Valores característicos de formas de onda periódicas

Para las formas de onda periódicas mostradas en la figura siguiente,

determinar para cada una:

• Frecuencia.
• Valor promedio durante medio ciclo.
• Valor eficaz (RMS).
• Factor de forma.
• Factor de cresta o pico.

(a) Onda triangular

(i) Frecuencia

El tiempo de un ciclo completo es:

\[ T=20\text{ ms}=20\times10^{-3}\text{ s} \]

Por lo tanto:

\[ f=\frac{1}{T} \]

\[ f=\frac{1}{20\times10^{-3}} \]

\[ f=50\text{ Hz} \]

Respuesta: \(50\text{ Hz}\)

(ii) Valor promedio en medio ciclo

El área bajo una onda triangular es:

\[ A=\frac{1}{2}\times base \times altura \]

\[ A=\frac{1}{2}(10\times10^{-3})(200) \]

\[ A=1\ \text{V}\cdot\text{s} \]

El valor promedio será:

\[ V_{med}=\frac{A}{base} \]

\[ V_{med}=\frac{1}{10\times10^{-3}} \]

\[ V_{med}=100\text{ V} \]

Respuesta: \(100\text{ V}\)

(iii) Valor eficaz (RMS)

Dividiendo el cuarto de ciclo en cuatro intervalos:

\[ V_{rms}= \sqrt{ \frac{ v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2 }{4} } \]

Sustituyendo:

\[ V_{rms}= \sqrt{ \frac{ 25^2+75^2+125^2+175^2 }{4} } \]

\[ V_{rms}=114,6\text{ V} \]

Respuesta: \(114,6\text{ V}\)

(iv) Factor de forma

\[ FF=\frac{V_{rms}}{V_{med}} \]

\[ FF=\frac{114,6}{100} \]

\[ FF=1,15 \]

Respuesta: \(1,15\)

(v) Factor de cresta

\[ FC=\frac{V_{max}}{V_{rms}} \]

\[ FC=\frac{200}{114,6} \]

\[ FC=1,75 \]

Respuesta: \(1,75\)

(b) Onda rectangular

(i) Frecuencia

El período es:

\[ T=16\text{ ms}=16\times10^{-3}\text{ s} \]

Por lo tanto:

\[ f=\frac{1}{T} \]

\[ f=\frac{1}{16\times10^{-3}} \]

\[ f=62,5\text{ Hz} \]

Respuesta: \(62,5\text{ Hz}\)

(ii) Valor promedio

\[ I_{med}= \frac{ 10(8\times10^{-3}) }{ 8\times10^{-3} } \]

\[ I_{med}=10\text{ A} \]

Respuesta: \(10\text{ A}\)

(iii) Valor eficaz

En una onda rectangular:

\[ I_{rms}=I_{max} \]

\[ I_{rms}=10\text{ A} \]

Respuesta: \(10\text{ A}\)

(iv) Factor de forma

\[ FF=\frac{I_{rms}}{I_{med}} \]

\[ FF=\frac{10}{10}=1 \]

Respuesta: \(1\)

(v) Factor de cresta

\[ FC=\frac{I_{max}}{I_{rms}} \]

\[ FC=\frac{10}{10}=1 \]

Respuesta: \(1\)

Se aplica una tensión alterna (alternating voltage) definida por:

$$ v = 282,8 \ sen(314t) \ volts $$

Determinar:

• (a) La tensión eficaz (r.m.s. voltage)
• (b) La frecuencia (frequency)
• (c) El valor instantáneo de tensión (instantaneous voltage) cuando: $$ t=4ms $$

La ecuación general de una señal alterna senoidal es:

$$ v=V_m \ sen(\omega t \pm \phi) $$

Comparando con la ecuación dada:

$$ v=282,8 \ sen(314t) $$

se obtiene que el valor máximo (peak value) es:

$$ V_m=282,8V $$

La tensión eficaz se calcula mediante:

$$ V_{rms}=0,707V_m $$

Reemplazando:

$$ V_{rms}=0,707 \times 282,8 $$

$$ V_{rms}=200V $$

La velocidad angular (angular velocity) es:

$$ \omega =314 \ rad/s $$

Sabemos que:

$$ \omega=2\pi f $$

Despejando la frecuencia:

$$ f=\frac{\omega}{2\pi} $$

Reemplazando:

$$ f=\frac{314}{2\pi} $$

$$ f=50Hz $$

Sustituyendo:

$$ t=4ms=4\times10^{-3}s $$

en la ecuación original:

$$ v=282,8\ sen(314\times4\times10^{-3}) $$

$$ v=282,8\ sen(1,256) $$

$$ v=268,9V $$

Sabemos que:

$$ 1,256 \ rad $$

equivale a:

$$ 1,256\times\frac{180^\circ}{\pi} $$

$$ =71,96^\circ $$

Por lo tanto:

$$ v=282,8\ sen(71,96^\circ) $$

$$ v=268,9V $$

• Tensión eficaz (r.m.s. voltage): $$ 200V $$
• Frecuencia (frequency): $$ 50Hz $$
• Tensión instantánea para 4 ms (instantaneous voltage): $$ 268,9V $$

Se aplica una tensión alterna (alternating voltage) definida por:

$$ v = 75 \ sen(200\pi t - 0,25) \ volts $$

Determinar:

• (a) La amplitud (amplitude)
• (b) El valor pico a pico (peak-to-peak value)
• (c) El valor eficaz (r.m.s. value)
• (d) El período (periodic time)
• (e) La frecuencia (frequency)
• (f) El ángulo de fase (phase angle), en grados, respecto de: $$ 75 \ sen(200\pi t) $$

La ecuación general de una onda alterna senoidal es:

$$ v=V_m\operatorname{sen}(\omega t \pm \phi) $$

Comparando con:

$$ v=75\operatorname{sen}(200\pi t-0,25) $$

se obtiene:

$$ V_m=75V $$

Por lo tanto, la amplitud (amplitude) o valor máximo es:

$$ 75V $$

Sabemos que:

$$ V_{pp}=2V_m $$

Entonces:

$$ V_{pp}=2\times75 $$

$$ V_{pp}=150V $$

La tensión eficaz se calcula mediante:

$$ V_{rms}=0,707V_m $$

Reemplazando:

$$ V_{rms}=0,707\times75 $$

$$ V_{rms}=53V $$

La velocidad angular (angular velocity) es:

$$ \omega=200\pi \ rad/s $$

Sabemos que:

$$ T=\frac{2\pi}{\omega} $$

Reemplazando:

$$ T=\frac{2\pi}{200\pi} $$

$$ T=\frac{1}{100} $$

$$ T=0,01s $$

o bien:

$$ T=10ms $$

Sabemos que:

$$ f=\frac{1}{T} $$

Entonces:

$$ f=\frac{1}{0,01} $$

$$ f=100Hz $$

Comparando ambas expresiones:

$$ 75\operatorname{sen}(200\pi t-0,25) $$

y

$$ 75\operatorname{sen}(200\pi t) $$

el ángulo de fase (phase angle) es:

$$ \phi=0,25 \ rad $$

Convertimos a grados:

$$ \phi=0,25\times\frac{180^\circ}{\pi} $$

$$ \phi=14,32^\circ $$

Como el signo es negativo:

$$ (200\pi t-0,25) $$

la señal está en atraso de fase (phase lag).

Por lo tanto:

$$ \phi=14,32^\circ \ atraso $$

• Amplitud (amplitude): $$75V$$
• Valor pico a pico (peak-to-peak value): $$150V$$
• Valor eficaz (r.m.s. value): $$53V$$
• Período (period): $$10ms$$
• Frecuencia (frequency): $$100Hz$$
• Ángulo de fase (phase angle): $$14,32^\circ \ atraso$$

Una magnitud alterna puede representarse mediante un fasor (phasor), que es un vector que gira con velocidad angular constante.

Si el vector gira con una velocidad angular (angular velocity) $\omega$, expresada en:

$$ rad/s $$

entonces, después de un tiempo $t$, el vector habrá girado un ángulo:

$$ \omega t $$

La proyección vertical del vector genera una onda senoidal (sinusoidal waveform).

Matemáticamente:

$$ \sin \omega t=\frac{BC}{OB} $$

Por lo tanto:

$$ BC=OB \sin \omega t $$

FIGURA 1: Generación de una onda senoidal mediante un fasor giratorio.

Una onda senoidal no necesariamente comienza en cero. Puede presentar un desfase angular (phase shift), representado por $\phi$.

La ecuación general de una señal senoidal es:

$$ v=V_m\sin(\omega t \pm \phi) $$

donde:

• $V_m$ = valor máximo o amplitud (maximum value or amplitude)
• $\omega$ = velocidad angular (angular velocity)
• $t$ = tiempo
• $\phi$ = ángulo de fase (phase angle)

Cuando una señal aparece antes que otra, se dice que está en adelanto de fase (phase lead).

Cuando aparece después, se dice que está en atraso de fase (phase lag).

FIGURA 2: Ondas adelantadas y atrasadas en fase.

Parámetros principales de una señal senoidal

Dada la expresión general:

$$ v=V_m\sin(\omega t \pm \phi) $$

• Amplitud o valor máximo (Amplitude or maximum value): $$ V_m $$
• Valor pico a pico (Peak-to-peak value): $$ V_{pp}=2V_m $$
• Velocidad angular (Angular velocity): $$ \omega \ rad/s $$
• Período (Period): $$ T=\frac{2\pi}{\omega} $$
• Frecuencia (Frequency): $$ f=\frac{\omega}{2\pi} $$
• Ángulo de fase (Phase angle): $$ \phi $$

Conceptos principales

• Los materiales aislantes deben seleccionarse según el valor pico de tensión.
• Los fusibles se calculan usando corriente eficaz.
• Una señal alterna puede representarse mediante un fasor giratorio.
• La ecuación básica de una onda senoidal es: $$v=V_m\sin(\omega t)$$
• Una señal puede adelantarse o atrasarse respecto de otra mediante un ángulo de fase.
• La frecuencia y el período están relacionados por: $$f=\frac{1}{T}$$

Resistencia en los circuitos de corriente alterna

• Fuente de corriente alterna. (Alternating current source)
• Tensión de alimentación de 110 V. (110 V supply voltage)
• Resistencia de carga. (Load resistor)
• Resistencia de carga de 10 ohmios. (10-ohm load resistor)
• Corriente del circuito de 11 amperios. (11-amp circuit current)
• Diagrama esquemático. (Schematic diagram)
• Forma de onda del voltaje. (Voltage waveform)
• Forma de onda de la corriente. (Current waveform)
• Amplitud de la señal. (Signal amplitude)
• Eje de tiempo. (Time axis)
• Ciclo de corriente alterna. (Alternating current cycle)
• Voltaje instantáneo. (Instantaneous voltage)
• Corriente instantánea. (Instantaneous current)
• Onda senoidal de voltaje. (Sinusoidal voltage wave)
• Onda senoidal de corriente. (Sinusoidal current wave)
• Cruce por cero. (Zero crossing)
• Semiciclo positivo. (Positive half-cycle)
• Semiciclo negativo. (Negative half-cycle)
• Valor máximo de corriente. (Peak current value)
• Valor máximo de voltaje. (Peak voltage value)
• Diagrama fasorial. (Phasor diagram)
• Fasor de corriente. (Current phasor)
• Fasor de voltaje. (Voltage phasor)
• Corriente en fase con el voltaje. (Current in phase with voltage)
• Ángulo de fase nulo. (Zero phase angle)
• Circuito puramente resistivo. (Purely resistive circuit)
• Impedancia resistiva. (Resistive impedance)
• Magnitud fasorial. (Phasor magnitude)
• Sentido de rotación fasorial. (Phasor rotation direction)
• Respuesta senoidal en carga resistiva. (Sinusoidal response in resistive load)

Fig. 16, circuito de corriente alterna solo con resistencia. Incluye diagrama esquemático, formas de onda de \(i\) y \(v\), y diagrama fasorial donde \(I\) está en fase con \(V\).]

Para el circuito en serie de la Fig. 16(a): \[ V=110\ \text{V} \] \[ R_L=10\ \Omega \] La corriente eficaz es: \[ I=\frac{V}{R} \] \[ I=\frac{110}{10} \] \[ I=11\ \text{A} \] La potencia disipada por la resistencia es: \[ P=I^2R \] \[ P=11^2(10) \] \[ P=1210\ \text{W} \] Como el circuito es puramente resistivo: \[ \phi=0^\circ \] \[ I \text{ está en fase con } V \]

Ejemplo

Fig. 17(a), fuente de \(110\ \text{V}\) aplicada a dos resistencias en serie \(R_1=5\ \Omega\) y \(R_2=15\ \Omega\).]

Datos: \[ V=110\ \text{V} \] \[ R_1=5\ \Omega \] \[ R_2=15\ \Omega \] La resistencia total en serie es: \[ R_T=R_1+R_2 \] \[ R_T=5+15 \] \[ R_T=20\ \Omega \] La corriente eficaz del circuito es: \[ I=\frac{V}{R_T} \] \[ I=\frac{110}{20} \] \[ I=5,5\ \text{A} \] La caída de voltaje en \(R_1\) es: \[ V_1=IR_1 \] \[ V_1=5,5(5) \] \[ V_1=27,5\ \text{V} \] La caída de voltaje en \(R_2\) es: \[ V_2=IR_2 \] \[ V_2=5,5(15) \] \[ V_2=82,5\ \text{V} \] Verificación: \[ V=V_1+V_2 \] \[ V=27,5+82,5 \] \[ V=110\ \text{V} \] Como \(V_1\) y \(V_2\) están en fase, sus fasores se suman directamente para obtener el fasor total \(V\).

Fig. 17(b), diagrama fasorial. Los fasores \(V_1\), \(V_2\), \(V\) e \(I\) están sobre la misma línea, todos en fase.]

Resultados: \[ I=5,5\ \text{A} \] \[ V_1=27,5\ \text{V} \] \[ V_2=82,5\ \text{V} \] \[ V=110\ \text{V} \]

Corriente alternada en resistencia pura

Fig. 3. Corriente y voltaje en resistencia pura.

En una resistencia pura, la tensión y la corriente tienen la misma forma senoidal y pasan por cero, máximo positivo, cero, máximo negativo y nuevo cero en los mismos instantes.

La tensión instantánea puede expresarse como: \[ e=E_m\sin\omega t \] La corriente instantánea será: \[ i=I_m\sin\omega t \] Como no hay adelanto ni atraso entre tensión y corriente: \[ \phi=0^\circ \] Por lo tanto: \[ E \text{ e } I \text{ están en fase} \] La potencia en una resistencia pura se calcula con valores efectivos mediante: \[ P=EI \] \[ P=I^2R \] \[ P=\frac{E^2}{R} \]