Problema : Reactancia inductiva y capacitiva

Enunciado

¿Cuál es la reactancia de una autoinducción de 1 henrio a la frecuencia de 60 ciclos/seg?

1. ¿Cuál es la autoinducción de una bobina cuya reactancia es de 1 Ω a 60 ciclos/seg?
2. ¿Cuál es la reactancia de un condensador de 1 μF de capacidad para una frecuencia de 60 ciclos/seg?
3. ¿Cuál es la capacidad de un condensador cuya reactancia es de 1 Ω a 60 ciclos/seg?

Datos y fórmulas

La frecuencia es:

\( f = 60 \ \text{Hz} \)

Reactancia inductiva:

\( X_L = 2 \pi f L \)

Reactancia capacitiva:

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi f C} \)

a) Reactancia de una autoinducción de 1 H

Datos:

\( L = 1 \ \text{H} \)

Aplicando la fórmula:

\( X_L = 2 \pi f L \)

\( X_L = 2 \pi \cdot 60 \cdot 1 \)

\( X_L \approx 377 \ \Omega \)

Respuesta: la reactancia inductiva es aproximadamente 377 Ω.

b) Autoinducción de una bobina cuya reactancia es 1 Ω

Datos:

\( X_L = 1 \ \Omega \)

Despejamos la inductancia:

\( L = \dfrac{X_L}{2 \pi f} \)

\( L = \dfrac{1}{2 \pi \cdot 60} \)

\( L \approx 0,00265 \ \text{H} \)

\( L \approx 2,65 \ \text{mH} \)

Respuesta: la autoinducción es aproximadamente 0,00265 H, o sea 2,65 mH.

c) Reactancia de un condensador de 1 μF

Datos:

\( C = 1 \ \mu F = 1 \times 10^{-6} \ \text{F} \)

Aplicando la fórmula:

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi f C} \)

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi \cdot 60 \cdot 1 \times 10^{-6}} \)

\( X_C \approx 2652,6 \ \Omega \)

Respuesta: la reactancia capacitiva es aproximadamente 2653 Ω.

d) Capacidad de un condensador cuya reactancia es 1 Ω

Datos:

\( X_C = 1 \ \Omega \)

Despejamos la capacidad:

\( C = \dfrac{1}{2 \pi f X_C} \)

\( C = \dfrac{1}{2 \pi \cdot 60 \cdot 1} \)

\( C \approx 0,00265 \ \text{F} \)

\( C \approx 2653 \ \mu F \)

Respuesta: la capacidad es aproximadamente 0,00265 F, o sea 2653 μF.

Resultados finales

• a) \( X_L \approx 377 \ \Omega \)
• b) \( L \approx 0,00265 \ \text{H} = 2,65 \ \text{mH} \)
• c) \( X_C \approx 2653 \ \Omega \)
• d) \( C \approx 0,00265 \ \text{F} = 2653 \ \mu F \)

Problema 2: Reactancia inductiva y capacitiva a distintas frecuencias

Enunciado

1. Calcúlese la reactancia de una autoinducción de 10 henrios para las frecuencias de 60 ciclos/seg. y 600 ciclos/seg.
2. Hállese la reactancia de un condensador de 10 μF para las mismas frecuencias.
3. ¿Para qué frecuencia es la reactancia de una autoinducción de 10 henrios igual a la de un condensador de 10 μF?

Fundamento teórico

La oposición que presenta una bobina al paso de una corriente alterna se denomina reactancia inductiva y aumenta con la frecuencia. En cambio, la oposición que presenta un condensador se denomina reactancia capacitiva y disminuye al aumentar la frecuencia.

Las ecuaciones fundamentales son:

\( X_L = 2 \pi f L \)

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi f C} \)

donde:

• \(X_L\) = reactancia inductiva (Ω)
• \(X_C\) = reactancia capacitiva (Ω)
• \(f\) = frecuencia (Hz)
• \(L\) = inductancia (H)
• \(C\) = capacidad (F)

a) Reactancia de una autoinducción de 10 H

Datos:

\( L = 10\;H \)

Para 60 Hz

\( X_L = 2 \pi f L \)

\( X_L = 2 \pi \times 60 \times 10 \)

\( X_L = 3769,9 \; \Omega \)

\( X_L \approx 3770 \; \Omega \)

Para 600 Hz

\( X_L = 2 \pi \times 600 \times 10 \)

\( X_L = 37699 \; \Omega \)

\( X_L \approx 37700 \; \Omega \)

Respuesta:

• A 60 Hz: \(X_L \approx 3770 \; \Omega\)
• A 600 Hz: \(X_L \approx 37700 \; \Omega\)

b) Reactancia de un condensador de 10 μF

Datos:

\( C = 10 \; \mu F = 10 \times 10^{-6}\;F \)

Para 60 Hz

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi f C} \)

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi \times 60 \times 10\times10^{-6}} \)

\( X_C = 265,26 \; \Omega \)

\( X_C \approx 265 \; \Omega \)

Para 600 Hz

\( X_C = \dfrac{1}{2 \pi \times 600 \times 10\times10^{-6}} \)

\( X_C = 26,53 \; \Omega \)

\( X_C \approx 26,5 \; \Omega \)

Respuesta:

• A 60 Hz: \(X_C \approx 265 \; \Omega\)
• A 600 Hz: \(X_C \approx 26,5 \; \Omega\)

c) Frecuencia para la cual las reactancias son iguales

Cuando:

\( X_L = X_C \)

\( 2\pi fL = \dfrac{1}{2\pi fC} \)

Multiplicando ambos miembros:

\( (2\pi f)^2LC = 1 \)

Despejando la frecuencia:

\( f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)

Sustituyendo:

\( f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{10\times10\times10^{-6}}} \)

\( f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}}} \)

\( f = \dfrac{1}{2\pi(0,01)} \)

\( f = 15,92\;Hz \)

\( f \approx 15,9\;Hz \)

Respuesta: las reactancias son iguales para una frecuencia de aproximadamente 15,9 Hz.

Resultados finales

• a) \(X_L = 3770\;\Omega\) a 60 Hz y \(37700\;\Omega\) a 600 Hz.
• b) \(X_C = 265\;\Omega\) a 60 Hz y \(26,5\;\Omega\) a 600 Hz.
• c) Frecuencia de igualdad de reactancias: \(f \approx 15,9\;Hz\).

Problema 3: Circuito RLC serie en corriente alterna

Enunciado

3. Una autoinducción de reactancia 10 Ω y un condensador de reactancia 25 Ω, medidas a 60 ciclos/seg, se encuentran conectados en serie con una resistencia de 10 Ω a una línea de corriente alterna de 60 ciclos y diferencia de potencial eficaz 100 V.

1. Calcúlese el voltaje entre los bornes de cada parte del circuito.
2. Hállense las expresiones del voltaje y de la intensidad instantáneas en la línea.

Datos

\( R = 10\;\Omega \)

\( X_L = 10\;\Omega \)

\( X_C = 25\;\Omega \)

\( f = 60\;\text{Hz} \)

\( V = 100\;\text{V} \)

Fundamento teórico

En un circuito RLC serie, la reactancia total es la diferencia entre la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva:

\( X = X_L - X_C \)

La impedancia total del circuito es:

\( Z = \sqrt{R^2 + X^2} \)

La corriente eficaz se calcula mediante:

\( I = \dfrac{V}{Z} \)

Cálculo de la impedancia

\( X = X_L - X_C \)

\( X = 10 - 25 = -15\;\Omega \)

El signo negativo indica que el circuito tiene comportamiento capacitivo.

\( Z = \sqrt{10^2 + (-15)^2} \)

\( Z = \sqrt{100 + 225} \)

\( Z = \sqrt{325} \)

\( Z \approx 18,03\;\Omega \)

Corriente eficaz del circuito

\( I = \dfrac{V}{Z} \)

\( I = \dfrac{100}{18,03} \)

\( I \approx 5,55\;\text{A} \)

a) Voltaje entre los bornes de cada elemento

Voltaje en la resistencia

\( V_R = I R \)

\( V_R = 5,55 \times 10 \)

\( V_R \approx 55,5\;\text{V} \)

Voltaje en la autoinducción

\( V_L = I X_L \)

\( V_L = 5,55 \times 10 \)

\( V_L \approx 55,5\;\text{V} \)

Voltaje en el condensador

\( V_C = I X_C \)

\( V_C = 5,55 \times 25 \)

\( V_C \approx 138,7\;\text{V} \)

Obsérvese que el voltaje del condensador puede ser mayor que el voltaje aplicado a la línea, porque en corriente alterna los voltajes de la resistencia, la inductancia y el condensador no se suman aritméticamente, sino vectorialmente.

b) Expresiones instantáneas del voltaje y de la corriente

La pulsación angular es:

\( \omega = 2 \pi f \)

\( \omega = 2 \pi \times 60 \)

\( \omega \approx 377\;\text{rad/s} \)

El valor máximo del voltaje de línea es:

\( V_m = \sqrt{2}\,V \)

\( V_m = \sqrt{2} \times 100 \)

\( V_m \approx 141,4\;\text{V} \)

Por lo tanto, el voltaje instantáneo de línea puede escribirse como:

\( v = 141,4 \; \operatorname{sen}(377t) \)

El ángulo de fase es:

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{X}{R}\right) \)

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{-15}{10}\right) \)

\( \varphi \approx -56,3^\circ \)

Como el circuito es capacitivo, la corriente adelanta al voltaje en \(56,3^\circ\).

El valor máximo de la corriente es:

\( I_m = \sqrt{2}\,I \)

\( I_m = \sqrt{2} \times 5,55 \)

\( I_m \approx 7,84\;\text{A} \)

Entonces, la corriente instantánea de línea es:

\( i = 7,84 \; \operatorname{sen}(377t + 56,3^\circ) \)

Resultados finales

• Voltaje en la resistencia: \( V_R \approx 55,5\;\text{V} \)
• Voltaje en la autoinducción: \( V_L \approx 55,5\;\text{V} \)
• Voltaje en el condensador: \( V_C \approx 138,7\;\text{V} \)
• Voltaje instantáneo de línea: \( v = 141,4 \operatorname{sen}(377t) \)
• Corriente instantánea de línea: \( i = 7,84 \operatorname{sen}(377t + 56,3^\circ) \)

Problema 4: Circuito RLC serie

Enunciado

4. En la figura 1, \( I = 5\;A \), \( R = 8\;\Omega \), \( X_L = 6\;\Omega \), \( X_C = 12\;\Omega \). Calcúlense \( V_{ab} \), \( V_{bc} \), \( V_{cd} \), \( V_{ad} \), y la diferencia de fase entre la intensidad de la corriente y el voltaje en la línea.

Fig. 1

Datos

\( I = 5\;A \)

\( R = 8\;\Omega \)

\( X_L = 6\;\Omega \)

\( X_C = 12\;\Omega \)

Fundamento teórico

En un circuito serie, la misma corriente circula por la resistencia, la inductancia y el condensador. Los voltajes eficaces en cada elemento se calculan mediante:

\( V_R = I R \)

\( V_L = I X_L \)

\( V_C = I X_C \)

El voltaje total no se obtiene sumando directamente los valores, porque los voltajes están desfasados. En la resistencia, el voltaje está en fase con la corriente; en la inductancia, adelanta 90°; y en el condensador, atrasa 90°.

Cálculo de los voltajes parciales

Voltaje entre a y b

\( V_{ab} = I R \)

\( V_{ab} = 5 \times 8 \)

\( V_{ab} = 40\;V \)

Voltaje entre b y c

\( V_{bc} = I X_L \)

\( V_{bc} = 5 \times 6 \)

\( V_{bc} = 30\;V \)

Voltaje entre c y d

\( V_{cd} = I X_C \)

\( V_{cd} = 5 \times 12 \)

\( V_{cd} = 60\;V \)

Cálculo del voltaje total entre a y d

La reactancia neta del circuito es:

\( X = X_L - X_C \)

\( X = 6 - 12 = -6\;\Omega \)

El signo negativo indica que el circuito tiene comportamiento capacitivo.

La impedancia total es:

\( Z = \sqrt{R^2 + X^2} \)

\( Z = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \)

\( Z = \sqrt{64 + 36} \)

\( Z = 10\;\Omega \)

Entonces:

\( V_{ad} = I Z \)

\( V_{ad} = 5 \times 10 \)

\( V_{ad} = 50\;V \)

Diferencia de fase

El ángulo de fase se calcula mediante:

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{X}{R}\right) \)

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{-6}{8}\right) \)

\( \varphi \approx -36,9^\circ \)

Como la reactancia neta es capacitiva, la corriente adelanta al voltaje de línea en aproximadamente \(36,9^\circ\).

Resultados finales

• \( V_{ab} = 40\;V \)
• \( V_{bc} = 30\;V \)
• \( V_{cd} = 60\;V \)
• \( V_{ad} = 50\;V \)
• La corriente adelanta al voltaje de línea en \(36,9^\circ\).

Problema 5: Impedancia en circuito RLC serie

Enunciado

5. Una resistencia de \(400\;\Omega\) está en serie con una autoinducción de \(0,1\;H\) y un condensador de \(0,5\;\mu F\). Calcúlese la impedancia del circuito y dibújese el diagrama del vector impedancia:

1. a la frecuencia de 500 ciclos/seg;
2. a la frecuencia de 1000 ciclos/seg.

Hállese, en cada caso, la diferencia de fase entre la intensidad de la corriente y el voltaje en la línea, y dígase si la intensidad de la corriente está retrasada o adelantada.

Datos

\( R = 400\;\Omega \)

\( L = 0,1\;H \)

\( C = 0,5\;\mu F = 0,5 \times 10^{-6}\;F \)

Fórmulas

\( X_L = 2\pi f L \)

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} \)

\( X = X_L - X_C \)

\( Z = \sqrt{R^2 + X^2} \)

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{X}{R}\right) \)

a) Para \( f = 500\;Hz \)

Reactancia inductiva:

\( X_L = 2\pi \times 500 \times 0,1 \)

\( X_L \approx 314,16\;\Omega \)

Reactancia capacitiva:

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi \times 500 \times 0,5 \times 10^{-6}} \)

\( X_C \approx 636,62\;\Omega \)

Reactancia total:

\( X = X_L - X_C \)

\( X = 314,16 - 636,62 \)

\( X \approx -322,46\;\Omega \)

Como \(X\) es negativa, el circuito tiene comportamiento capacitivo.

Impedancia:

\( Z = \sqrt{400^2 + (-322,46)^2} \)

\( Z \approx 513,78\;\Omega \)

Ángulo de fase:

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{-322,46}{400}\right) \)

\( \varphi \approx -38,9^\circ \)

Resultado: a 500 Hz, la impedancia es:

\( Z \approx 513,8\;\Omega \)

La corriente está adelantada respecto del voltaje de línea en aproximadamente \(38,9^\circ\).

Diagrama del vector impedancia para 500 Hz

           R = 400 Ω
O----------------------------->
 \
  \
   \
    \  Z = 513,8 Ω
     \
      ↓
      X = -322,5 Ω

Circuito capacitivo: la corriente adelanta al voltaje.

b) Para \( f = 1000\;Hz \)

Reactancia inductiva:

\( X_L = 2\pi \times 1000 \times 0,1 \)

\( X_L \approx 628,32\;\Omega \)

Reactancia capacitiva:

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi \times 1000 \times 0,5 \times 10^{-6}} \)

\( X_C \approx 318,31\;\Omega \)

Reactancia total:

\( X = X_L - X_C \)

\( X = 628,32 - 318,31 \)

\( X \approx 310,01\;\Omega \)

Como \(X\) es positiva, el circuito tiene comportamiento inductivo.

Impedancia:

\( Z = \sqrt{400^2 + 310,01^2} \)

\( Z \approx 506,08\;\Omega \)

Ángulo de fase:

\( \varphi = \operatorname{arctg}\left(\dfrac{310,01}{400}\right) \)

\( \varphi \approx 37,8^\circ \)

Resultado: a 1000 Hz, la impedancia es:

\( Z \approx 506,1\;\Omega \)

La corriente está retrasada respecto del voltaje de línea en aproximadamente \(37,8^\circ\).

Diagrama del vector impedancia para 1000 Hz

      X = +310 Ω
      ↑
      |
      |
      |     Z = 506,1 Ω
      |    /
      |   /
      |  /
O----------------------------->
           R = 400 Ω

Circuito inductivo: la corriente retrasa al voltaje.

Resultados finales

• a) Para \(500\;Hz\): \(Z \approx 513,8\;\Omega\). La corriente está adelantada \(38,9^\circ\).
• b) Para \(1000\;Hz\): \(Z \approx 506,1\;\Omega\). La corriente está retrasada \(37,8^\circ\).

Problema 6: Circuito serie R-L en corriente alterna

Enunciado

6.

1. Una resistencia pura y una autoinducción pura están en serie y conectadas a una línea de corriente alterna de 100 V. Un voltímetro para corriente alterna da la misma lectura cuando se conecta en paralelo a la resistencia y a la autoinducción. ¿Cuánto señala?
2. Los valores de la resistencia y de la autoinducción de la parte a) se modifican de modo que un voltímetro colocado en paralelo con la autoinducción señale 50 V. ¿Cuál será la indicación del voltímetro cuando se conecte en paralelo con la resistencia?

Fundamento teórico

En un circuito serie formado por una resistencia pura y una autoinducción pura, el voltaje en la resistencia está en fase con la corriente, mientras que el voltaje en la autoinducción adelanta 90° respecto de la corriente. Por lo tanto, los voltajes no se suman aritméticamente, sino vectorialmente.

La tensión total de línea se calcula mediante:

\( V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2} \)

donde:

• \(V\) es la tensión total de línea.
• \(V_R\) es la tensión en la resistencia.
• \(V_L\) es la tensión en la autoinducción.

a) Lecturas iguales en la resistencia y en la autoinducción

Datos:

\( V = 100\;V \)

Como el voltímetro indica lo mismo en ambos elementos:

\( V_R = V_L \)

Entonces:

\( V = \sqrt{V_R^2 + V_R^2} \)

\( 100 = \sqrt{2V_R^2} \)

\( 100 = V_R\sqrt{2} \)

Despejando:

\( V_R = \dfrac{100}{\sqrt{2}} \)

\( V_R \approx 70,7\;V \)

Como \(V_R = V_L\):

\( V_L \approx 70,7\;V \)

Respuesta: el voltímetro señala aproximadamente 70,7 V tanto en la resistencia como en la autoinducción.

b) Voltaje en la resistencia cuando el voltaje en la autoinducción es 50 V

Datos:

\( V = 100\;V \)

\( V_L = 50\;V \)

Aplicando la relación vectorial:

\( V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2} \)

\( 100 = \sqrt{V_R^2 + 50^2} \)

Elevando al cuadrado:

\( 100^2 = V_R^2 + 50^2 \)

\( 10000 = V_R^2 + 2500 \)

\( V_R^2 = 10000 - 2500 \)

\( V_R^2 = 7500 \)

\( V_R = \sqrt{7500} \)

\( V_R \approx 86,6\;V \)

Respuesta: el voltímetro conectado en paralelo con la resistencia señalará aproximadamente 86,6 V.

Resultados finales

• a) \( V_R = V_L \approx 70,7\;V \)
• b) Si \( V_L = 50\;V \), entonces \( V_R \approx 86,6\;V \)

Problema 7: Límite de tensión en un condensador

Enunciado

7. El voltaje eficaz entre los bornes de un generador de corriente alterna es \(100\;V\) y la frecuencia angular es \( \omega = 2\pi f = 500\;rad/seg \). Entre los bornes del generador hay conectados en serie una resistencia de \(3\;\Omega\), un condensador de \(50\;\mu F\) y una autoinducción que puede variarse de \(10\) a \(80\;mH\). El voltaje máximo entre las armaduras del condensador no debe exceder de \(1200\;V\).

1. ¿Cuál es la máxima intensidad de corriente eficaz admisible en el circuito en serie?
2. ¿Hasta qué valor puede aumentarse la autoinducción sin sobrepasar el límite de seguridad?

Datos

\( V = 100\;V \)

\( \omega = 500\;rad/s \)

\( R = 3\;\Omega \)

\( C = 50\;\mu F = 50 \times 10^{-6}\;F \)

\( V_{Cmax} = 1200\;V \)

a) Máxima corriente eficaz admisible

La reactancia capacitiva es:

\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)

\( X_C = \dfrac{1}{500 \times 50 \times 10^{-6}} \)

\( X_C = 40\;\Omega \)

El voltaje máximo en el condensador es:

\( V_{Cmax} = I_{max} X_C \)

Como la corriente eficaz se relaciona con la corriente máxima por:

\( I_{max} = \sqrt{2}\;I \)

Entonces:

\( V_{Cmax} = \sqrt{2}\;I X_C \)

Despejando:

\( I = \dfrac{V_{Cmax}}{\sqrt{2}X_C} \)

\( I = \dfrac{1200}{\sqrt{2}\times 40} \)

\( I \approx 21,2\;A \)

Respuesta: la máxima corriente eficaz admisible es aproximadamente:

\( I \approx 21,2\;A \)

b) Valor máximo de la autoinducción

La impedancia del circuito serie es:

\( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)

Como:

\( I = \dfrac{V}{Z} \)

La impedancia mínima permitida para no superar la corriente máxima es:

\( Z = \dfrac{V}{I} \)

\( Z = \dfrac{100}{21,2} \)

\( Z \approx 4,71\;\Omega \)

Luego:

\( Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 \)

\( 4,71^2 = 3^2 + (X_L - 40)^2 \)

\( 22,2 = 9 + (X_L - 40)^2 \)

\( (X_L - 40)^2 = 13,2 \)

\( X_L - 40 \approx -3,64 \)

Se toma el signo negativo porque la autoinducción aumenta desde valores menores hasta acercarse a la resonancia.

\( X_L \approx 36,36\;\Omega \)

Como:

\( X_L = \omega L \)

\( L = \dfrac{X_L}{\omega} \)

\( L = \dfrac{36,36}{500} \)

\( L \approx 0,0727\;H \)

\( L \approx 72,7\;mH \)

Resultados finales

• a) \( I \approx 21,2\;A \)
• b) \( L \approx 72,7\;mH \)

Problema 8: Voltaje entre los terminales de una bobina

Enunciado

8. Una bobina de resistencia \(10\;\Omega\) y cuya autoinducción es \(15\;mH\) se halla en serie con una resistencia de \(12\;\Omega\) y un condensador de \(200\;\mu F\) de capacidad, y el conjunto conectado a una línea de corriente alterna de \(100\;V\) y \(60\) ciclos. Calcúlese el voltaje entre los terminales de la bobina.

Datos

\( R_b = 10\;\Omega \)

\( L = 15\;mH = 0,015\;H \)

\( R = 12\;\Omega \)

\( C = 200\;\mu F = 200 \times 10^{-6}\;F \)

\( V = 100\;V \)

\( f = 60\;Hz \)

Fundamento teórico

La bobina real posee resistencia óhmica y reactancia inductiva. Por eso, el voltaje entre sus terminales no se obtiene solamente con \(IR\), sino como la suma vectorial del voltaje resistivo y del voltaje inductivo.

Las reactancias son:

\( X_L = 2\pi fL \)

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi fC} \)

La impedancia total del circuito serie es:

\( Z = \sqrt{R_T^2 + (X_L - X_C)^2} \)

Cálculo de las reactancias

Reactancia inductiva de la bobina:

\( X_L = 2\pi \times 60 \times 0,015 \)

\( X_L \approx 5,65\;\Omega \)

Reactancia capacitiva:

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi \times 60 \times 200 \times 10^{-6}} \)

\( X_C \approx 13,26\;\Omega \)

Impedancia total del circuito

La resistencia total en serie es:

\( R_T = 10 + 12 = 22\;\Omega \)

La reactancia total es:

\( X = X_L - X_C \)

\( X = 5,65 - 13,26 \)

\( X \approx -7,61\;\Omega \)

La impedancia total resulta:

\( Z = \sqrt{22^2 + (-7,61)^2} \)

\( Z \approx 23,28\;\Omega \)

Corriente eficaz del circuito

\( I = \dfrac{V}{Z} \)

\( I = \dfrac{100}{23,28} \)

\( I \approx 4,30\;A \)

Voltaje entre los terminales de la bobina

La impedancia propia de la bobina es:

\( Z_b = \sqrt{R_b^2 + X_L^2} \)

\( Z_b = \sqrt{10^2 + 5,65^2} \)

\( Z_b \approx 11,49\;\Omega \)

Entonces, el voltaje entre los terminales de la bobina es:

\( V_b = I Z_b \)

\( V_b = 4,30 \times 11,49 \)

\( V_b \approx 49,4\;V \)

Resultado final

El voltaje entre los terminales de la bobina es aproximadamente:

\( V_b \approx 49,4\;V \)

Problema 9: Circuito serie con resistencias, inductancia y condensador

Enunciado

Fig. 2

9. Los puntos \(a\) y \(b\) de la figura 2 son los terminales de una línea de corriente alterna de 60 ciclos. El voltaje eficaz entre \(a\) y \(b\) es \(130\;V\). Si \(R_1 = 6\;\Omega\), \(R_2 = R_3 = 3\;\Omega\), \(X_C = 3\;\Omega\), \(X_L = 8\;\Omega\), calcúlese:

1. la intensidad de la corriente en el circuito;
2. el voltaje entre \(a\) y \(c\);
3. el voltaje entre \(c\) y \(d\).

Datos

\( V_{ab} = 130\;V \)

\( R_1 = 6\;\Omega \)

\( R_2 = 3\;\Omega \)

\( R_3 = 3\;\Omega \)

\( X_L = 8\;\Omega \)

\( X_C = 3\;\Omega \)

Fundamento teórico

Como todos los elementos están conectados en serie, la corriente es la misma en todo el circuito. La resistencia total se obtiene sumando las resistencias:

\( R_T = R_1 + R_2 + R_3 \)

La reactancia total es la diferencia entre la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva:

\( X = X_L - X_C \)

La impedancia total del circuito es:

\( Z = \sqrt{R_T^2 + X^2} \)

a) Intensidad de corriente en el circuito

Resistencia total:

\( R_T = 6 + 3 + 3 \)

\( R_T = 12\;\Omega \)

Reactancia total:

\( X = 8 - 3 \)

\( X = 5\;\Omega \)

Impedancia total:

\( Z = \sqrt{12^2 + 5^2} \)

\( Z = \sqrt{144 + 25} \)

\( Z = \sqrt{169} \)

\( Z = 13\;\Omega \)

Corriente eficaz:

\( I = \dfrac{V_{ab}}{Z} \)

\( I = \dfrac{130}{13} \)

\( I = 10\;A \)

b) Voltaje entre \(a\) y \(c\)

Entre \(a\) y \(c\) se encuentran \(X_L\) y \(R_1\). La impedancia de ese tramo es:

\( Z_{ac} = \sqrt{R_1^2 + X_L^2} \)

\( Z_{ac} = \sqrt{6^2 + 8^2} \)

\( Z_{ac} = \sqrt{36 + 64} \)

\( Z_{ac} = 10\;\Omega \)

Por lo tanto:

\( V_{ac} = I Z_{ac} \)

\( V_{ac} = 10 \times 10 \)

\( V_{ac} = 100\;V \)

c) Voltaje entre \(c\) y \(d\)

Entre \(c\) y \(d\) se encuentran el condensador y la resistencia \(R_2\). La impedancia de ese tramo es:

\( Z_{cd} = \sqrt{R_2^2 + X_C^2} \)

\( Z_{cd} = \sqrt{3^2 + 3^2} \)

\( Z_{cd} = \sqrt{18} \)

\( Z_{cd} \approx 4,24\;\Omega \)

Por lo tanto:

\( V_{cd} = I Z_{cd} \)

\( V_{cd} = 10 \times 4,24 \)

\( V_{cd} \approx 42,4\;V \)

Resultados finales

• a) \( I = 10\;A \)
• b) \( V_{ac} = 100\;V \)
• c) \( V_{cd} \approx 42,4\;V \)

Problema 10: Reactancias en función de la frecuencia

Enunciado

10. Las reactancias de una autoinducción y un condensador son iguales para una frecuencia \( f_0 \). Represéntense en el mismo diagrama las reactancias de la autoinducción y del condensador en función de la frecuencia para un intervalo comprendido entre cero y \( 2f_0 \). Represéntese también la reactancia de ambos asociados en serie.

Fundamento teórico

La reactancia inductiva aumenta directamente con la frecuencia:

\( X_L = 2\pi fL \)

La reactancia capacitiva disminuye cuando aumenta la frecuencia:

\( X_C = \dfrac{1}{2\pi fC} \)

Para la frecuencia \( f_0 \), se cumple:

\( X_L = X_C \)

Por lo tanto:

\( 2\pi f_0 L = \dfrac{1}{2\pi f_0 C} \)

De aquí se obtiene la frecuencia de resonancia:

\( f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \)

Reactancias normalizadas

Tomemos como referencia:

\( X_0 = X_L = X_C \quad \text{cuando} \quad f = f_0 \)

Si se define:

\( x = \dfrac{f}{f_0} \)

Entonces:

\( X_L = X_0 x \)

\( X_C = \dfrac{X_0}{x} \)

La reactancia equivalente de la bobina y el condensador conectados en serie es:

\( X = X_L - X_C \)

Por lo tanto:

\( X = X_0 \left(x - \dfrac{1}{x}\right) \)

Análisis

Cuando \( f < f_0 \), la reactancia capacitiva es mayor que la inductiva, por lo que el conjunto se comporta como un circuito capacitivo:

\( X_L < X_C \quad \Rightarrow \quad X < 0 \)

Cuando \( f = f_0 \), ambas reactancias son iguales:

\( X_L = X_C \)

Entonces:

\( X = X_L - X_C = 0 \)

En esta condición se produce la resonancia serie.

Cuando \( f > f_0 \), la reactancia inductiva supera a la capacitiva:

\( X_L > X_C \quad \Rightarrow \quad X > 0 \)

El conjunto se comporta como un circuito inductivo.

Tabla de valores normalizados

Representación gráfica cualitativa

Reactancia
   ^
   |\
   | \        XC
   |  \
   |   \
 X0|----\---------/ XL
   |     \       /
   |      \     /
   |       \   /
   |        \ /
   |---------●------------------> f
   |        f0
   |
   |        X = XL - XC
   |      /
   |    /
   |  /
   |/
   +--------------------------------
        0        f0        2f0

Resultado final

• La reactancia inductiva \( X_L \) aumenta linealmente con la frecuencia.
• La reactancia capacitiva \( X_C \) disminuye en forma inversa con la frecuencia.
• En \( f = f_0 \), ambas reactancias son iguales.
• La reactancia serie \( X = X_L - X_C \) es negativa por debajo de \( f_0 \), nula en \( f_0 \), y positiva por encima de \( f_0 \).
• La frecuencia \( f_0 \) corresponde a la condición de resonancia serie.

Términos relacionados :

• Frecuencia de resonancia. (Resonant frequency, resonance frequency)
• Resonancia serie. (Series resonance, series resonant circuit)
• Circuito resonante. (Resonant circuit, tuned circuit)
• Autoinducción. (Inductance, inductor)
• Condensador. (Capacitor, condenser)
• Reactancia inductiva. (Inductive reactance, XL)
• Reactancia capacitiva. (Capacitive reactance, XC)
• Reactancia neta. (Net reactance, resultant reactance)
• Impedancia. (Impedance, Z)
• Frecuencia. (Frequency, operating frequency)
• Pulsación angular. (Angular frequency, angular velocity)
• Resistencia eléctrica. (Electrical resistance, resistor)
• Circuito RLC serie. (Series RLC circuit, RLC network)
• Condición de resonancia. (Resonance condition, resonance criterion)
• Igualdad de reactancias. (Equal reactances, reactance balance)
• Curva de reactancia. (Reactance curve, reactance characteristic)
• Comportamiento inductivo. (Inductive behavior, inductive response)
• Comportamiento capacitivo. (Capacitive behavior, capacitive response)
• Diagrama de reactancias. (Reactance diagram, reactance plot)
• Variación de la impedancia con la frecuencia. (Impedance versus frequency, frequency response)