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Desarrollo: momentos y ley de la palanca
Momento de las fuerzas P y R
En una palanca, el momento de una fuerza depende de la fuerza aplicada y de la distancia perpendicular desde el punto de apoyo hasta la línea de acción de dicha fuerza.
Si el punto de apoyo es A, el brazo de palanca es la perpendicular trazada desde ese punto hasta la dirección de la fuerza.
Por lo tanto:
$$
M = F \times d
$$
donde:
- M: momento de la fuerza.
- F: fuerza aplicada.
- d: brazo de palanca.
Momento de una fuerza
El momento de una fuerza es el producto de la fuerza por su brazo de palanca.
$$
Momento = Fuerza \times Brazo
$$
En una palanca:
$$
M_P = P \times p
$$
$$
M_R = R \times r
$$
Ley de la palanca
Una palanca está en equilibrio cuando el momento de la potencia es igual al momento de la resistencia.
$$
P \times p = R \times r
$$
Esto significa que una fuerza menor puede equilibrar una fuerza mayor si actúa con un brazo de palanca más largo.
Teorema de los momentos
Dos fuerzas aplicadas sobre una palanca se equilibran cuando están en razón inversa a la longitud de sus brazos.
Si una palanca tiene brazos desiguales, se cumple:
$$
\frac{P}{R} = \frac{AB}{AC}
$$
También puede escribirse:
$$
P \times AC = R \times AB
$$
Por lo tanto, si el punto de apoyo está en el centro:
$$
AC = AB
$$
habrá equilibrio cuando:
$$
P = R
$$
La palanca como sistema conservativo de energía
La palanca puede considerarse una aplicación del principio de conservación de la energía mecánica.
El trabajo realizado por la potencia es igual al trabajo realizado sobre la resistencia:
$$
P \times A'a = R \times B'b
$$
De la semejanza de triángulos se obtiene:
$$
\frac{B'b}{A'a} = \frac{BO}{AO}
$$
Entonces:
$$
\frac{P}{R} = \frac{BO}{AO}
$$
Finalmente:
$$
P \times AO = R \times BO
$$
Por lo tanto:
$$
Momento\ de\ la\ Potencia = Momento\ de\ la\ Resistencia
$$
Problema de aplicación
El brazo de la potencia de una válvula de seguridad mide:
$$
p = 2 \ cm = 0,02 \ m
$$
La superficie de la base de la válvula es:
$$
S = 2 \ cm^2
$$
La presión es de:
$$
10 \ atm
$$
Como:
$$
1 \ atm = 1,033 \ Kg/cm^2
$$
La fuerza producida por el vapor será:
$$
P = 1,033 \times 2 \times 10
$$
$$
P = 20,66 \ Kg
$$
Aplicamos la ley de la palanca:
$$
P \times p = R \times r
$$
Sustituyendo:
$$
20,66 \times 0,02 = 1 \times x
$$
$$
x = 0,413 \ m
$$
Respuesta: la pesa de 1 Kg debe colocarse a una distancia de:
$$
\boxed{0,413 \ m}
$$
medida desde el punto de apoyo A.
Rozamiento: conceptos teóricos y problemas
Concepto de rozamiento
El rozamiento es la resistencia que opone un cuerpo a deslizarse o rodar sobre otro.
Cuando se transporta una carga horizontalmente, la gravedad no produce trabajo útil para moverla, porque el centro de gravedad no sube ni baja. Por eso, el esfuerzo principal consiste en vencer el rozamiento.
La fuerza de rozamiento depende de la presión normal y del coeficiente de rozamiento:
$$
R = f \times N
$$
donde:
- R: fuerza de rozamiento.
- f: coeficiente de rozamiento.
- N: presión normal o peso del cuerpo.
Coeficiente de rozamiento
El coeficiente de rozamiento indica qué parte del peso del cuerpo debe vencerse para lograr el movimiento.
Despejando de la fórmula:
$$
f = \frac{R}{N}
$$
Leyes principales del rozamiento
- El rozamiento es proporcional a la presión normal.
- El rozamiento es independiente de la extensión de las superficies en contacto.
- El coeficiente de rozamiento depende del estado de las superficies y de la lubricación.
- El rozamiento de rodadura es menor que el rozamiento de deslizamiento.
- El rozamiento es mayor al iniciar el movimiento que durante el movimiento uniforme.
Problema
Para arrastrar una piedra de 50 Kg sobre un piso horizontal se necesita un esfuerzo de 2 Kg.
Calcular el coeficiente de rozamiento.
Datos:
- Peso o presión normal: $$N = 50 \ Kg$$
- Fuerza de rozamiento: $$R = 2 \ Kg$$
Aplicamos:
$$
R = f \times N
$$
Despejamos:
$$
f = \frac{R}{N}
$$
Sustituimos:
$$
f = \frac{2}{50}
$$
$$
f = 0,04
$$
Respuesta: el coeficiente de rozamiento es:
$$
\boxed{f = 0,04}
$$
Problema
¿Qué fuerza será necesaria para arrastrar un vagón de ferrocarril de 4 toneladas, si el coeficiente de rozamiento es 0,01?
Datos:
- Peso del vagón: $$N = 4 \ toneladas = 4000 \ Kg$$
- Coeficiente de rozamiento: $$f = 0,01$$
Aplicamos la fórmula:
$$
R = f \times N
$$
Sustituimos:
$$
R = 0,01 \times 4000
$$
$$
R = 40 \ Kg
$$
Respuesta: será necesaria una fuerza de:
$$
\boxed{40 \ Kg}
$$
para arrastrar el vagón en movimiento horizontal, despreciando otras resistencias adicionales.
Plano inclinado: conceptos teóricos y problemas
Plano inclinado
El plano inclinado es una máquina simple que forma con la horizontal un ángulo agudo:
$$
\alpha
$$
Su función es permitir elevar o descender cuerpos con menor esfuerzo que levantándolos verticalmente.
Ejemplos:
- Rampas.
- Cuestas.
- Tejados inclinados.
- Tablas inclinadas.
- Caminos en pendiente.
Elementos del plano inclinado
- a: longitud del plano inclinado.
- b: base horizontal.
- c: altura vertical.
- \(\alpha\): ángulo de inclinación.
La inclinación puede expresarse mediante:
$$
\tan \alpha = \frac{c}{b}
$$
y también:
$$
\sin \alpha = \frac{c}{a}
$$
Descomposición del peso
El peso del cuerpo:
$$
G
$$
puede descomponerse en dos componentes:
- N: perpendicular al plano, llamada normal.
- F: paralela al plano, responsable del deslizamiento.
Por semejanza de triángulos:
$$
N = G \times \frac{b}{a}
$$
y:
$$
F = G \times \frac{c}{a}
$$
Como:
$$
\frac{c}{a} = \sin \alpha
$$
entonces:
$$
F = G \sin \alpha
$$
Rozamiento en el plano inclinado
Si existe rozamiento:
$$
R = f \times N
$$
donde:
- R: fuerza de rozamiento.
- f: coeficiente de rozamiento.
- N: reacción normal.
Para mover el cuerpo cuesta arriba debe vencerse:
- La componente del peso paralela al plano.
- El rozamiento.
Plano inclinado como sistema conservativo de energía
El plano inclinado también cumple el principio de conservación de la energía mecánica.
Fig. Momento en el plano inclinado
El trabajo realizado por la fuerza exterior:
$$
P \times CB
$$
es igual al aumento de energía potencial:
$$
R \times AB
$$
Por lo tanto:
$$
P \times CB = R \times AB
$$
y:
$$
\frac{P}{R} = \frac{AB}{CB}
$$
Como:
$$
\frac{AB}{CB} = \sin \alpha
$$
se obtiene:
$$
P = G \sin \alpha
$$
Demostrar que en el plano inclinado:
$$
P = G \sin \alpha
$$
Aplicando el principio de conservación de la energía:
$$
P \times CB = R \times AB
$$
Dividiendo ambos miembros por:
$$
R \times CB
$$
queda:
$$
\frac{P}{R} = \frac{AB}{CB}
$$
Pero:
$$
\frac{AB}{CB} = \sin \alpha
$$
Entonces:
$$
\frac{P}{R} = \sin \alpha
$$
Como:
$$
R = G
$$
se obtiene finalmente:
$$
P = G \sin \alpha
$$
¿Cuál es la fuerza que mantiene una piedra de 100 Kg sobre un plano inclinado a:
$$
30^\circ
$$
Aplicamos:
$$
P = G \sin \alpha
$$
Datos:
- $$G = 100 \ Kg$$
- $$\alpha = 30^\circ$$
- $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$
Sustituyendo:
$$
P = 100 \times \frac{1}{2}
$$
$$
P = 50 \ Kg
$$
Respuesta: la fuerza necesaria es:
$$
\boxed{50 \ Kg}
$$
Un plano inclinado forma con la horizontal un ángulo de:
$$
45^\circ
$$
¿Qué esfuerzo será necesario para impedir que resbale una bordalesa de:
$$
200 \ Kg
$$
si el coeficiente de rozamiento es:
$$
f = 0,1
$$
1. Cálculo de las componentes
Como el ángulo es de:
$$
45^\circ
$$
las componentes normal y paralela son iguales:
$$
F = N
$$
Aplicando Pitágoras:
$$
N^2 + F^2 = G^2
$$
$$
2F^2 = 200^2
$$
$$
2F^2 = 40000
$$
$$
F^2 = 20000
$$
$$
F = \sqrt{20000}
$$
$$
F = 141,40 \ Kg
$$
2. Cálculo del rozamiento
Aplicamos:
$$
R = f \times N
$$
Como:
$$
N = 141,40 \ Kg
$$
entonces:
$$
R = 0,1 \times 141,40
$$
$$
R = 14,14 \ Kg
$$
3. Fuerza necesaria
El esfuerzo necesario para impedir el deslizamiento será:
$$
F - R
$$
Sustituyendo:
$$
141,40 - 14,14
$$
$$
127,26 \ Kg
$$
Aproximando:
$$
\boxed{128 \ Kg}
$$
Respuesta: se necesitará aproximadamente una fuerza de:
$$
128 \ Kg
$$
para impedir que la bordalesa resbale sobre el plano inclinado.
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