Principios de la corriente alterna
Generación de un voltaje alterno
Un voltaje de corriente alterna cambia continuamente en magnitud y periódicamente invierte su polaridad. El eje del cero es una línea horizontal que pasa por el centro. Las variaciones verticales de la onda de voltaje muestran los cambios en su magnitud. Los voltajes por arriba del eje horizontal tienen polaridad positiva \((+)\), mientras que los voltajes por abajo del eje tienen polaridad negativa \((-)\).
Fig. 1, forma de onda de voltaje de corriente alterna.
Un voltaje de corriente alterna puede ser producido por un generador llamado alternador. En el generador simplificado que se muestra, la espira conductora gira en el campo magnético y corta las líneas de fuerza, generando un voltaje inducido de corriente alterna entre sus terminales.
Fig. 11-2, rotación de una espira en un campo magnético que produce un voltaje de corriente alterna.
Durante una revolución completa de la espira se produce un ciclo completo de voltaje alterno. En una posición inicial, la espira se mueve paralela al flujo magnético y no corta líneas de fuerza; por lo tanto, el voltaje inducido es cero. Al girar \(90^\circ\), la espira corta el flujo con máxima intensidad y se obtiene el valor máximo positivo. A los \(180^\circ\), vuelve a no cortar flujo y el voltaje es nuevamente cero. Al llegar a \(270^\circ\), el flujo se corta en sentido opuesto y se obtiene el valor máximo negativo. Finalmente, a los \(360^\circ\), la espira regresa a la posición inicial y se completa un ciclo.
Fig. 3, dos ciclos de voltaje alterno generado por la espira giratoria.
Medidas angulares
Como los ciclos del voltaje corresponden a una rotación de la espira describiendo un círculo, las partes del círculo se expresan como ángulos. El círculo completo es:
\[
360^\circ
\]
Medio ciclo, o una alternación, es:
\[
180^\circ
\]
Un cuarto de vuelta es:
\[
90^\circ
\]
Los ángulos también pueden expresarse en radianes. Un círculo completo equivale a:
\[
360^\circ = 2\pi\ \text{rad}
\]
Entonces:
\[
1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad}
\tag{11-1}
\]
o bien:
\[
1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi}
\tag{11-2}
\]
En un generador de dos polos, una revolución mecánica completa de \(360^\circ\) genera un ciclo de voltaje de corriente alterna. Sin embargo, en generadores de más polos, la relación entre grados geométricos y grados eléctricos puede variar. Por eso, en el análisis de corriente alterna se utilizan principalmente los grados eléctricos.
Ejemplo 11.1¿Cuántos radianes hay en \(30^\circ\)? Úsese la ecuación (11-1) para convertir grados en radianes.
Usamos:
\[
1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}
\]
Entonces:
\[
30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\ \text{rad}
\]
Simplificando:
\[
30^\circ=\frac{30\pi}{180}\ \text{rad}
\]
\[
30^\circ=\frac{\pi}{6}\ \text{rad}
\]
Respuesta:
\[
30^\circ=\frac{\pi}{6}\ \text{rad}
\]
Ejemplo 11.2¿Cuántos grados hay en \(\frac{\pi}{3}\) radianes? Úsese la ecuación (11-2) para convertir radianes en grados.
Usamos:
\[
1\ \text{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}
\]
Entonces:
\[
\frac{\pi}{3}\ \text{rad}
=
\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}
\]
Cancelando \(\pi\):
\[
\frac{\pi}{3}\ \text{rad}
=
\frac{180^\circ}{3}
\]
\[
\frac{\pi}{3}\ \text{rad}
=
60^\circ
\]
Respuesta:
\[
\frac{\pi}{3}\ \text{rad}=60^\circ
\]
Conversión angular en corriente alterna
La mayoría de las calculadoras tienen un selector para trabajar en grados o en radianes, generalmente indicado como DEG o RAD. En muchos cálculos prácticos no es necesario convertir manualmente los ángulos, pero es importante conocer las equivalencias básicas.
Relaciones principales:
\[
360^\circ=2\pi\ \text{rad}
\]
\[
180^\circ=\pi\ \text{rad}
\]
\[
90^\circ=\frac{\pi}{2}\ \text{rad}
\]
\[
60^\circ=\frac{\pi}{3}\ \text{rad}
\]
\[
30^\circ=\frac{\pi}{6}\ \text{rad}
\]
\[
270^\circ=\frac{3\pi}{2}\ \text{rad}
\] |
Onda senoidal La forma de onda del voltaje se llama onda senoidal.
El valor instantáneo del voltaje en cualquier punto de la onda senoidal se expresa por la ecuación:
\[
v = V_M \sin \theta
\tag{11-3}
\]
donde:
\(v\) = valor instantáneo del voltaje en V
\(V_M\) = valor máximo del voltaje en V
\(\theta\) = ángulo de rotación en grados
Ejemplo 11.3Un voltaje de onda senoidal fluctúa entre cero y un máximo de \(10\ \text{V}\).
¿Cuál es el valor del voltaje en el instante en que el ciclo está en
\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), \(180^\circ\) y \(270^\circ\)?
Datos:
\[
V_M = 10\ \text{V}
\]
La ecuación general es:
\[
v = V_M \sin \theta
\]
Sustituyendo:
\[
v = 10\sin\theta
\]
Para \(\theta = 30^\circ\):
\[
v = 10\sin30^\circ = 10(0.5) = 5\ \text{V}
\]
Para \(\theta = 45^\circ\):
\[
v = 10\sin45^\circ = 10(0.707) = 7.07\ \text{V}
\]
Para \(\theta = 60^\circ\):
\[
v = 10\sin60^\circ = 10(0.866) = 8.66\ \text{V}
\]
Para \(\theta = 90^\circ\):
\[
v = 10\sin90^\circ = 10(1) = 10\ \text{V}
\]
Para \(\theta = 180^\circ\):
\[
v = 10\sin180^\circ = 10(0) = 0\ \text{V}
\]
Para \(\theta = 270^\circ\):
\[
v = 10\sin270^\circ = 10(-1) = -10\ \text{V}
\]
Corriente alterna
Cuando se conecta una onda senoidal de voltaje alterno a una resistencia de carga, la corriente que fluye por el circuito es también una onda senoidal.
Fig. 4, ciclo de corriente alterna.
Ejemplo 11.4
La onda senoidal de voltaje de corriente alterna se aplica a una resistencia de carga de \(10\ \Omega\).
Fig. 5, fuente de voltaje alterno aplicada a una resistencia.
En un circuito resistivo:
\[
i=\frac{v}{R}
\]
Como:
\[
v = V_M\sin\theta
\]
entonces:
\[
i=\frac{V_M\sin\theta}{R}
\]
o bien:
\[
i=I_M\sin\theta
\]
El valor máximo de corriente es:
\[
I_M=\frac{V_M}{R}
\]
Datos:
\[
V_M=10\ \text{V}
\]
\[
R=10\ \Omega
\]
Por lo tanto:
\[
I_M=\frac{10}{10}=1\ \text{A}
\]
Finalmente:
\[
i=1\sin\theta
\]
Fig. , onda senoidal de corriente alterna.
En un circuito puramente resistivo:
\[
\phi = 0^\circ
\]
es decir, tensión y corriente están en fase.
|
Frecuencia y período
OCR: El número de ciclos por segundo se llama frecuencia, se indica con el símbolo \(f\) y se expresa en hertz \((Hz)\). Un ciclo por segundo es igual a un hertz. Por lo tanto, \(60\) ciclos por segundo equivalen a \(60\ Hz\). Una frecuencia de \(2\ Hz\) es el doble de una frecuencia de \(1\ Hz\).
Fig. 7, comparación de las frecuencias \(f=1\ Hz\) y \(f=2\ Hz\).
El tiempo que se requiere para completar un ciclo se llama período. Se indica con el símbolo \(T\) y se expresa en segundos \((s)\). La frecuencia y el período son recíprocos:
\[
f=\frac{1}{T}
\tag{11-4}
\]
\[
T=\frac{1}{f}
\tag{11-5}
\]
Cuanto mayor sea la frecuencia, menor será el período.
El ángulo de \(360^\circ\) representa el tiempo de un ciclo completo, es decir, el período \(T\). Por lo tanto, en el eje horizontal de una onda senoidal pueden indicarse grados eléctricos o segundos.
Fig. 8, relación entre grados eléctricos y tiempo.
Ejemplo 11.5
Una corriente de corriente alterna varía en un ciclo completo en \(1/100\ s\). ¿Cuál es su período y su frecuencia? Si la corriente tiene un valor máximo de \(5\ A\), muéstrese la forma de onda de la corriente en unidades de grados y en milisegundos.
El período es el tiempo que tarda en completarse un ciclo:
\[
T=\frac{1}{100}\ s
\]
\[
T=0{,}01\ s
\]
Como:
\[
1\ s=1000\ ms
\]
entonces:
\[
T=0{,}01\ s=10\ ms
\]
La frecuencia es:
\[
f=\frac{1}{T}
\]
\[
f=\frac{1}{0{,}01}
\]
\[
f=100\ Hz
\]
También puede escribirse:
\[
f=\frac{1}{1/100}=100\ Hz
\]
Como el valor máximo de la corriente es:
\[
I_M=5\ A
\]
la expresión de la corriente instantánea es:
\[
i=I_M\sin\theta
\]
\[
i=5\sin\theta
\]
Relación entre grados eléctricos y tiempo para un período de \(10\ ms\):
\[
360^\circ \longleftrightarrow 10\ ms
\]
\[
90^\circ \longleftrightarrow 2{,}5\ ms
\]
\[
180^\circ \longleftrightarrow 5\ ms
\]
\[
270^\circ \longleftrightarrow 7{,}5\ ms
\]
\[
360^\circ \longleftrightarrow 10\ ms
\]
Fig. 11, forma de onda de corriente alterna con \(I_M=5\ A\), período \(T=10\ ms\) y frecuencia \(f=100\ Hz\).]
Resultados:
\[
T=0{,}01\ s=10\ ms
\]
\[
f=100\ Hz
\]
Longitud de ondaLa longitud de onda \(\lambda\) es la longitud de una onda completa o ciclo completo. Depende de la frecuencia de la variación periódica y de la velocidad de propagación o transmisión.
En fórmula:
\[
\lambda=\frac{\text{velocidad}}{\text{frecuencia}}
\tag{11-6}
\]
Para las ondas electromagnéticas de radio, la velocidad en el aire o en el vacío es aproximadamente:
\[
c=3\times10^8\ \text{m/s}
\]
que corresponde a la velocidad de la luz.
La ecuación se escribe de la forma:
\[
\lambda=\frac{c}{f}
\tag{11-7}
\]
donde:
\(\lambda\) = longitud de onda en metros
\(c\) = velocidad de la luz, \(3\times10^8\ \text{m/s}\)
\(f\) = frecuencia de la onda en \(Hz\)
Ejemplo 11.6El canal 2 de TV tiene una frecuencia de \(60\ MHz\). ¿Cuál es su longitud de onda?
Primero se convierte la frecuencia a hertz:
\[
f=60\ MHz
\]
\[
f=60\times10^6\ Hz
\]
Usamos:
\[
\lambda=\frac{c}{f}
\]
Sustituyendo:
\[
\lambda=\frac{3\times10^8}{60\times10^6}
\]
\[
\lambda=5\ m
\]
Respuesta:
\[
\lambda=5\ m
\] |
Relaciones de fase El ángulo de fase entre dos formas de onda de la misma frecuencia es la diferencia angular en cualquier instante. Por ejemplo, el ángulo de fase entre las ondas \(B\) y \(A\) es \(90^\circ\). La onda \(B\) comienza con un valor máximo y se reduce a cero a \(90^\circ\), mientras que la onda \(A\) comienza en cero y aumenta hasta su valor máximo a \(90^\circ\). Por lo tanto, la onda \(B\) se adelanta a la onda \(A\) en \(90^\circ\).
Fig. 10, la onda \(B\) adelanta a la onda \(A\) en un ángulo de fase de \(90^\circ\).
En cualquier instante, la onda \(B\) tiene el valor que tendrá la onda \(A\) \(90^\circ\) más tarde. La onda \(B\) es una onda cosenoidal porque está desplazada \(90^\circ\) respecto de la onda \(A\), que es senoidal. Ambas formas de onda se llaman senoides o senoidales.
Fasores
Para comparar los ángulos de fase de voltajes o corrientes alternas, se utilizan diagramas de fasores. Un fasor es una cantidad que tiene magnitud y dirección. La longitud de la flecha representa la magnitud del voltaje o de la corriente alterna, y el ángulo de la flecha respecto del eje horizontal representa el ángulo de fase.
Una forma de onda se toma como referencia y se compara con otra mediante el ángulo entre sus fasores. En general, el fasor de referencia se dibuja horizontal, correspondiente a:
\[
0^\circ
\]
Si \(V_A\) es la referencia, y \(V_B\) se dibuja vertical hacia arriba, entonces:
\[
V_B \text{ adelanta a } V_A \text{ en } 90^\circ
\]
Esto se representa como:
\[
V_B = V_A \angle 90^\circ
\]
o, más correctamente, si las magnitudes son distintas:
\[
V_B = |V_B|\angle 90^\circ
\]
Fig. 11, ángulos de fase de adelanto y atraso.]
Si se toma \(V_B\) como referencia, entonces \(V_A\) queda atrasada respecto de \(V_B\) en:
\[
90^\circ
\]
También puede escribirse:
\[
V_A \text{ se atrasa respecto de } V_B \text{ en } 90^\circ
\]
No hay diferencia fundamental entre decir que \(V_B\) adelanta a \(V_A\) en \(90^\circ\), o que \(V_A\) se atrasa respecto de \(V_B\) en \(90^\circ\).
Ondas en fase y fuera de fase
Cuando dos ondas están en fase, el ángulo de fase es:
\[
\theta=0^\circ
\]
Sus máximos, mínimos y cruces por cero ocurren al mismo tiempo. En este caso, sus amplitudes se suman.
Fig. 12, dos ondas en fase con ángulo de \(0^\circ\).]
Cuando dos ondas están en oposición de fase, el ángulo de fase es:
\[
\theta=180^\circ
\]
Sus amplitudes se oponen. Si ambas tienen igual magnitud, se cancelan.
Fig. 13, dos ondas opuestas en fase con ángulo de \(180^\circ\).
Ejemplo 11.7
¿Cuál es el ángulo de fase entre las ondas \(A\) y \(B\)? Dibújese el diagrama de fasores primero con la onda \(A\) como referencia y después con la onda \(B\) como referencia.
Fig. 14, obtención del ángulo de fase entre la onda \(A\) y la onda \(B\).
El ángulo de fase es la distancia angular entre puntos correspondientes de las ondas \(A\) y \(B\). Algunos puntos correspondientes convenientes son:
- el máximo,
- el mínimo,
- el cruce con el eje cero de cada onda.
En la figura, midiendo sobre los cruces con el eje horizontal, se obtiene:
\[
\theta=30^\circ
\]
Como la onda \(A\) alcanza el cero antes que la onda \(B\), la onda \(A\) adelanta a la onda \(B\). Por lo tanto:
\[
A \text{ adelanta a } B \text{ en } 30^\circ
\]
o equivalentemente:
\[
B \text{ se atrasa respecto de } A \text{ en } 30^\circ
\]
Onda \(A\) como referencia
Si se toma la onda \(A\) como referencia:
\[
V_A=V_A\angle 0^\circ
\]
Como \(V_B\) se atrasa respecto de \(V_A\) en \(30^\circ\):
\[
V_B=V_B\angle -30^\circ
\]
Respuesta:
\[
V_B \text{ se atrasa respecto de } V_A \text{ por } 30^\circ
\]
Onda \(B\) como referencia
Si se toma la onda \(B\) como referencia:
\[
V_B=V_B\angle 0^\circ
\]
Entonces \(V_A\) queda adelantada respecto de \(V_B\) en \(30^\circ\):
\[
V_A=V_A\angle 30^\circ
\]
Respuesta:
\[
V_A \text{ adelanta a } V_B \text{ por } 30^\circ
\]
- Diagrama fasorial con \(V_A\) como referencia horizontal y \(V_B\) atrasado \(30^\circ\).
- Diagrama fasorial con \(V_B\) como referencia horizontal y \(V_A\) adelantado \(30^\circ\).
Aunque los fasores no se dibujen a escala, \(V_A\) se representa más corto que \(V_B\) porque el valor máximo de la onda \(A\) es menor que el de la onda \(B\). |
Términos relacionados :
- Corriente alterna. (Alternating current)
- Voltaje alterno. (Alternating voltage)
- Onda senoidal. (Sine wave)
- Valor instantáneo. (Instantaneous value)
- Valor máximo. (Peak value)
- Valor pico a pico. (Peak-to-peak value)
- Valor eficaz. (Root mean square value, RMS value)
- Frecuencia. (Frequency)
- Período. (Period)
- Longitud de onda. (Wavelength)
- Velocidad angular. (Angular velocity)
- Frecuencia angular. (Angular frequency)
- Ciclo eléctrico. (Electrical cycle)
- Alternancia positiva. (Positive alternation)
- Alternancia negativa. (Negative alternation)
- Ángulo de fase. (Phase angle)
- Desfase. (Phase shift)
- Fasor. (Phasor)
- Diagrama fasorial. (Phasor diagram)
- Resistencia óhmica. (Ohmic resistance)
- Reactancia inductiva. (Inductive reactance)
- Reactancia capacitiva. (Capacitive reactance)
- Reactancia total. (Total reactance)
- Impedancia compleja. (Complex impedance)
- Módulo de impedancia. (Impedance magnitude)
- Impedancia en forma polar. (Polar impedance form)
- Circuito serie RL. (Series RL circuit)
- Circuito serie RC. (Series RC circuit)
- Circuito serie RLC. (Series RLC circuit)
- Frecuencia de resonancia. (Resonant frequency)
|
Valores característicos del voltaje y la corriente Como una sinusoide de voltaje o de corriente alterna tiene muchos valores instantáneos a lo largo del ciclo, es conveniente especificar las magnitudes con las que se pueda comparar una onda con otra. Se pueden especificar los valores pico, promedio o raíz cuadrática media, también llamada valor eficaz o rms.
Fig. 15, valores de amplitud de una onda senoidal de corriente alterna.]
El valor pico es el valor máximo de la onda. Se representa como:
\[
V_M
\]
para voltaje, o:
\[
I_M
\]
para corriente.
El valor pico a pico es el doble del valor pico, cuando los picos positivo y negativo son simétricos:
\[
V_{p-p}=2V_M
\]
\[
I_{p-p}=2I_M
\]
El valor promedio es el promedio aritmético de todos los valores de una onda senoidal durante medio ciclo. Se utiliza medio ciclo porque el promedio durante un ciclo completo es cero.
Para una onda senoidal:
\[
\text{Valor promedio}=0{,}637\times \text{valor pico}
\tag{11-8}
\]
o bien:
\[
V_{av}=0{,}637V_M
\]
\[
I_{av}=0{,}637I_M
\]
La raíz cuadrática media, rms, o valor efectivo, es:
\[
\text{Valor rms}=0{,}707\times \text{valor pico}
\tag{11-9}
\]
o bien:
\[
V_{rms}=0{,}707V_M
\]
\[
I_{rms}=0{,}707I_M
\]
El valor rms de una onda senoidal alterna corresponde al valor de corriente o voltaje continuo que produciría la misma potencia de calentamiento en una resistencia. Por esta razón, el valor rms también se llama valor efectivo.
A menos que se indique lo contrario, las mediciones de ondas de corriente alterna senoidales se dan en valor rms. Por ejemplo, si se indica:
\[
V=220\ \text{V}
\]
se entiende normalmente que se trata de:
\[
220\ \text{V rms}
\]
Tabla de conversión de valores de una onda senoidal
| Multiplíquese el valor |
Por |
Para obtener el valor |
| Pico |
2 |
Pico a pico |
| Pico a pico |
0,5 |
Pico |
| Pico |
0,637 |
Promedio |
| Promedio |
1,570 |
Pico |
| Pico |
0,707 |
Efectivo o rms |
| Efectivo o rms |
1,414 |
Pico |
| Promedio |
1,110 |
Efectivo o rms |
| Efectivo o rms |
0,901 |
Promedio |
Ejemplo 11.8Si el voltaje pico de una onda de corriente alterna es \(60\ \text{V}\), ¿cuáles son sus valores promedio y rms?
Dato:
\[
V_M=60\ \text{V}
\]
El valor promedio es:
\[
V_{av}=0{,}637V_M
\]
\[
V_{av}=0{,}637(60)
\]
\[
V_{av}=38{,}2\ \text{V}
\]
El valor rms es:
\[
V_{rms}=0{,}707V_M
\]
\[
V_{rms}=0{,}707(60)
\]
\[
V_{rms}=42{,}4\ \text{V}
\]
Resultados:
\[
V_{av}=38{,}2\ \text{V}
\]
\[
V_{rms}=42{,}4\ \text{V}
\]
Ejemplo 11.9A menudo es necesario convertir el valor rms a pico. Obténgase la fórmula.
Se comienza con:
\[
\text{Valor rms}=0{,}707\times \text{valor pico}
\]
Para voltaje:
\[
V_{rms}=0{,}707V_M
\]
Despejando el valor pico:
\[
V_M=\frac{V_{rms}}{0{,}707}
\]
\[
V_M=1{,}414V_{rms}
\]
Para corriente:
\[
I_{rms}=0{,}707I_M
\]
Despejando:
\[
I_M=\frac{I_{rms}}{0{,}707}
\]
\[
I_M=1{,}414I_{rms}
\]
Resultados generales:
\[
V_M=1{,}414V_{rms}
\]
\[
I_M=1{,}414I_{rms}
\]
Ejemplo 11.10El voltaje de una línea comercial de alimentación es \(240\ \text{V}\). ¿Cuáles son los voltajes pico y pico a pico? A menos que se indique lo contrario, las medidas en corriente alterna están dadas en valores rms.
Dato:
\[
V_{rms}=240\ \text{V}
\]
El valor pico es:
\[
V_M=1{,}414V_{rms}
\]
\[
V_M=1{,}414(240)
\]
\[
V_M=339{,}4\ \text{V}
\]
El valor pico a pico es:
\[
V_{p-p}=2V_M
\]
\[
V_{p-p}=2(339{,}4)
\]
\[
V_{p-p}=678{,}8\ \text{V}
\]
Resultados:
\[
V_M=339{,}4\ \text{V}
\]
\[
V_{p-p}=678{,}8\ \text{V}
\]
|
Problemas adicionales sobre corriente alterna
La frecuencia de la corriente alterna que fluye por un conductor es de \(500\ \text{Hz}\). Determinar el período \(T\).
La relación entre frecuencia y período es:
\[
T=\frac{1}{f}
\]
Sustituyendo:
\[
T=\frac{1}{500}
\]
\[
T=0{,}002\ \text{s}
\]
También puede expresarse como:
\[
T=2\ \text{ms}
\]
Respuesta:
\[
T=0{,}002\ \text{s}=2\ \text{ms}
\]
La pulsatancia o frecuencia angular \(\omega\) de una corriente alterna que circula por una bobina de choque es igual a \(314\ \text{rad/s}\). Determinar el período \(T\).
La frecuencia angular se relaciona con el período mediante:
\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
\]
Despejando:
\[
T=\frac{2\pi}{\omega}
\]
Sustituyendo:
\[
T=\frac{2\pi}{314}
\]
\[
T=0{,}020\ \text{s}
\]
También:
\[
T=20\ \text{ms}
\]
Respuesta:
\[
T=0{,}020\ \text{s}=20\ \text{ms}
\]
El valor eficaz de la intensidad de corriente alterna \(I=105\ \text{A}\). Determinar el valor máximo, o amplitud, de esta corriente.
Para una onda senoidal:
\[
I_{\max}=1{,}414 I_{rms}
\]
Sustituyendo:
\[
I_{\max}=1{,}414(105)
\]
\[
I_{\max}=148{,}5\ \text{A}
\]
Respuesta:
\[
I_{\max}=148{,}5\ \text{A}
\]
El valor instantáneo de la intensidad de corriente \(i\) que fluye por un circuito eléctrico es de \(10\ \text{A}\). Determinar el valor máximo de la intensidad de esta corriente \(I_{\max}\), si la fase \(\omega t=30^\circ\).
Para una corriente senoidal:
\[
i=I_{\max}\sin\theta
\]
donde:
\[
\theta=30^\circ
\]
Entonces:
\[
10=I_{\max}\sin30^\circ
\]
\[
10=I_{\max}(0{,}5)
\]
Despejando:
\[
I_{\max}=\frac{10}{0{,}5}
\]
\[
I_{\max}=20\ \text{A}
\]
Respuesta:
\[
I_{\max}=20\ \text{A}
\]
El valor máximo de la f.e.m. de un generador es igual a \(120\ \text{V}\). Determinar su valor instantáneo, si la fase \(\omega t=60^\circ\).
Para una tensión senoidal:
\[
e=E_{\max}\sin\theta
\]
Datos:
\[
E_{\max}=120\ \text{V}
\]
\[
\theta=60^\circ
\]
Sustituyendo:
\[
e=120\sin60^\circ
\]
\[
e=120(0{,}866)
\]
\[
e=103{,}9\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
e\approx104\ \text{V}
\]
La amplitud de una corriente alterna \(I_{\max}=20\ \text{mA}\), la frecuencia \(f=1000\ \text{Hz}\). Determinar el valor instantáneo de la intensidad de corriente pasado \(0{,}0001\ \text{s}\) de su valor cero.
La expresión de la corriente instantánea es:
\[
i=I_{\max}\sin\omega t
\]
Como:
\[
\omega=2\pi f
\]
entonces:
\[
i=I_{\max}\sin(2\pi ft)
\]
Datos:
\[
I_{\max}=20\ \text{mA}
\]
\[
f=1000\ \text{Hz}
\]
\[
t=0{,}0001\ \text{s}
\]
Sustituyendo:
\[
i=20\sin(2\pi\cdot1000\cdot0{,}0001)
\]
\[
i=20\sin(0{,}2\pi)
\]
Como:
\[
0{,}2\pi\ \text{rad}=36^\circ
\]
entonces:
\[
i=20\sin36^\circ
\]
\[
i=20(0{,}587)
\]
\[
i=11{,}7\ \text{mA}
\]
Respuesta:
\[
i=11{,}7\ \text{mA}
\]
La corriente alterna en un circuito tiene una frecuencia de
\(2\,000\,000\ \text{Hz}\). Determinar el tiempo posterior al paso por cero en que la corriente alcanza \(25\ \text{mA}\), sabiendo que la amplitud es:
\[
I_{max}=100\ \text{mA}
\]
La ecuación instantánea de la corriente es:
\[
i=I_{max}\sin(2\pi ft)
\]
Sustituyendo valores:
\[
25=100\sin(2\pi\cdot2\times10^6\cdot t)
\]
Dividiendo por 100:
\[
\sin(4\pi\times10^6 t)=0.25
\]
Calculando el arco seno:
\[
\sin^{-1}(0.25)=14.48^\circ
\]
Pasando a radianes:
\[
14.48^\circ\times\frac{\pi}{180}=0.253\ rad
\]
Entonces:
\[
4\pi\times10^6\cdot t=0.253
\]
Despejando:
\[
t=\frac{0.253}{4\pi\times10^6}
\]
\[
t=2.01\times10^{-8}\ s
\]
o bien:
\[
t=20.1\ ns
\]
Respuesta:
\[
\boxed{t=2.01\times10^{-8}\ s}
\]
Nota técnica: Algunos textos antiguos resuelven este problema utilizando grados directamente en lugar de radianes, obteniendo un valor aproximado de \(1.15\ \mu s\). En el Sistema Internacional moderno, la resolución correcta debe realizarse en radianes. |
Problemas sobre frecuencia, período y frecuencia angular
El rotor de un generador de corriente alterna tiene un par de polos. Calcular la frecuencia de la f.e.m. inducida cuando el rotor gira a una velocidad de \(50\ \text{r.p.s.}\)
Si el generador tiene un par de polos, se produce un ciclo por cada revolución:
\[
f=n
\]
\[
f=50\ \text{Hz}
\]
Respuesta:
\[
f=50\ \text{Hz}
\]
El rotor de un generador de corriente alterna gira a una velocidad \(n=1500\ \text{r.p.m.}\). Determinar la cantidad de pares de polos del rotor en el caso en que la frecuencia de la f.e.m. inducida sea igual a \(100\ \text{Hz}\).
Primero convertimos la velocidad a revoluciones por segundo:
\[
n=\frac{1500}{60}=25\ \text{r.p.s.}
\]
La frecuencia de un generador es:
\[
f=p\,n
\]
donde \(p\) es el número de pares de polos.
Despejando:
\[
p=\frac{f}{n}
\]
\[
p=\frac{100}{25}=4
\]
Respuesta:
\[
p=4\ \text{pares de polos}
\]
Determinar el número de revoluciones del rotor en un generador de corriente alterna, si su cantidad de pares de polos \(p=6\) y la frecuencia de la f.e.m. inducida \(f=50\ \text{Hz}\).
La relación es:
\[
f=p\,n
\]
Despejando la velocidad:
\[
n=\frac{f}{p}
\]
\[
n=\frac{50}{6}=8,33\ \text{r.p.s.}
\]
En revoluciones por minuto:
\[
n=8,33\cdot60
\]
\[
n=500\ \text{r.p.m.}
\]
Respuesta:
\[
n=500\ \text{r.p.m.}
\]
Los períodos de variación de una corriente alterna son \(T_1=\frac{1}{50}\ \text{seg}\) y \(T_2=\frac{1}{800}\ \text{seg}\). Determinar las frecuencias \(f_1\) y \(f_2\).
La frecuencia es la inversa del período:
\[
f=\frac{1}{T}
\]
Para el primer caso:
\[
f_1=\frac{1}{T_1}
\]
\[
f_1=\frac{1}{\frac{1}{50}}
\]
\[
f_1=50\ \text{Hz}
\]
Para el segundo caso:
\[
f_2=\frac{1}{T_2}
\]
\[
f_2=\frac{1}{\frac{1}{800}}
\]
\[
f_2=800\ \text{Hz}
\]
Respuesta:
\[
f_1=50\ \text{Hz}
\]
\[
f_2=800\ \text{Hz}
\]
Calcular la pulsatancia de la corriente alterna cuando el período \(T=\frac{1}{100}\ \text{seg}\).
En textos modernos, la pulsatancia se denomina también frecuencia angular o pulsación.
La frecuencia es:
\[
f=\frac{1}{T}
\]
\[
f=\frac{1}{\frac{1}{100}}
\]
\[
f=100\ \text{Hz}
\]
La frecuencia angular es:
\[
\omega=2\pi f
\]
\[
\omega=2\pi\cdot100
\]
\[
\omega=628\ \text{rad/s}
\]
Respuesta:
\[
\omega=628\ \text{rad/s}
\]
Las frecuencias de una corriente alterna son \(f_1=400\ \text{Hz}\) y \(f_2=50\ \text{Hz}\). Calcular la pulsatancia \(\omega_1\) y \(\omega_2\).
La frecuencia angular se calcula mediante:
\[
\omega=2\pi f
\]
Para \(f_1=400\ \text{Hz}\):
\[
\omega_1=2\pi\cdot400
\]
\[
\omega_1=2512\ \text{rad/s}
\]
Para \(f_2=50\ \text{Hz}\):
\[
\omega_2=2\pi\cdot50
\]
\[
\omega_2=314\ \text{rad/s}
\]
Respuesta:
\[
\omega_1=2512\ \text{rad/s}
\]
\[
\omega_2=314\ \text{rad/s}
\]
La pulsatancia de una corriente alterna \(\omega_1=3140\ \text{rad/s}\) y \(\omega_2=1256\ \text{rad/s}\). Determinar la frecuencia de la corriente \(f_1\) y \(f_2\).
La relación entre frecuencia angular y frecuencia es:
\[
\omega=2\pi f
\]
Despejando:
\[
f=\frac{\omega}{2\pi}
\]
Para \(\omega_1=3140\ \text{rad/s}\):
\[
f_1=\frac{3140}{2\pi}
\]
\[
f_1\approx\frac{3140}{6,28}
\]
\[
f_1=500\ \text{Hz}
\]
Para \(\omega_2=1256\ \text{rad/s}\):
\[
f_2=\frac{1256}{2\pi}
\]
\[
f_2\approx\frac{1256}{6,28}
\]
\[
f_2=200\ \text{Hz}
\]
Respuesta:
\[
f_1=500\ \text{Hz}
\]
\[
f_2=200\ \text{Hz}
\]
Valor eficaz y resistencia pura en corriente alterna
El valor eficaz de una corriente alterna sinusoidal es \(\sqrt{2}\) veces menor que el máximo, es decir, \(1,41\) veces menor:
\[
I=\frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}
\]
\[
I=\frac{I_{\max}}{1,41}
\]
\[
I=0,707I_{\max}
\]
donde \(I\) es el valor eficaz de la intensidad de corriente, en amperios, e \(I_{\max}\) es el valor máximo de la intensidad de corriente, en amperios.
El valor eficaz de la f.e.m. alterna y de la tensión se calculan mediante:
\[
E=\frac{E_{\max}}{\sqrt{2}}
\]
\[
E=\frac{E_{\max}}{1,41}
\]
\[
E=0,707E_{\max}
\]
y:
\[
U=\frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}
\]
\[
U=\frac{U_{\max}}{1,41}
\]
\[
U=0,707U_{\max}
\]
donde:
\(U\) = valor eficaz de la tensión alterna, en V.
\(E\) = valor eficaz de la f.e.m. alterna, en V.
\(U_{\max}\) = valor máximo de la tensión, en V.
\(E_{\max}\) = valor máximo de la f.e.m., en V.
Si a una resistencia pura se le aplica una tensión alterna sinusoidal, el valor instantáneo de la tensión es:
\[
u=U_{\max}\sin\alpha
\]
Como:
\[
\alpha=\omega t
\]
también puede escribirse:
\[
u=U_{\max}\sin\omega t
\]
De acuerdo con la ley de Ohm, la intensidad instantánea de corriente es:
\[
i=\frac{u}{r}
\]
Sustituyendo \(u\):
\[
i=\frac{U_{\max}}{r}\sin\omega t
\]
El valor máximo de la corriente es:
\[
I_{\max}=\frac{U_{\max}}{r}
\]
Por lo tanto:
\[
i=I_{\max}\sin\omega t
\]
En el instante inicial, cuando \(t=0\):
\[
\omega t=0
\]
\[
\sin\omega t=0
\]
Entonces:
\[
u=U_{\max}\sin\omega t=0
\]
\[
i=I_{\max}\sin\omega t=0
\]
En una resistencia pura, la tensión y la corriente están en fase.
La potencia absorbida por una resistencia pura se calcula mediante:
\[
P=IU
\]
\[
P=I^2r
\]
\[
P=\frac{U^2}{r}
\]
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