Problema 5: Movimiento de un tren
La rapidez \(v\) de un tren que viaja entre dos estaciones \(A\) y \(B\), unidas por una vía recta, está representada en función del tiempo. El tren parte de \(A\) en \(t=0\) con aceleración constante positiva \(\alpha\). Luego, a partir del instante \(t=t_m\), desacelera con aceleración constante \(\beta\), donde \(\beta<0\). En \(t=T\), el tren se detiene en la estación \(B\).
1. Velocidad durante la primera etapa
Durante la primera parte del movimiento, el tren acelera uniformemente desde el reposo. Por lo tanto, su velocidad es:
\[
v=\alpha t
\]
De modo que el valor que corresponde al casillero a es:
\[
\boxed{a=\alpha t}
\]
2. Velocidad durante la segunda etapa
Después del instante \(t=t_m\), el tren desacelera con aceleración constante \(\beta\). La expresión general de la velocidad es:
\[
v=\beta t+c
\]
Como la velocidad debe ser continua en \(t=t_m\), se cumple:
\[
\alpha t_m=\beta t_m+c
\]
Despejando \(c\):
\[
c=(\alpha-\beta)t_m
\]
Entonces:
\[
\boxed{b=\alpha-\beta}
\]
La velocidad para \(t>t_m\) queda:
\[
v=\beta t+(\alpha-\beta)t_m
\]
También puede escribirse:
\[
v=\beta(t-t_m)+\alpha t_m
\]
Por lo tanto:
\[
\boxed{c=\alpha t_m}
\]
3. Relación entre \(t_m\) y \(T\)
Como el tren se detiene en \(t=T\), se cumple:
\[
v(T)=0
\]
Usando:
\[
v=\beta(T-t_m)+\alpha t_m
\]
resulta:
\[
0=\beta(T-t_m)+\alpha t_m
\]
\[
0=\beta T-\beta t_m+\alpha t_m
\]
\[
(\alpha-\beta)t_m=-\beta T
\]
\[
t_m=\frac{\beta}{\beta-\alpha}T
\]
Por lo tanto:
\[
\boxed{d=\frac{\beta}{\beta-\alpha}}
\]
4. Distancia recorrida hasta \(t_m\)
Sea \(s\) la distancia entre la estación \(A\) y la posición del tren. Para \(t<t_m\), el movimiento es uniformemente acelerado desde el reposo:
\[
s=\frac{1}{2}\alpha t^2
\]
Entonces:
\[
\boxed{e=\frac{1}{2}\alpha t^2}
\]
5. Distancia recorrida después de \(t_m\)
Para \(t>t_m\), la posición se calcula tomando como referencia la distancia ya recorrida hasta \(t_m\), más el desplazamiento posterior con aceleración \(\beta\):
\[
s=\frac{1}{2}\beta(t-t_m)^2+\alpha t_m(t-t_m)+d_0
\]
donde \(d_0\) es la distancia recorrida hasta \(t=t_m\):
\[
d_0=\frac{1}{2}\alpha t_m^2
\]
Por lo tanto:
\[
\boxed{f=\frac{1}{2}\beta}
\]
\[
\boxed{g=\alpha t_m}
\]
\[
\boxed{h=\frac{1}{2}\alpha t_m^2}
\]
6. Relación entre la distancia total \(L\) y el tiempo total \(T\)
Sea \(L\) la distancia entre las estaciones \(A\) y \(B\). Como \(s=L\) cuando \(t=T\), usamos:
\[
L=\frac{1}{2}\beta(T-t_m)^2+\alpha t_m(T-t_m)+\frac{1}{2}\alpha t_m^2
\]
Al sustituir:
\[
t_m=\frac{\beta}{\beta-\alpha}T
\]
se obtiene:
\[
\frac{L}{T^2}=\frac{\alpha\beta}{2(\beta-\alpha)}
\]
Por lo tanto:
\[
\boxed{i=\frac{\alpha\beta}{2(\beta-\alpha)}}
\]
7. Cálculo numérico del tiempo total
Datos:
- \(L=1,8\,\text{km}=1800\,\text{m}\)
- \(\alpha=0,20\,\text{m/s}^2\)
- \(\beta=-0,80\,\text{m/s}^2\)
De la relación anterior:
\[
\frac{L}{T^2}=\frac{\alpha\beta}{2(\beta-\alpha)}
\]
Despejando \(T\):
\[
T=\sqrt{\frac{2(\beta-\alpha)L}{\alpha\beta}}
\]
Reemplazando:
\[
T=\sqrt{\frac{2(-0,80-0,20)\cdot 1800}{0,20(-0,80)}}
\]
\[
T=\sqrt{\frac{-3600}{-0,16}}
\]
\[
T=\sqrt{22500}
\]
\[
T=150\,\text{s}
\]
Por lo tanto:
\[
\boxed{j=150\,\text{s}}
\]
Respuestas finales
- \(\boxed{a=\alpha t}\)
- \(\boxed{b=\alpha-\beta}\)
- \(\boxed{c=\alpha t_m}\)
- \(\boxed{d=\dfrac{\beta}{\beta-\alpha}}\)
- \(\boxed{e=\dfrac{1}{2}\alpha t^2}\)
- \(\boxed{f=\dfrac{1}{2}\beta}\)
- \(\boxed{g=\alpha t_m}\)
- \(\boxed{h=\dfrac{1}{2}\alpha t_m^2}\)
- \(\boxed{i=\dfrac{\alpha\beta}{2(\beta-\alpha)}}\)
- \(\boxed{j=150\,\text{s}}\)
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