Problemas de corriente alterna, reactancia e impedancia

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Calcúlese la potencia suministrada a los circuitos de los problemas 3 y 4, utilizando las ecuaciones \(P=I^2R\) y \(P=VI\cos \theta\).

Para el problema 3: \[ R=10\ \Omega \] \[ I=5{,}55\ \text{A} \] \[ P=I^2R \] \[ P=(5{,}55)^2\cdot10=307{,}7\ \text{W} \] También: \[ P=VI\cos\theta \] \[ Z=18{,}03\ \Omega \] \[ \cos\theta=\frac{R}{Z}=\frac{10}{18{,}03}=0{,}555 \] \[ P=100\cdot5{,}55\cdot0{,}555=307{,}7\ \text{W} \] Para el problema 4: \[ R=8\ \Omega \] \[ I=5\ \text{A} \] \[ P=I^2R \] \[ P=5^2\cdot8=200\ \text{W} \] También: \[ Z=10\ \Omega \] \[ \cos\theta=\frac{8}{10}=0{,}8 \] \[ P=50\cdot5\cdot0{,}8=200\ \text{W} \]

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Dos alternadores \(V_1\) y \(V_2\), de la misma frecuencia, figura siguiente, están conectados en serie y suministran tensión a una bobina. Un voltímetro de corriente alterna indica \(40\ \text{V}\) cuando se conecta entre \(a\) y \(b\), mientras que señala \(30\ \text{V}\) entre \(b\) y \(c\), y \(50\ \text{V}\) entre \(a\) y \(c\). Un amperímetro de corriente alterna intercalado en la línea entre \(c\) y \(d\) indica \(5\ \text{A}\). a) Represéntese en un diagrama cómo ha de conectarse un vatímetro para medir la potencia suministrada a la bobina. b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre los voltajes de los alternadores? c) Hállense la resistencia, reactancia, impedancia y factor de potencia de la bobina.

Fig. , dos alternadores en serie alimentando una bobina.]

Datos: \[ V_1=40\ \text{V} \] \[ V_2=30\ \text{V} \] \[ V_T=50\ \text{V} \] \[ I=5\ \text{A} \] Como: \[ 50^2=40^2+30^2 \] \[ 2500=1600+900 \] los voltajes \(V_1\) y \(V_2\) están en cuadratura. Por lo tanto: \[ \theta=90^\circ \] La impedancia absoluta de la bobina es: \[ Z=\frac{V_T}{I} \] \[ Z=\frac{50}{5}=10\ \Omega \] Para medir la potencia suministrada a la bobina, el vatímetro debe conectarse así:

La bobina de corriente del vatímetro se conecta en serie con la bobina del circuito.
La bobina de tensión del vatímetro se conecta en paralelo con la bobina.

Con la imagen dada solo se puede obtener: \[ |Z|=10\ \Omega \] Para hallar por separado la resistencia \(R\), la reactancia \(X\) y el factor de potencia \(\cos\theta\), se necesita además la lectura del vatímetro, es decir, la potencia activa \(P\). Si se conociera \(P\), entonces: \[ R=\frac{P}{I^2} \] \[ X=\sqrt{Z^2-R^2} \] \[ \cos\theta=\frac{R}{Z} \]

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En el circuito de la figura siguiente se tiene: \(V_{ab}=100\ \text{V}\), \(f=60\ \text{ciclos/s}\), \(C=26{,}5\ \mu F\), \(L=0{,}265\ \text{H}\), \(R_1=R_2=R_3=5\ \Omega\). a) Calcúlese la impedancia equivalente entre los puntos \(a\) y \(b\). b) Obténgase la corriente en cada resistencia. c) Construyase el diagrama vectorial del circuito.

Fig. :, circuito con \(R_1\) en serie y dos ramas en paralelo: rama superior \(R_2-L\), rama inferior \(R_3-C\).]

Reactancia inductiva: \[ X_L=2\pi fL \] \[ X_L=2\pi\cdot60\cdot0{,}265 \] \[ X_L\approx100\ \Omega \] Reactancia capacitiva: \[ X_C=\frac{1}{2\pi fC} \] \[ X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot26{,}5\times10^{-6}} \] \[ X_C\approx100\ \Omega \] La rama superior tiene impedancia: \[ Z_2=R_2+jX_L \] \[ Z_2=5+j100\ \Omega \] La rama inferior tiene impedancia: \[ Z_3=R_3-jX_C \] \[ Z_3=5-j100\ \Omega \] La impedancia equivalente de las dos ramas en paralelo es: \[ Z_p=\frac{Z_2Z_3}{Z_2+Z_3} \] Como \(Z_2\) y \(Z_3\) son conjugadas: \[ Z_p=\frac{5^2+100^2}{10} \] \[ Z_p=\frac{10025}{10} \] \[ Z_p=1002{,}5\ \Omega \] Si \(R_1\) está en serie con el conjunto paralelo, la impedancia total entre \(a\) y \(b\) es: \[ Z_{ab}=R_1+Z_p \] \[ Z_{ab}=5+1002{,}5 \] \[ Z_{ab}=1007{,}5\ \Omega \] La corriente por \(R_1\) es: \[ I_1=\frac{V_{ab}}{Z_{ab}} \] \[ I_1=\frac{100}{1007{,}5} \] \[ I_1=0{,}099\ \text{A} \] La tensión sobre el conjunto paralelo es aproximadamente: \[ V_p=I_1Z_p \] \[ V_p=0{,}099\cdot1002{,}5 \] \[ V_p\approx99{,}5\ \text{V} \] Corriente en la rama \(R_2-L\): \[ I_2=\frac{V_p}{|Z_2|} \] \[ |Z_2|=\sqrt{5^2+100^2}=100{,}12\ \Omega \] \[ I_2=\frac{99{,}5}{100{,}12}=0{,}994\ \text{A} \] Corriente en la rama \(R_3-C\): \[ I_3=\frac{V_p}{|Z_3|} \] \[ |Z_3|=\sqrt{5^2+100^2}=100{,}12\ \Omega \] \[ I_3=\frac{99{,}5}{100{,}12}=0{,}994\ \text{A} \] Resultados: \[ Z_{ab}\approx1007{,}5\ \Omega \] \[ I_{R1}=0{,}099\ \text{A} \] \[ I_{R2}=0{,}994\ \text{A} \] \[ I_{R3}=0{,}994\ \text{A} \] Las corrientes de las ramas \(R_2-L\) y \(R_3-C\) son casi iguales en magnitud, pero están desfasadas en sentidos opuestos. Sus componentes reactivas se cancelan en gran parte, y por eso la corriente total es mucho menor que la corriente de cada rama.

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