Circuitos eléctricos de corriente continua (DC)
Ley de Ohm
La Ley de Ohm establece que la corriente que circula en un circuito eléctrico es
directamente proporcional a la fuerza electromotriz aplicada al circuito e
inversamente proporcional a la resistencia equivalente del circuito.
La ley lleva el nombre del físico alemán Georg S. Ohm (1787–1854).
\[
I=\frac{E}{R}
\]
\[
R=\frac{E}{I}
\]
\[
E=IR
\]
Donde:
- E = tensión aplicada (voltios)
- I = corriente (amperios)
- R = resistencia (ohmios)
Potencia eléctrica
- Potencia eléctrica: tasa de utilización o consumo de energía eléctrica.
- Watt: unidad de potencia eléctrica equivalente a un joule de energía consumido por segundo.
Nombrado en honor al ingeniero británico James Watt (1736–1819).
\[
P = EI
\]
\[
P = I^2R
\]
\[
P = \frac{E^2}{R}
\]
Donde:
- P = potencia eléctrica (watt)
- E = tensión (volt)
- I = corriente (ampere)
- R = resistencia (ohm)
Equivalencias entre energía eléctrica y calor
Energía: capacidad de realizar trabajo.
\[
W = Pt
\]
\[
Q = 0.24Pt
\]
\[
Q = mc\Delta T
\]
Donde:
- W = energía eléctrica (joule)
- Q = energía térmica (caloría)
- P = potencia eléctrica (watt)
- t = tiempo (segundos)
- m = masa del material (gramos)
- c = calor específico del material
- ΔT = cambio de temperatura (°C)
Notas:
- 1 caloría = 4.186 joules
- 1 BTU = 252 calorías
Kilowatt-hora (kWh): unidad en la cual la energía eléctrica se vende al consumidor.
\[
kWh = kilowatts \times horas
\]
Equivalencias de tiempo:
- 1 día = 24 horas
- 1 mes ≈ 30 días
- 1 año = 365 días = 8760 horas
Resistencias conectadas en serie
En un circuito en serie las resistencias están conectadas extremo con extremo.
\[
R_t = R_1 + R_2 + R_3
\]
\[
E_t = E_1 + E_2 + E_3
\]
\[
I_t = I_1 = I_2 = I_3
\]
Teorema del divisor de tensión (VDT)
Para resistencias conectadas en serie:
\[
E_1 = E_t \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
\[
E_2 = E_t \frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
Nota: Si existen tres o más resistencias en serie, primero reduzca el circuito
a dos resistencias equivalentes antes de aplicar el teorema.
Resistencias conectadas en paralelo
En un circuito en paralelo las resistencias están conectadas entre los mismos nodos.
\[
\frac{1}{R_t}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}
\]
\[
E_t = E_1 = E_2 = E_3
\]
\[
I_t = I_1 + I_2 + I_3
\]
La potencia total consumida es igual a la suma de las potencias
consumidas por cada resistencia:
\[
P_t = P_1 + P_2 + P_3 + \dots + P_n
\]
Teorema del divisor de corriente (CDT)
Para resistencias conectadas en paralelo:
\[
I_1 = I_t \frac{R_2}{R_1 + R_2}
\]
\[
I_2 = I_t \frac{R_1}{R_1 + R_2}
\]
Resistencias serie-paralelo
Un circuito serie-paralelo es una combinación de ambos tipos de conexión.
\[
R_t = R_1 + \frac{R_2R_3}{R_2 + R_3}
\]
Resistencias paralelo-serie
Un circuito paralelo-serie es una combinación que al simplificarse
resulta en un circuito equivalente en paralelo.
\[
R_t = \frac{R_1(R_2+R_3)}{R_1 + (R_2 + R_3)}
\]
Conexiones delta (Δ) y estrella (Y)
Transformación estrella a delta
\[
A = \frac{XY + YZ + ZX}{Z}
\]
\[
B = \frac{XY + YZ + ZX}{X}
\]
\[
C = \frac{XY + YZ + ZX}{Y}
\]
Transformación delta a estrella
\[
X = \frac{AC}{A+B+C}
\]
\[
Y = \frac{AB}{A+B+C}
\]
\[
Z = \frac{BC}{A+B+C}
\]
Si
\[
A=B=C=R_{\Delta}
\]
y
\[
X=Y=Z=R_Y
\]
entonces:
\[
R_{\Delta}=3R_Y
\]
\[
R_Y=\frac{R_{\Delta}}{3}
\]
Problemas resueltos de circuitos eléctricos de corriente continua
Problema 31
Una carga de 10 ohmios se conecta a una batería de 12 V.
La corriente que circula es de 1.18 A.
¿Cuál es la resistencia interna de la batería?
Solución
\[
I=\frac{E}{r+R}
\]
Despejando la resistencia interna:
\[
r=\frac{E}{I}-R
\]
\[
r=\frac{12}{1.18}-10
\]
\[
r=0.169\ \Omega \approx 0.2\ \Omega
\]
Respuesta: 0.20 Ω
Problema 32
El voltaje en los terminales de una batería cae de 9 V en circuito abierto
a 6 V cuando se conecta una resistencia de 10 Ω.
¿Cuál es la resistencia interna de la batería?
Solución
\[
I=\frac{V_R}{R}
\]
\[
I=\frac{6}{10}=0.6\ A
\]
La caída de tensión interna:
\[
V_r=E-V_R=9-6=3V
\]
\[
r=\frac{V_r}{I}=\frac{3}{0.6}
\]
\[
r=5\ \Omega
\]
Problema 33
La fuerza electromotriz de una celda estándar es medida con un potenciómetro,
dando una lectura de 1.3562 V.
Cuando se conecta una resistencia de 1 MΩ a los terminales,
la lectura cae a 1.3560 V.
¿Cuál es la resistencia interna de la celda?
Solución
\[
I=\frac{V_R}{R}
\]
\[
I=\frac{1.3560}{10^6}
\]
\[
I=1.356\times10^{-6}\ A
\]
Caída interna de tensión:
\[
V_r=1.3562-1.3560
\]
\[
V_r=0.0002\ V
\]
\[
r=\frac{V_r}{I}
\]
\[
r=\frac{0.0002}{1.356\times10^{-6}}
\]
\[
r\approx147.5\ \Omega
\]
Problema 34
Una batería está formada por cinco celdas conectadas en serie.
Cuando la resistencia externa es 4 Ω, la corriente es
1.5 A.
Cuando la resistencia externa es 9 Ω, la corriente
disminuye a 0.75 A.
Encontrar la resistencia interna de cada celda.
Sea r la resistencia interna por celda.
\[
I=\frac{E}{5r+R_L}
\]
Para la primera condición:
\[
1.5=\frac{E}{5r+4}
\]
\[
E=7.5r+6
\]
Para la segunda condición:
\[
0.75=\frac{E}{5r+9}
\]
\[
E=3.75r+6.75
\]
Igualando:
\[
7.5r+6=3.75r+6.75
\]
\[
r=0.2\ \Omega
\]
Problema 35
Una estación eléctrica suministra 60 kW a una carga situada a
2500 ft mediante dos conductores de cobre de
100 mm².
La resistencia es 0.078 Ω por 1000 ft.
El voltaje en barras se mantiene constante en 600 V.
Determinar la corriente de carga.
Solución
Resistencia total de los conductores:
\[
R_f=2\left(\frac{0.078}{1000}\times2500\right)
\]
\[
R_f=0.39\ \Omega
\]
Relación de potencia:
\[
P=VI
\]
\[
600=\frac{60000}{I}+0.39I
\]
Resolviendo la ecuación cuadrática:
\[
I\approx108\ A
\]
Problema 36
Un motor de corriente continua de 120 V consume
100 A y está situado a 1000 ft de la fuente.
Si el diámetro del conductor de cobre es 0.45 pulgadas,
¿cuál debe ser el voltaje de la fuente?
Solución
Sea:
- R = resistencia total de la línea
Área del conductor:
\[
A = d^2
\]
\[
A = (0.45 \times 1000)^2
\]
\[
A = 202\,500 \; CM
\]
Resistencia del conductor:
\[
R = \rho \frac{L}{A}
\]
\[
R = \frac{10.37 \times 2000}{202\,500}
\]
\[
R = 0.1024 \; \Omega
\]
Voltaje de la fuente:
\[
E_s = V_R + IR
\]
\[
E_s = 120 + 100(0.1024)
\]
\[
E_s = 130.24 \; V
\]
Resultado:
\[
E_s = 130.24 \; V
\]
Problema 37 (EE Board Octubre 1986)
Un coche LRT situado a 5 km de la estación Tayuman consume
100 A a través de un conductor de cobre duro de
100 mm² cuya resistencia es 0.270 Ω/km.
El riel y el retorno a tierra tienen una resistencia de
0.06 Ω/km.
Si el voltaje de la estación es 750 V, ¿cuál es el voltaje en el coche?
Solución
Suponga que \(R\) es la resistencia equivalente de la línea.
\[
V_R = E_s - IR
\]
\[
V_R = 750 - 100[(0.27 + 0.06)(5)]
\]
\[
V_R = 585\;V
\]
Problema 38
La resistencia en caliente de una lámpara incandescente es
10 Ω y su voltaje nominal es 50 V.
Determine la resistencia en serie necesaria para operar la lámpara
con una fuente de 80 V.
Solución
Corriente en la lámpara:
\[
I_L = \frac{V_L}{R_L}
\]
\[
I_L = \frac{50}{10} = 5A
\]
Resistencia en serie requerida:
\[
R = \frac{E_T - V_L}{I_L}
\]
\[
R = \frac{80 - 50}{5}
\]
\[
R = 6\;\Omega
\]
Problema 39
Una bobina resistiva consume 2 A a 110 V
después de operar durante largo tiempo.
Si el aumento de temperatura es 55°C sobre la temperatura ambiente
de 20°C, calcule la resistencia externa que debe conectarse inicialmente
en serie con la bobina para limitar la corriente a 2 A a 20°C.
El coeficiente de temperatura del material de la bobina es
0.0043/°C.
Solución
Resistencia caliente:
\[
R_2 = \frac{E}{I} = \frac{110}{2} = 55\;\Omega
\]
Relación de temperatura:
\[
R_2 = R_1(1 + \alpha \Delta T)
\]
\[
R_1 = \frac{55}{1 + 0.0043(55)}
\]
\[
R_1 = 44.48\;\Omega
\]
Resistencia en serie requerida:
\[
R = R_2 - R_1
\]
\[
R = 55 - 44.48
\]
\[
R = 10.52\;\Omega
\]
Problema 40
Un resistor de carbono disipa 60 W a partir de una fuente
de 120 V a 20°C.
¿Cuánta potencia disipará a 120°C si se conecta a la misma fuente?
El coeficiente de temperatura del carbono es
-0.0005/°C.
Solución
A \(20^\circ C\):
\[
R_1 = \frac{V^2}{P}
\]
\[
R_1 = \frac{120^2}{60}
\]
\[
R_1 = 240\;\Omega
\]
A \(120^\circ C\):
\[
R_2 = R_1(1 + \alpha \Delta T)
\]
\[
R_2 = 240[1 - 0.0005(120-20)]
\]
\[
R_2 = 228\;\Omega
\]
Potencia:
\[
P = \frac{V^2}{R_2}
\]
\[
P = \frac{120^2}{228}
\]
\[
P = 63.16\;W
\]
Problema 41
Dos lámparas incandescentes de 115 V se conectan en serie
a una fuente de 230 V.
La lámpara A es de 75 W y la lámpara B de 50 W.
Determine la corriente en la conexión en serie.
Solución
\[
R_A = \frac{E_A^2}{P_A}
\]
\[
R_A = \frac{115^2}{75}
\]
\[
R_A = 176.33\;\Omega
\]
\[
R_B = \frac{115^2}{50}
\]
\[
R_B = 264.5\;\Omega
\]
Resistencia total:
\[
R_T = R_A + R_B
\]
\[
R_T = 440.83\;\Omega
\]
Corriente:
\[
I = \frac{E}{R_T}
\]
\[
I = \frac{230}{440.83}
\]
\[
I = 0.52\;A
\]
Problema 42
Una lámpara de arco consume 10 A a 50 V.
Se coloca una resistencia en serie para que la lámpara funcione correctamente
con una fuente de 110 V.
Determine la potencia disipada en la resistencia.
Solución
\[
R_L = \frac{V_L}{I_L}
\]
\[
R_L = \frac{50}{10} = 5\;\Omega
\]
Resistencia total requerida:
\[
R_T = \frac{110}{10} = 11\;\Omega
\]
Resistencia en serie:
\[
R = R_T - R_L
\]
\[
R = 11 - 5 = 6\;\Omega
\]
Potencia disipada:
\[
P = I^2R
\]
\[
P = 10^2(6)
\]
\[
P = 600\;W
\]
Problema 43
El conductor \(X\) tiene una resistencia de 0.1 Ω/m
y coeficiente de temperatura 0.005/°C.
El conductor \(Y\) tiene resistencia 0.5 Ω/m
y coeficiente de temperatura 0.001/°C.
Se desea construir una bobina de 500 Ω con coeficiente
de temperatura total de 0.002, usando ambos conductores en serie.
Solución
Relación de resistencias:
\[
R_x + R_y = 500
\]
Ecuación del coeficiente equivalente:
\[
R_x(1+0.005\Delta T) + R_y(1+0.001\Delta T)
=
(R_x+R_y)(1+0.002\Delta T)
\]
Resolviendo:
\[
R_x = 125\;\Omega
\]
Longitud del conductor X:
\[
L_x = \frac{R_x}{0.1}
\]
\[
L_x = 1250\;m
\]
|
