Problemas de corriente alterna, reactancia e impedancia
15
Una resistencia \(R\), una autoinducción \(L\) y un condensador \(C\) se encuentran conectados en serie a un generador de corriente alterna de voltaje constante en los bornes. a) ¿Para qué frecuencia, expresada en función de \(R\), \(L\) y \(C\), será máximo el voltaje en los bornes de la autoinducción? b) ¿Para qué frecuencia será máximo el voltaje entre los bornes del condensador?
En un circuito serie RLC:
\[
Z=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}
\]
\[
X_L=\omega L
\]
\[
X_C=\frac{1}{\omega C}
\]
El voltaje en la bobina es:
\[
V_L=V\frac{X_L}{Z}
\]
El voltaje en el condensador es:
\[
V_C=V\frac{X_C}{Z}
\]
Para que el voltaje en la autoinducción sea máximo:
\[
\omega_L=
\frac{1}{\sqrt{LC\left(1-\frac{R^2C}{2L}\right)}}
\]
Por lo tanto:
\[
f_L=
\frac{1}{2\pi\sqrt{LC\left(1-\frac{R^2C}{2L}\right)}}
\]
Para que el voltaje en el condensador sea máximo:
\[
\omega_C=
\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}}
\]
Por lo tanto:
\[
f_C=
\frac{1}{2\pi}
\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}}
\]
Conceptos fundamentales de Corriente Alterna
16
Calcúlese la potencia suministrada a los circuitos de los problemas 3 y 4, utilizando las ecuaciones \(P=I^2R\) y \(P=VI\cos \theta\).
Para el problema 3:
\[
R=10\ \Omega
\]
\[
I=5{,}55\ \text{A}
\]
\[
P=I^2R
\]
\[
P=(5{,}55)^2\cdot10=307{,}7\ \text{W}
\]
También:
\[
P=VI\cos\theta
\]
\[
Z=18{,}03\ \Omega
\]
\[
\cos\theta=\frac{R}{Z}=\frac{10}{18{,}03}=0{,}555
\]
\[
P=100\cdot5{,}55\cdot0{,}555=307{,}7\ \text{W}
\]
Para el problema 4:
\[
R=8\ \Omega
\]
\[
I=5\ \text{A}
\]
\[
P=I^2R
\]
\[
P=5^2\cdot8=200\ \text{W}
\]
También:
\[
Z=10\ \Omega
\]
\[
\cos\theta=\frac{8}{10}=0{,}8
\]
\[
P=50\cdot5\cdot0{,}8=200\ \text{W}
\]
17
Dos alternadores \(V_1\) y \(V_2\), de la misma frecuencia, figura siguiente, están conectados en serie y suministran tensión a una bobina. Un voltímetro de corriente alterna indica \(40\ \text{V}\) cuando se conecta entre \(a\) y \(b\), mientras que señala \(30\ \text{V}\) entre \(b\) y \(c\), y \(50\ \text{V}\) entre \(a\) y \(c\). Un amperímetro de corriente alterna intercalado en la línea entre \(c\) y \(d\) indica \(5\ \text{A}\). a) Represéntese en un diagrama cómo ha de conectarse un vatímetro para medir la potencia suministrada a la bobina. b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre los voltajes de los alternadores? c) Hállense la resistencia, reactancia, impedancia y factor de potencia de la bobina.
Fig. , dos alternadores en serie alimentando una bobina.]
Datos:
\[
V_1=40\ \text{V}
\]
\[
V_2=30\ \text{V}
\]
\[
V_T=50\ \text{V}
\]
\[
I=5\ \text{A}
\]
Como:
\[
50^2=40^2+30^2
\]
\[
2500=1600+900
\]
los voltajes \(V_1\) y \(V_2\) están en cuadratura.
Por lo tanto:
\[
\theta=90^\circ
\]
La impedancia absoluta de la bobina es:
\[
Z=\frac{V_T}{I}
\]
\[
Z=\frac{50}{5}=10\ \Omega
\]
Para medir la potencia suministrada a la bobina, el vatímetro debe conectarse así:
La bobina de corriente del vatímetro se conecta en serie con la bobina del circuito.
La bobina de tensión del vatímetro se conecta en paralelo con la bobina.
Con la imagen dada solo se puede obtener:
\[
|Z|=10\ \Omega
\]
Para hallar por separado la resistencia \(R\), la reactancia \(X\) y el factor de potencia \(\cos\theta\), se necesita además la lectura del vatímetro, es decir, la potencia activa \(P\).
Si se conociera \(P\), entonces:
\[
R=\frac{P}{I^2}
\]
\[
X=\sqrt{Z^2-R^2}
\]
\[
\cos\theta=\frac{R}{Z}
\]
18Se conecta una impedancia \(Z\) a una línea de corriente alterna de \(100\ \text{V}\) y \(60\ \text{ciclos/s}\). Al conectar un condensador de \(265\ \mu F\), en paralelo con la impedancia, la corriente en la línea se reduce a la mitad de su primer valor y está en fase con el voltaje de la línea. Calcúlese la potencia suministrada a la impedancia.
Datos:
\[
V=100\ \text{V}
\]
\[
f=60\ \text{Hz}
\]
\[
C=265\ \mu F=265\times10^{-6}\ F
\]
La susceptancia capacitiva es:
\[
B_C=\omega C
\]
\[
B_C=2\pi fC
\]
\[
B_C=2\pi\cdot60\cdot265\times10^{-6}
\]
\[
B_C=0{,}0999\ \text{S}
\]
Como al conectar el condensador la corriente queda en fase con el voltaje y se reduce a la mitad, se cumple:
\[
G=\frac{B_C}{\sqrt{3}}
\]
\[
G=\frac{0{,}0999}{\sqrt{3}}
\]
\[
G=0{,}0577\ \text{S}
\]
La potencia suministrada a la impedancia es:
\[
P=V^2G
\]
\[
P=100^2\cdot0{,}0577
\]
\[
P=577\ \text{W}
\]
Resultado:
\[
P\approx577\ \text{W}
\]
19
En el circuito de la figura siguiente se tiene: \(V_{ab}=100\ \text{V}\), \(f=60\ \text{ciclos/s}\), \(C=26{,}5\ \mu F\), \(L=0{,}265\ \text{H}\), \(R_1=R_2=R_3=5\ \Omega\). a) Calcúlese la impedancia equivalente entre los puntos \(a\) y \(b\). b) Obténgase la corriente en cada resistencia. c) Construyase el diagrama vectorial del circuito.
Fig. :, circuito con \(R_1\) en serie y dos ramas en paralelo: rama superior \(R_2-L\), rama inferior \(R_3-C\).]
Reactancia inductiva:
\[
X_L=2\pi fL
\]
\[
X_L=2\pi\cdot60\cdot0{,}265
\]
\[
X_L\approx100\ \Omega
\]
Reactancia capacitiva:
\[
X_C=\frac{1}{2\pi fC}
\]
\[
X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot26{,}5\times10^{-6}}
\]
\[
X_C\approx100\ \Omega
\]
La rama superior tiene impedancia:
\[
Z_2=R_2+jX_L
\]
\[
Z_2=5+j100\ \Omega
\]
La rama inferior tiene impedancia:
\[
Z_3=R_3-jX_C
\]
\[
Z_3=5-j100\ \Omega
\]
La impedancia equivalente de las dos ramas en paralelo es:
\[
Z_p=\frac{Z_2Z_3}{Z_2+Z_3}
\]
Como \(Z_2\) y \(Z_3\) son conjugadas:
\[
Z_p=\frac{5^2+100^2}{10}
\]
\[
Z_p=\frac{10025}{10}
\]
\[
Z_p=1002{,}5\ \Omega
\]
Si \(R_1\) está en serie con el conjunto paralelo, la impedancia total entre \(a\) y \(b\) es:
\[
Z_{ab}=R_1+Z_p
\]
\[
Z_{ab}=5+1002{,}5
\]
\[
Z_{ab}=1007{,}5\ \Omega
\]
La corriente por \(R_1\) es:
\[
I_1=\frac{V_{ab}}{Z_{ab}}
\]
\[
I_1=\frac{100}{1007{,}5}
\]
\[
I_1=0{,}099\ \text{A}
\]
La tensión sobre el conjunto paralelo es aproximadamente:
\[
V_p=I_1Z_p
\]
\[
V_p=0{,}099\cdot1002{,}5
\]
\[
V_p\approx99{,}5\ \text{V}
\]
Corriente en la rama \(R_2-L\):
\[
I_2=\frac{V_p}{|Z_2|}
\]
\[
|Z_2|=\sqrt{5^2+100^2}=100{,}12\ \Omega
\]
\[
I_2=\frac{99{,}5}{100{,}12}=0{,}994\ \text{A}
\]
Corriente en la rama \(R_3-C\):
\[
I_3=\frac{V_p}{|Z_3|}
\]
\[
|Z_3|=\sqrt{5^2+100^2}=100{,}12\ \Omega
\]
\[
I_3=\frac{99{,}5}{100{,}12}=0{,}994\ \text{A}
\]
Resultados:
\[
Z_{ab}\approx1007{,}5\ \Omega
\]
\[
I_{R1}=0{,}099\ \text{A}
\]
\[
I_{R2}=0{,}994\ \text{A}
\]
\[
I_{R3}=0{,}994\ \text{A}
\]
Las corrientes de las ramas \(R_2-L\) y \(R_3-C\) son casi iguales en magnitud, pero están desfasadas en sentidos opuestos. Sus componentes reactivas se cancelan en gran parte, y por eso la corriente total es mucho menor que la corriente de cada rama.
20Un circuito absorbe \(330\ \text{W}\) de una línea de corriente alterna a \(110\ \text{V}\) y \(60\ \text{ciclos}\). El factor de potencia es \(0{,}6\), y la corriente está retrasada respecto al voltaje. a) Calcúlese la capacidad del condensador en serie, que producirá un factor de potencia unidad. b) ¿Qué potencia será absorbida entonces de la red de suministro?
Datos:
\[
P=330\ \text{W}
\]
\[
V=110\ \text{V}
\]
\[
f=60\ \text{Hz}
\]
\[
\cos\theta=0{,}6
\]
La corriente inicial es:
\[
I=\frac{P}{V\cos\theta}
\]
\[
I=\frac{330}{110\cdot0{,}6}
\]
\[
I=5\ \text{A}
\]
La impedancia inicial es:
\[
Z=\frac{V}{I}
\]
\[
Z=\frac{110}{5}=22\ \Omega
\]
La resistencia del circuito es:
\[
R=Z\cos\theta
\]
\[
R=22\cdot0{,}6
\]
\[
R=13{,}2\ \Omega
\]
La reactancia inductiva es:
\[
X_L=\sqrt{Z^2-R^2}
\]
\[
X_L=\sqrt{22^2-13{,}2^2}
\]
\[
X_L=17{,}6\ \Omega
\]
Para que el factor de potencia sea unidad, el condensador en serie debe anular la reactancia inductiva:
\[
X_C=X_L
\]
\[
X_C=17{,}6\ \Omega
\]
La capacidad necesaria es:
\[
C=\frac{1}{2\pi fX_C}
\]
\[
C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot17{,}6}
\]
\[
C=1{,}51\times10^{-4}\ \text{F}
\]
\[
C=151\ \mu F
\]
Con factor de potencia unidad, la impedancia queda reducida a la resistencia:
\[
Z=R=13{,}2\ \Omega
\]
La nueva corriente es:
\[
I=\frac{V}{R}
\]
\[
I=\frac{110}{13{,}2}
\]
\[
I=8{,}33\ \text{A}
\]
La potencia absorbida será:
\[
P=VI
\]
\[
P=110\cdot8{,}33
\]
\[
P=917\ \text{W}
\]
Resultados:
\[
C\approx151\ \mu F
\]
\[
P\approx917\ \text{W}
\] |
