdot n}
$$
$$
D_c-D_r=
\frac{18,50\cdot60\cdot6}
{36000+60\cdot6}
$$
$$
D_c-D_r=
\frac{6660}{36360}
$$
$$
D_c-D_r\approx0,18
$$
Respuesta
La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional es de
pesos 0,18.
Problema XL. Diferencia entre descuentos para un documento de valor nominal N
¿Cuál es la diferencia entre el descuento comercial y el racional de un documento de valor nominal N, descontado 90 días antes de su vencimiento al 8 % anual?
Resolución
El descuento comercial es:
$$
D_c=\frac{N\cdot8\cdot90}{36000}
$$
$$
D_c=\frac{N}{50}
$$
La diferencia entre ambos descuentos resulta:
$$
D_c-D_r=
\frac{D_c\cdot8\cdot90}
{36000+8\cdot90}
$$
Sustituyendo:
$$
D_c-D_r=
\frac{\frac{N}{50}\cdot720}
{36720}
$$
$$
D_c-D_r=
\frac{N\cdot720}
{1836000}
$$
$$
D_c-D_r=
\frac{N}{2550}
\approx
\frac{N}{2500}
$$
Por lo tanto:
$$
D_c-D_r \approx 0,0004\,N
$$
Interpretación
Este resultado muestra que, aun cuando la tasa considerada es relativamente elevada, la diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional es pequeña. En este caso no alcanza a cuatro diezmilésimos del valor nominal del documento.
Por esta razón, y debido a que el descuento comercial es más sencillo de calcular, ha sido adoptado de manera general en las operaciones comerciales corrientes para documentos emitidos a plazos y tasas habituales.
Cuando los plazos son muy extensos (por ejemplo, varios años), suele emplearse el descuento basado en interés compuesto, tema que corresponde a estudios posteriores de matemática financiera.
Conclusiones del tema
- El descuento comercial siempre es mayor que el descuento racional.
- El descuento racional se calcula sobre el valor efectivo del documento.
- El descuento comercial se calcula sobre el valor nominal.
- Para operaciones comerciales corrientes se utiliza habitualmente el descuento comercial por su simplicidad de cálculo.
- La diferencia entre ambos descuentos suele ser pequeña para los plazos y tasas usuales.
- En operaciones financieras de larga duración se emplean métodos basados en interés compuesto.
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