Arquímedes

Arquímedes, el renombrado matemático e innovador de la antigua Grecia, nació alrededor del 287 a.C. en Siracusa, Sicilia (Italia). Es de gran importancia por su descubrimiento sobre la conexión entre el área superficial y el volumen de una esfera y el cilindro que la engloba. Arquímedes es famoso por establecer el principio hidroestático, ampliamente conocido como el principio de Arquímedes, y por inventar un mecanismo de elevación de agua que aún se emplea hoy en día, comúnmente denominado tornillo de Arquímedes. Sus contribuciones a las matemáticas y la ingeniería siguen siendo altamente valoradas e influyentes. Arquímedes falleció en 212/211 a.C. en Siracusa.

Su biografía

Es probable que Arquímedes haya residido en Egipto al inicio de su vida profesional, pero vivió principalmente en Siracusa, la principal ciudad-estado griega ubicada en Sicilia. Mantuvo una relación cercana con el rey Hierón II de Siracusa. Arquímedes compartió sus trabajos mediante correspondencia con matemáticos prominentes de su tiempo, como Conón de Samos y Eratóstenes de Cirene, quienes eran eruditos en Alejandría. Durante el sitio romano de Siracusa en el 213 a.C., Arquímedes desempeñó un papel crucial en la defensa de la ciudad al construir máquinas de guerra altamente efectivas que retrasaron significativamente su captura. Lamentablemente, cuando la ciudad cayó ante el general romano Marco Claudio Marcelo en el otoño de 212 o la primavera de 211 a.C., Arquímedes perdió la vida durante el saqueo de la ciudad.

Se ha conservado más información sobre la vida de Arquímedes en comparación con otros científicos de la antigüedad, aunque gran parte de ella es anecdótica, lo que demuestra el impacto de su genio mecánico en la imaginación popular. A menudo se le atribuye la invención del tornillo de Arquímedes y se dice que creó dos "esferas" llevadas a Roma por Marcelo: una siendo un globo celeste y la otra un dispositivo (con detalles inciertos) que representaba los movimientos del Sol, la Luna y los planetas. Es probable que la historia en la que determinó la proporción de oro y plata en una corona hecha para Hierón pesándola en agua sea cierta, pero la historia de que saltó de la bañera, donde supuestamente tuvo la idea, y corrió desnudo por las calles gritando "¡Eureka!" ("¡Lo he encontrado!") es una embellecida popularmente. De igual manera, los relatos de que utilizó una serie de espejos para prender fuego a los barcos romanos que sitiaban Siracusa, su declaración "Dame un lugar donde estar y moveré la Tierra", y un soldado romano que lo mató por negarse a dejar sus diagramas matemáticos son apócrifos. No obstante, reflejan su genuino interés en la catóptrica (el estudio de la reflexión de la luz en espejos, tanto planos como curvados), la mecánica y las matemáticas puras.

Según Plutarco, un historiador griego que vivió entre el 46 y el 119 d.C., Arquímedes tenía una opinión relativamente baja sobre las invenciones prácticas, a pesar de su maestría en ese campo, lo que le valió gran fama durante su tiempo. En consecuencia, no dejó escritos específicamente dirigidos a asuntos prácticos. Si bien es cierto que todos sus trabajos conocidos fueron de naturaleza teórica, a excepción de un tratado posiblemente dudoso titulado "Sobre la fabricación de esferas", su interés en la mecánica tuvo una profunda influencia en su pensamiento matemático. No solo escribió tratados sobre mecánica teórica e hidrostática, sino que también empleó el razonamiento mecánico como una herramienta heurística para descubrir nuevos teoremas matemáticos, como lo demuestra su tratado titulado "Método sobre teoremas mecánicos".

Arquímedes dejó nueve tratados que han sobrevivido, escritos en griego. En su obra "Sobre la esfera y el cilindro" (compuesta por dos libros), estableció que el área superficial de cualquier esfera con un radio de r es cuatro veces el área de su círculo más grande (expresado como S = 4πr²). También determinó que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro en el que está inscrita, lo que da lugar a la conocida fórmula de volumen V = 4/3πr³. Arquímedes se enorgullecía mucho de este descubrimiento e incluso ordenó que su tumba estuviera adornada con una esfera inscrita dentro de un cilindro. Sin embargo, la tumba fue descubierta por Marco Tulio Cicerón cubierta de vegetación, 150 años después de la muerte de Arquímedes.

En su trabajo fragmentario titulado "Medición del círculo", Arquímedes intentó establecer el valor de π (pi), la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Determinó que π se encuentra entre los límites de 3 10/71 y 3 1/7. El método de Arquímedes para aproximar π implicaba inscribir y circunscribir polígonos regulares con numerosos lados. Este enfoque permaneció influyente hasta la aparición de expansiones en series infinitas en la India durante el siglo XV y en Europa en el siglo XVII. El trabajo también contiene aproximaciones precisas, expresadas como razones de enteros, para las raíces cuadradas de 3 y otros números grandes.

En "Sobre conos y esferoides", Arquímedes abordó el cálculo de los volúmenes de sólidos formados al rotar secciones cónicas (círculo, elipse, parábola o hipérbola) alrededor de sus ejes. Estos problemas pueden entenderse en términos modernos como problemas de integración en cálculo. Su obra "Sobre espirales" exploró las propiedades de las tangentes a la espiral de Arquímedes, que describe el camino de un punto que se mueve a velocidad constante a lo largo de una línea recta que rota uniformemente alrededor de un punto fijo. Esta curva fue una de las pocas conocidas más allá de la línea recta y las secciones cónicas en la antigüedad.

"Sobre el equilibrio de planos" (también conocido como "Centros de gravedad de planos", en dos libros) se centró principalmente en determinar los centros de gravedad de varias figuras planas rectilíneas y segmentos de la parábola y el paraboloide. El primer libro buscó establecer la "ley de la palanca", que establece que las magnitudes se equilibran a distancias del punto de apoyo en proporción inversa a sus pesos. A menudo se le atribuye a Arquímedes como el fundador de la mecánica teórica basado en este tratado. Sin embargo, gran parte del primer libro contiene adiciones o revisiones posteriores y se considera inauténtica. Es probable que los principios fundamentales de la ley de la palanca y posiblemente el concepto de centro de gravedad hayan sido establecidos matemáticamente por eruditos previos a Arquímedes. No obstante, su contribución consistió en expandir esos conceptos para incluir secciones cónicas.

"Cuadratura de la parábola" demuestra, inicialmente mediante métodos "mecánicos" (como se explica en el tratado del Método mencionado a continuación) y luego mediante métodos geométricos convencionales, que el área de cualquier segmento de una parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y altura que ese segmento. Este problema puede abordarse como un problema de integración.

"El contador de arena" es un tratado conciso escrito de manera juguetona para el lector general, dirigido específicamente a Gelón, hijo de Hierón. No obstante, contiene ideas matemáticas profundamente originales. Su propósito es abordar las limitaciones del sistema de notación numérica griega presentando un método para expresar un número enorme: el número de granos de arena necesarios para llenar todo el universo. Arquímedes esencialmente introduce un sistema de notación de valor posicional con una base de 100,000,000, que parece ser un concepto completamente original, ya que desconocía el contemporáneo sistema de valor posicional babilónico con una base de 60. El tratado también es notable por proporcionar la descripción más detallada que ha sobrevivido del sistema heliocéntrico de Aristarco de Samos (c. 310–230 a.C.) e incluye una descripción de una técnica ingeniosa utilizada por Arquímedes para observar y determinar el diámetro aparente del Sol.

"Método sobre teoremas mecánicos" describe un proceso de descubrimiento matemático. Es la única obra que ha sobrevivido de la antigüedad, y una de las pocas de cualquier época, que aborda este tema. Arquímedes relata su utilización de un método "mecánico" para llegar a varios descubrimientos clave, como el área de un segmento parabólico y el área superficial y volumen de una esfera. La técnica implica dividir dos figuras en un número infinito pero igual de tiras infinitesimales, luego comparar y equilibrar cada par correspondiente de tiras en una balanza imaginaria para obtener la relación de las figuras originales. Arquímedes enfatiza que, aunque este procedimiento sirve como un método heurístico útil, no constituye una prueba rigurosa.

"Sobre los cuerpos flotantes" (en dos libros) se conserva parcialmente en griego y parcialmente en traducción latina medieval. Es la obra más antigua conocida sobre hidrostática, estableciendo a Arquímedes como su fundador. El propósito de esta obra es determinar las posiciones que diferentes sólidos asumen al flotar en un fluido según su forma y gravidades específicas variables. El primer libro establece varios principios generales, destacando lo que ahora se conoce como el principio de Arquímedes: un sólido más denso que un fluido experimentará una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza cuando se sumerge en ese fluido. El segundo libro representa una hazaña matemática notable sin igual en la antigüedad y rara vez superada desde entonces. Arquímedes determina las diferentes posiciones estables que un paraboloide de revolución puede asumir al flotar en un fluido de mayor gravedad específica, teniendo en cuenta las variaciones geométricas e hidrostáticas.

Arquímedes es reconocido, como han atestiguado autores posteriores, por haber escrito varias otras obras que no han sobrevivido. Entre ellas, exploró la catóptrica, que profundizó en el fenómeno de la refracción, y discutió los 13 poliedros semirregulares (archimedianos), polígonos limitados por polígonos regulares, no necesariamente del mismo tipo, que pueden inscribirse en una esfera. Además, el "Problema del ganado" (preservado en un epigrama griego) presentaba un desafío de análisis indeterminado con ocho incógnitas. Aunque existen varias obras atribuidas a Arquímedes en traducciones árabes, no se pueden atribuir a él en su forma actual, aunque pueden contener elementos que recuerdan su trabajo. Estas incluyen un tratado sobre la inscripción del heptágono regular en un círculo, una colección de lemas (proposiciones asumidas como verdaderas para demostrar teoremas) y un libro llamado "Sobre los círculos tangentes", todos relacionados con la geometría elemental. Otro fragmento sobreviviente es el Stomachion, que trata sobre dividir un cuadrado en 14 piezas similares a un rompecabezas para un juego.

Las pruebas y presentaciones matemáticas de Arquímedes demuestran una originalidad y un pensamiento audaz notables, junto con un rigor excepcional que cumple con los más altos estándares de la geometría contemporánea. Aunque el Método revela que derivó fórmulas para el área superficial y el volumen de una esfera mediante razonamiento "mecánico" involucrando infinitesimales, sus pruebas reales en "Esfera y cilindro" se basan únicamente en los rigurosos métodos de aproximación finita sucesiva, que fueron pioneros por Eudoxo de Cnido en el siglo IV a.C. Estos métodos, en los que Arquímedes sobresalió, sirven como el enfoque estándar en sus trabajos sobre geometría avanzada, particularmente aquellos relacionados con la prueba de resultados sobre áreas y volúmenes. El rigor matemático en sus obras contrasta marcadamente con las "pruebas" de los primeros practicantes del cálculo integral en el siglo XVII, cuando se reintrodujeron los infinitesimales. No obstante, los logros de Arquímedes son igualmente impresionantes. Su libertad de pensamiento convencional también se evidencia en el ámbito aritmético dentro de "El contador de arena", que revela una profunda comprensión del sistema numérico.

En la antigüedad, Arquímedes fue reconocido no solo como un matemático excepcional, sino también como un destacado astrónomo. Sus observaciones de los solsticios fueron empleadas por Hiparco, un prominente astrónomo antiguo. Sin embargo, hay información limitada sobre este aspecto del trabajo de Arquímedes, aunque "El contador de arena" revela su gran interés en la astronomía y sus habilidades prácticas de observación. Un conjunto de números atribuidos a él, que proporciona las distancias de los cuerpos celestes desde la Tierra, se basa no en datos astronómicos observados, sino en una teoría "pitagórica" que asocia los intervalos espaciales entre los planetas con intervalos musicales. Aunque puede resultar sorprendente encontrar tales especulaciones metafísicas en el trabajo de un astrónomo practicante, existen razones convincentes para creer que pueden atribuirse correctamente a Arquímedes.

El mayor impacto del trabajo de Arquímedes en los matemáticos posteriores ocurrió en los siglos XVI y XVII con la publicación de textos derivados de fuentes griegas, incluida la Editio Princeps, la primera edición impresa del texto griego en Basilea en 1544. La traducción latina de las obras de Arquímedes de Federico Commandino en 1558 contribuyó significativamente a la difusión del conocimiento. Esta difusión se reflejó en las obras de matemáticos y físicos prominentes de la época, incluidos Johannes Kepler y Galileo Galilei. La edición y traducción latina de David Rivault en 1615, que incluyó comentarios antiguos, tuvo una influencia tremenda en las obras de algunos de los matemáticos más destacados del siglo XVII, como René Descartes y Pierre de Fermat. El desarrollo de las matemáticas en Europa entre 1550 y 1650 sería inconcebible sin la base proporcionada por los matemáticos antiguos redescubiertos, siendo Arquímedes una figura prominente. Es lamentable que el tratado Método haya permanecido desconocido tanto para los matemáticos árabes como para los del Renacimiento hasta su redescubrimiento a finales del siglo XIX, ya que podría haber facilitado el descubrimiento de nuevos teoremas, como Arquímedes había esperado.

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