Problemas sobre valor eficaz, valor máximo y potencia en CA
El valor máximo de una tensión es \(282\ \text{V}\). Determinar el valor eficaz de la tensión.
Para una tensión senoidal:
\[
U=0,707U_{\max}
\]
Sustituyendo:
\[
U=0,707(282)
\]
\[
U\approx200\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
U=200\ \text{V}
\]
A un electrólito, cuya resistencia \(r=30\ \Omega\), se aplica una tensión con una amplitud \(U_{\max}=170\ \text{V}\). Determinar el valor eficaz de la intensidad de la corriente.
Primero se calcula el valor máximo de corriente:
\[
I_{\max}=\frac{U_{\max}}{r}
\]
\[
I_{\max}=\frac{170}{30}=5,67\ \text{A}
\]
El valor eficaz es:
\[
I=0,707I_{\max}
\]
\[
I=0,707(5,67)
\]
\[
I\approx4\ \text{A}
\]
Respuesta:
\[
I=4\ \text{A}
\]
El valor instantáneo de la intensidad de corriente alterna \(i\) que fluye por el filamento de una lámpara eléctrica es de \(2\ \text{A}\). La fase \(\omega t\) es igual a \(15^\circ\) y la resistencia del filamento \(r=20\ \Omega\). Determinar el valor máximo de la tensión \(U_{\max}\) en los extremos del filamento.
La corriente instantánea es:
\[
i=I_{\max}\sin\omega t
\]
Con:
\[
i=2\ \text{A}
\]
\[
\omega t=15^\circ
\]
Entonces:
\[
2=I_{\max}\sin15^\circ
\]
\[
I_{\max}=\frac{2}{\sin15^\circ}
\]
\[
I_{\max}=\frac{2}{0,259}
\]
\[
I_{\max}=7,72\ \text{A}
\]
El valor máximo de tensión es:
\[
U_{\max}=I_{\max}r
\]
\[
U_{\max}=7,72(20)
\]
\[
U_{\max}\approx154\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
U_{\max}\approx154\ \text{V}
\]
Un voltímetro conectado a un circuito de corriente alterna indica una tensión de \(127\ \text{V}\). Calcular el valor máximo de la tensión.
El voltímetro de corriente alterna indica normalmente el valor eficaz:
\[
U=127\ \text{V}
\]
Para obtener el valor máximo:
\[
U_{\max}=1,414U
\]
\[
U_{\max}=1,414(127)
\]
\[
U_{\max}=179,6\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
U_{\max}\approx180\ \text{V}
\]
El valor máximo de una corriente alterna que fluye por un circuito con resistencia pura \(r=40\ \Omega\) es de \(14,1\ \text{A}\). Determinar la potencia absorbida por esta resistencia.
Primero se calcula el valor eficaz de la corriente:
\[
I=0,707I_{\max}
\]
\[
I=0,707(14,1)
\]
\[
I\approx10\ \text{A}
\]
La potencia en una resistencia pura es:
\[
P=I^2r
\]
\[
P=10^2(40)
\]
\[
P=4000\ \text{W}
\]
Respuesta:
\[
P=4000\ \text{W}
\]
Una resistencia pura \(r=25\ \Omega\) está intercalada en un circuito de corriente alterna. El valor máximo de la tensión es de \(70,5\ \text{V}\). Calcular la potencia absorbida.
Primero se calcula el valor eficaz de la tensión:
\[
U=0,707U_{\max}
\]
\[
U=0,707(70,5)
\]
\[
U\approx50\ \text{V}
\]
La potencia absorbida por la resistencia es:
\[
P=\frac{U^2}{r}
\]
\[
P=\frac{50^2}{25}
\]
\[
P=\frac{2500}{25}
\]
\[
P=100\ \text{W}
\]
Respuesta:
\[
P=100\ \text{W}
\]
Por una resistencia pura, cuya potencia es de \(60\ \text{W}\), fluye una corriente igual a \(6\ \text{A}\). Determinar la tensión en los bornes de la resistencia.
Para una resistencia pura:
\[
P=UI
\]
Despejando la tensión:
\[
U=\frac{P}{I}
\]
\[
U=\frac{60}{6}
\]
\[
U=10\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
U=10\ \text{V}
\]
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Valor efectivo de CA o Root-Mean-Square (RMS)
Una corriente alternada tiene un valor efectivo de \(1\ \text{A}\) cuando produce la misma cantidad de calor en una resistencia \(R\) que una corriente continua de \(1\ \text{A}\). Un voltaje de CA tiene un valor efectivo de \(1\ \text{V}\) si da origen a una corriente efectiva de \(1\ \text{A}\) en una resistencia de \(1\ \Omega\).
Los valores efectivos de voltaje y corriente de una onda sinusoidal de CA se relacionan con los valores máximos o valores de pico de la siguiente forma:
\[
E=0,707E_m
\]
\[
I=0,707I_m
\]
También:
\[
E_m=1,414E
\]
\[
I_m=1,414I
\]
Problema
Un generador de CA de \(8\) polos gira a una velocidad de \(900\ \text{rpm}\) y desarrolla una fem sinusoidal con un valor de pico de \(170\ \text{V}\) y una corriente máxima de \(20\ \text{A}\) en la carga conectada a él. Determinar:
a) la frecuencia y el período del voltaje y corriente;
b) los valores instantáneos de voltaje después de \(0,004167\ \text{s}\), \(0,00833\ \text{s}\), \(0,0125\ \text{s}\) y \(0,0167\ \text{s}\) de haber pasado la armadura a través del punto de voltaje cero;
c) los valores efectivos de voltaje y corriente;
d) la resistencia de la carga.
a) Frecuencia y período
Un generador de \(8\) polos tiene:
\[
p=\frac{8}{2}=4
\]
pares de polos.
La velocidad es:
\[
n=900\ \text{rpm}
\]
\[
n=\frac{900}{60}=15\ \text{rps}
\]
La frecuencia es:
\[
f=p\cdot n
\]
\[
f=4\cdot15
\]
\[
f=60\ \text{Hz}
\]
El período es:
\[
T=\frac{1}{f}
\]
\[
T=\frac{1}{60}
\]
\[
T=0,0167\ \text{s}
\]
Resultados:
\[
f=60\ \text{Hz}
\]
\[
T=0,0167\ \text{s}
\]
b) Valores instantáneos de voltaje
La fem instantánea se expresa como:
\[
e=E_m\sin\omega t
\]
Como:
\[
\omega=2\pi f
\]
entonces:
\[
e=E_m\sin(2\pi ft)
\]
Datos:
\[
E_m=170\ \text{V}
\]
\[
f=60\ \text{Hz}
\]
Por lo tanto:
\[
e=170\sin(2\pi\cdot60t)
\]
\[
e=170\sin(120\pi t)
\]
Como:
\[
120\pi \approx 377
\]
también puede escribirse:
\[
e=170\sin(377t)
\]
Para:
\[
t=0,004167\ \text{s}
\]
\[
e=170\sin(120\pi\cdot0,004167)
\]
\[
e=170\sin(0,5\pi)
\]
\[
e=170\sin90^\circ
\]
\[
e=170(1)
\]
\[
e=170\ \text{V}
\]
Para:
\[
t=0,00833\ \text{s}
\]
\[
e=170\sin(120\pi\cdot0,00833)
\]
\[
e=170\sin(\pi)
\]
\[
e=170\sin180^\circ
\]
\[
e=170(0)
\]
\[
e=0\ \text{V}
\]
Para:
\[
t=0,0125\ \text{s}
\]
\[
e=170\sin(120\pi\cdot0,0125)
\]
\[
e=170\sin(1,5\pi)
\]
\[
e=170\sin270^\circ
\]
\[
e=170(-1)
\]
\[
e=-170\ \text{V}
\]
Para:
\[
t=0,0167\ \text{s}
\]
\[
e=170\sin(120\pi\cdot0,0167)
\]
\[
e=170\sin(2\pi)
\]
\[
e=170\sin360^\circ
\]
\[
e=170(0)
\]
\[
e=0\ \text{V}
\]
Resultados:
\[
e(0,004167\ \text{s})=170\ \text{V}
\]
\[
e(0,00833\ \text{s})=0\ \text{V}
\]
\[
e(0,0125\ \text{s})=-170\ \text{V}
\]
\[
e(0,0167\ \text{s})=0\ \text{V}
\]
c) Valores efectivos de voltaje y corriente
El valor efectivo del voltaje es:
\[
E=0,707E_m
\]
\[
E=0,707(170)
\]
\[
E=120\ \text{V}
\]
El valor efectivo de la corriente es:
\[
I=0,707I_m
\]
\[
I=0,707(20)
\]
\[
I=14,14\ \text{A}
\]
Resultados:
\[
E=120\ \text{V}
\]
\[
I=14,14\ \text{A}
\]
d) Resistencia de la carga
Como se trata de una carga resistiva, se aplica la ley de Ohm con valores efectivos:
\[
R=\frac{E}{I}
\]
\[
R=\frac{120}{14,14}
\]
\[
R=8,5\ \Omega
\]
También puede calcularse usando valores máximos:
\[
R=\frac{E_m}{I_m}
\]
\[
R=\frac{170}{20}
\]
\[
R=8,5\ \Omega
\]
Resultado:
\[
R=8,5\ \Omega
\]
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Fase, ángulo de fase y diferencia de fase
OCR: La fracción de ciclo que ha transcurrido desde que una corriente o voltaje ha pasado por un determinado punto de referencia, generalmente por cero o por su valor máximo, es el ángulo de fase del voltaje o corriente. Más frecuentemente, los términos ángulo de fase o diferencia de fase se usan para comparar dos o más voltajes o corrientes alternas, o voltajes y corrientes de la misma frecuencia, que no pasan por sus puntos cero y máximos al mismo tiempo.
Fig. 2. Voltajes en fase, corriente adelantada al voltaje en \(90^\circ\), y dos voltajes en oposición de fase.
En la Fig. 2(A), los voltajes \(E_1\) y \(E_2\) están en fase porque pasan por cero y alcanzan sus máximos en los mismos instantes de tiempo.
En la Fig. 2(B), la corriente \(i\) está adelantada respecto del voltaje \(E\) en:
\[
90^\circ
\]
porque sus valores máximos y cruces por cero ocurren un cuarto de ciclo antes.
En la Fig. -2(C), los voltajes \(E_1\) y \(E_2\) están en oposición de fase:
\[
180^\circ
\]
porque cuando uno alcanza su valor máximo positivo, el otro alcanza su valor máximo negativo.
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Valor eficaz, valor máximo, período y velocidad angular
Ejemplo
¿Cuál es el valor eficaz de una tensión alterna si su valor máximo es \(325\ \text{V}\)?
Para una onda senoidal:
\[
V_{ef}=\frac{V_{máx}}{\sqrt{2}}
\]
Sustituyendo:
\[
V_{ef}=\frac{325}{\sqrt{2}}
\]
\[
V_{ef}=229,8\ \text{V}
\]
Aproximando:
\[
V_{ef}\approx230\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
V_{ef}=230\ \text{V}
\]
; el resultado correcto es \(230\ \text{V}\).
Ejemplo
¿Cuál es el valor máximo de una tensión alterna de \(125\ \text{V}\)?
Si no se indica lo contrario, una tensión alterna indicada como \(125\ \text{V}\) se considera valor eficaz:
\[
V_{ef}=125\ \text{V}
\]
El valor máximo es:
\[
V_{máx}=V_{ef}\sqrt{2}
\]
Sustituyendo:
\[
V_{máx}=125\sqrt{2}
\]
\[
V_{máx}=176,8\ \text{V}
\]
Aproximando:
\[
V_{máx}\approx177\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
V_{máx}=177\ \text{V}
\]
Ejemplo
Conectamos una resistencia de \(100\ \Omega\) a una red de corriente alterna de \(230\ \text{V}\). Determinar el valor eficaz y máximo de la intensidad de la corriente.
La tensión dada se interpreta como valor eficaz:
\[
V_{ef}=230\ \text{V}
\]
La resistencia es:
\[
R=100\ \Omega
\]
Aplicando la ley de Ohm con valores eficaces:
\[
I_{ef}=\frac{V_{ef}}{R}
\]
\[
I_{ef}=\frac{230}{100}
\]
\[
I_{ef}=2,3\ \text{A}
\]
El valor máximo de la corriente es:
\[
I_{máx}=I_{ef}\sqrt{2}
\]
\[
I_{máx}=2,3\sqrt{2}
\]
\[
I_{máx}=3,25\ \text{A}
\]
Respuesta:
\[
I_{ef}=2,3\ \text{A}
\]
\[
I_{máx}=3,25\ \text{A}
\]
Ciclo o período
En el alternador elemental , se podría decir que cada vuelta que da la espira produce un ciclo. El período es el tiempo que transcurre en un ciclo completo. Se representa por la letra \(T\) y se mide en segundos.
En el ejemplo de la figura anterior se puede comprobar que el período es de \(20\ \text{ms}\). Este tiempo es pequeño, y en el caso de que lo produjese nuestro alternador elemental, significaría que tarda solamente \(20\ \text{ms}\) en completar una vuelta.
Si una vuelta tarda:
\[
T=0,02\ \text{s}
\]
entonces, en \(1\ \text{s}\), el número de vueltas será:
\[
\frac{1}{0,02}=50
\]
Por lo tanto, el alternador gira a:
\[
50\ \text{vueltas/s}
\]
y produce una corriente alterna senoidal de:
\[
50\ \text{ciclos/s}=50\ \text{Hz}
\]
Ejemplo
¿Cuál será el valor de la frecuencia de una corriente alterna senoidal si mediante un osciloscopio determinamos que su período es de \(0,010\ \text{s}\)?
La frecuencia es la inversa del período:
\[
f=\frac{1}{T}
\]
Sustituyendo:
\[
f=\frac{1}{0,010}
\]
\[
f=100\ \text{Hz}
\]
Respuesta:
\[
f=100\ \text{Hz}
\]
Ejemplo
Determinar el período que le corresponde a la frecuencia de la red eléctrica de Estados Unidos, si su frecuencia es de \(60\ \text{Hz}\).
El período es:
\[
T=\frac{1}{f}
\]
Sustituyendo:
\[
T=\frac{1}{60}
\]
\[
T=0,01666\ \text{s}
\]
En milisegundos:
\[
T=16,66\ \text{ms}
\]
Respuesta:
\[
T=0,01666\ \text{s}=16,66\ \text{ms}
\]
Para medir la frecuencia se utiliza el frecuencímetro.
Ejemplo
En la figura 10 se muestra el esquema de conexiones de un frecuencímetro y un voltímetro de corriente alterna conectados a la entrada de un cuadro de distribución. Las lecturas de estos aparatos de medida son \(40\ \text{Hz}\) y \(500\ \text{V}\), respectivamente. Determinar el período y el valor máximo de la tensión.
Figura 10, frecuencímetro y voltímetro de CA conectados a la entrada de un cuadro de distribución.]
Datos:
\[
f=40\ \text{Hz}
\]
\[
V_{ef}=500\ \text{V}
\]
El período es:
\[
T=\frac{1}{f}
\]
\[
T=\frac{1}{40}
\]
\[
T=0,025\ \text{s}
\]
El valor máximo de la tensión es:
\[
V_{máx}=V_{ef}\sqrt{2}
\]
\[
V_{máx}=500\sqrt{2}
\]
\[
V_{máx}=707\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
T=0,025\ \text{s}
\]
\[
V_{máx}=707\ \text{V}
\]
Relación entre la frecuencia y la velocidad angular
La frecuencia está relacionada directamente con la velocidad angular \(\omega\) a la que gira el alternador. Para que un alternador con un par de polos produzca, por ejemplo, una frecuencia de \(50\ \text{Hz}\), necesita girar a una velocidad de \(50\) revoluciones por segundo. La velocidad angular que le corresponde es:
\[
\omega=\frac{\alpha}{t}
\]
En una revolución se recorren:
\[
\alpha=2\pi\ \text{rad}
\]
Si se producen \(50\) revoluciones por segundo:
\[
\omega=\frac{50\cdot2\pi}{1}
\]
\[
\omega=100\pi\ \text{rad/s}
\]
Otra forma de verlo es:
\[
\omega=\frac{2\pi}{T}
\]
Como:
\[
f=\frac{1}{T}
\]
entonces:
\[
\omega=2\pi f
\]
Ejemplo
¿Qué valor instantáneo alcanzará una tensión de \(50\ \text{Hz}\), si el valor máximo es de \(311\ \text{V}\) y el tiempo es de \(0,003\ \text{s}\)?
Primero se calcula la velocidad angular:
\[
\omega=2\pi f
\]
\[
\omega=2\pi\cdot50
\]
\[
\omega=100\pi\ \text{rad/s}
\]
La tensión instantánea es:
\[
v=V_{máx}\sin(\omega t)
\]
Datos:
\[
V_{máx}=311\ \text{V}
\]
\[
t=0,003\ \text{s}
\]
Sustituyendo:
\[
v=311\sin(100\pi\cdot0,003)
\]
\[
v=311\sin(0,3\pi)
\]
Como:
\[
0,3\pi\ \text{rad}=54^\circ
\]
entonces:
\[
v=311\sin54^\circ
\]
\[
v=311(0,809)
\]
\[
v=251,6\ \text{V}
\]
Respuesta:
\[
v=251,6\ \text{V}
\]
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Valores característicos de la corriente alterna
OCR: Los valores instantáneos son los valores que toman las magnitudes alternas en cualquier instante del tiempo.
Generalmente se representan mediante letras minúsculas como i, v, e, etc.
El mayor valor alcanzado durante medio ciclo se denomina valor pico, valor máximo o amplitud de la onda.
Estos valores suelen representarse mediante:
\(V_m,\ I_m,\ E_m\)
El valor pico a pico es la diferencia entre el valor máximo positivo y el valor máximo negativo dentro de un ciclo completo.
Valor medio o promedio
El valor medio o valor promedio de una magnitud alterna simétrica (como una onda senoidal)
es el valor promedio medido durante medio ciclo, ya que durante un ciclo completo el promedio es cero.
Expresión general:
\[
\text{Valor promedio}=
\frac{\text{Área bajo la curva}}
{\text{Longitud de la base}}
\]
El área bajo la curva puede obtenerse por métodos aproximados como la
regla trapezoidal, la regla de ordenadas medias o la regla de Simpson.
Los valores promedio suelen representarse mediante:
\(V_{AV},\ I_{AV},\ E_{AV}\)
Para una onda senoidal:
\[
\text{Valor promedio}=0,637\times \text{valor máximo}
\]
o bien:
\[
\text{Valor promedio}=
\frac{2}{\pi}\times \text{valor máximo}
\]
Valor eficaz o RMS
El valor eficaz de una corriente alterna es aquel valor de corriente que produce
el mismo efecto térmico que una corriente continua equivalente.
Este valor también se denomina:
RMS (Root Mean Square), es decir,
raíz cuadrática media.
Cuando se especifica un valor de tensión o corriente alterna, generalmente se entiende
que se trata del valor eficaz.
Por ejemplo, cuando se dice que una red entrega 240 V, normalmente significa:
240 V RMS
Para una onda no senoidal:
\[
I=
\sqrt{
\frac{i_1^2+i_2^2+\cdots+i_n^2}
{n}
}
\]
donde:
\(n\) = número de intervalos considerados.
Para una onda senoidal:
\[
\text{Valor RMS}=0,707\times \text{valor máximo}
\]
o bien:
\[
\text{Valor RMS}=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\times \text{valor máximo}
\]
Factor de forma
El factor de forma se define como:
\[
\text{Factor de forma}=
\frac{\text{valor RMS}}
{\text{valor promedio}}
\]
Para una onda senoidal:
\[
\text{Factor de forma}=1,11
\]
Factor de pico
El factor de pico se define como:
\[
\text{Factor de pico}=
\frac{\text{valor máximo}}
{\text{valor RMS}}
\]
Para una onda senoidal:
\[
\text{Factor de pico}=1,41
\]
Los factores de forma y de pico permiten obtener información sobre la forma de onda.
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