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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si la longitud de los rieles es de 18,35 m y por minuto se cuentan 20 golpes de las ruedas con las uniones entre ellos, ¿cuál es la velocidad en kilómetros por hora del tren?
Solución
Cada golpe corresponde, aproximadamente, al paso de una unión de riel, es decir, a una longitud de:
$$e = 18{,}35\ \text{m}$$
Como se cuentan 20 golpes por minuto:
$$v = 20 \cdot 18{,}35 = 367\ \text{m/min}$$
Pasando a km/h:
$$367\ \text{m/min} = 0{,}367\ \text{km/min}$$
$$v = 0{,}367 \cdot 60 = 22{,}02\ \text{km/h}$$
Rta. 22,02 km/h.
2. Calcular la aceleración de un móvil que en 20 s, y partiendo del reposo, adquiere una velocidad de 60 m/s.
Solución
Como:
$$a = \frac{\Delta v}{t}$$
y parte del reposo:
$$\Delta v = 60 - 0 = 60\ \text{m/s}$$
Entonces:
$$a = \frac{60}{20} = 3\ \text{m/s}^2$$
Rta. 3 m/s².
3. ¿Cuál será la aceleración de un automóvil que en cierto instante posee una velocidad de 45 km/h y 2 min después esa velocidad es de 20 km/h?
Solución
Convertimos las velocidades:
$$45\ \text{km/h} = 12{,}5\ \text{m/s}$$
$$20\ \text{km/h} = 5{,}56\ \text{m/s}$$
La variación de velocidad es:
$$\Delta v = 5{,}56 - 12{,}5 = -6{,}94\ \text{m/s}$$
Además:
$$t = 2\ \text{min} = 120\ \text{s}$$
Por lo tanto:
$$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{-6{,}94}{120} = -0{,}0578\ \text{m/s}^2$$
Rta. La aceleración es negativa y vale aproximadamente \(-0,058\ \text{m/s}^2\).
4. Un móvil parte del reposo con aceleración de 0,4 m/s². ¿Qué velocidad posee después de un cuarto de hora y cuál será el espacio recorrido?
Solución
Tiempo:
$$t = \frac{1}{4}\ \text{hora} = 15\ \text{min} = 900\ \text{s}$$
Velocidad:
$$v = at = 0{,}4 \cdot 900 = 360\ \text{m/s}$$
Pasando a km/h:
$$360\ \text{m/s} \cdot 3{,}6 = 1296\ \text{km/h}$$
Espacio:
$$e = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}4 \cdot (900)^2$$
$$e = 0{,}2 \cdot 810000 = 162000\ \text{m}$$
$$e = 162\ \text{km}$$
Rta. La velocidad es 360 m/s, o sea 1296 km/h, y el espacio recorrido es 162000 m, o sea 162 km.
5. El espacio recorrido por un móvil con movimiento uniformemente acelerado es de 4000 m. Si su aceleración es 2 cm/s², ¿cuál es el tiempo empleado y cuál es su velocidad?
Solución
Convertimos la aceleración:
$$2\ \text{cm/s}^2 = 0{,}02\ \text{m/s}^2$$
Como parte del reposo:
$$e = \frac{1}{2}at^2$$
Despejando:
$$t = \sqrt{\frac{2e}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4000}{0{,}02}}$$
$$t = \sqrt{400000} = 632{,}46\ \text{s}$$
En minutos:
$$632{,}46\ \text{s} \approx 10\ \text{min}\ 32\ \text{s}$$
La velocidad final es:
$$v = at = 0{,}02 \cdot 632{,}46 = 12{,}65\ \text{m/s}$$
Rta. El tiempo empleado es aproximadamente 632,5 s, es decir 10 min 32 s, y su velocidad es aproximadamente 12,65 m/s.
6. Un automóvil posee una velocidad de 60 km/h. Se detiene después de un minuto. ¿Cuál es la aceleración negativa y cuál el espacio recorrido?
Solución
Convertimos la velocidad inicial:
$$60\ \text{km/h} = 16{,}67\ \text{m/s}$$
Tiempo:
$$t = 60\ \text{s}$$
Aceleración:
$$a = \frac{0 - 16{,}67}{60} = -0{,}278\ \text{m/s}^2$$
Espacio:
$$e = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$
$$e = 16{,}67 \cdot 60 + \frac{1}{2}(-0{,}278)(60)^2$$
$$e = 1000 - 500 = 500\ \text{m}$$
Rta. La aceleración negativa es aproximadamente \(-0,278\ \text{m/s}^2\) y el espacio recorrido es 500 m.
7. ¿Qué tiempo habrá transcurrido para que un móvil adquiera una velocidad de 50 m/s si parte del reposo y su aceleración es de 4 cm/s²?
Solución
Convertimos la aceleración:
$$4\ \text{cm/s}^2 = 0{,}04\ \text{m/s}^2$$
Como:
$$v = at$$
entonces:
$$t = \frac{v}{a} = \frac{50}{0{,}04} = 1250\ \text{s}$$
Rta. 1250 s, o sea aproximadamente 20 min 50 s.
8. ¿Cuál será la velocidad que posee un móvil que parte del reposo en el momento que ha recorrido 3 km después de 10 s?
Solución
Como parte del reposo:
$$e = \frac{1}{2}at^2$$
Despejando:
$$a = \frac{2e}{t^2} = \frac{2\cdot 3000}{(10)^2} = \frac{6000}{100} = 60\ \text{m/s}^2$$
Entonces:
$$v = at = 60 \cdot 10 = 600\ \text{m/s}$$
Rta. 600 m/s.
9. Un tren posee una velocidad de 75 km/h. Aplica los frenos y se detiene al minuto y medio. ¿Cuál será la aceleración negativa y qué espacio recorrió en ese tiempo?
Solución
Convertimos la velocidad inicial:
$$75\ \text{km/h} = 20{,}83\ \text{m/s}$$
Tiempo:
$$t = 1{,}5\ \text{min} = 90\ \text{s}$$
Aceleración:
$$a = \frac{0 - 20{,}83}{90} = -0{,}231\ \text{m/s}^2$$
Espacio:
$$e = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$
$$e = 20{,}83 \cdot 90 + \frac{1}{2}(-0{,}231)(90)^2$$
$$e = 1875 - 937{,}5 = 937{,}5\ \text{m}$$
Rta. La aceleración negativa es aproximadamente \(-0,231\ \text{m/s}^2\) y el espacio recorrido es aproximadamente 937,5 m.
10. Un cuerpo tiene una velocidad inicial de 30 m/s. Su aceleración es \(-0,5\ \text{m/s}^2\). ¿Cuánto tiempo tardó en parar y qué espacio recorrió?
Solución
Para detenerse:
$$v_f = v_i + at$$
$$0 = 30 - 0{,}5t$$
$$t = \frac{30}{0{,}5} = 60\ \text{s}$$
Espacio recorrido:
$$e = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$
$$e = 30\cdot 60 + \frac{1}{2}(-0{,}5)(60)^2$$
$$e = 1800 - 900 = 900\ \text{m}$$
Rta. Tarda 60 s en detenerse y recorre 900 m.
11. Un cuerpo cae y tarda en tocar tierra 8 s. ¿Desde qué altura cayó?
Solución
Como:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$
entonces:
$$h = \frac{1}{2}\cdot 9{,}8 \cdot (8)^2$$
$$h = 4{,}9 \cdot 64 = 313{,}6\ \text{m}$$
Rta. 313,6 m.
12. ¿Cuál es el tiempo que tarda en llegar a tierra un cuerpo que cae desde 7840 m?
Solución
Como:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$
despejando:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7840}{9{,}8}}$$
$$t = \sqrt{1600} = 40\ \text{s}$$
Rta. 40 s.
13. Un cuerpo es lanzado hacia arriba y alcanza una altura máxima de 7840 m. ¿Con qué velocidad inicial lo hizo?
Solución
En la altura máxima:
$$v_f = 0$$
Aplicando:
$$v_f^2 = v_i^2 - 2gh$$
queda:
$$v_i = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}8 \cdot 7840}$$
$$v_i = \sqrt{153664} = 392\ \text{m/s}$$
Rta. 392 m/s.
14. Un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad de 60 m/s. Si tarda en llegar a tierra 8 s, ¿desde qué altura fue lanzado y con qué velocidad tocó tierra?
Solución
Velocidad al llegar al suelo:
$$v = v_i + gt = 60 + 9{,}8\cdot 8 = 138{,}4\ \text{m/s}$$
Altura:
$$h = v_i t + \frac{1}{2}gt^2$$
$$h = 60\cdot 8 + \frac{1}{2}\cdot 9{,}8 \cdot (8)^2$$
$$h = 480 + 313{,}6 = 793{,}6\ \text{m}$$
Rta. Fue lanzado desde 793,6 m y tocó tierra con una velocidad de 138,4 m/s.
CUESTIONARIO DEL CAPÍTULO V
1. ¿A qué se llama movimiento uniforme? ¿Es un movimiento real o ideal?
Se llama movimiento uniforme al que se realiza con velocidad constante, recorriendo espacios iguales en tiempos iguales. Es un movimiento ideal, ya que en la realidad suelen existir rozamientos y otras fuerzas que alteran la velocidad.
2. Si $$v=\frac{e}{t}$$, ¿cuál es la expresión del espacio y del tiempo?
Despejando:
$$e = v\cdot t$$
$$t = \frac{e}{v}$$
3. ¿Cuándo un móvil está animado de movimiento uniformemente acelerado?
Cuando su velocidad varía en cantidades iguales en tiempos iguales, es decir, cuando posee aceleración constante.
4. ¿Qué es aceleración?
La aceleración es la variación de la velocidad por unidad de tiempo.
5. Complete las siguientes expresiones para el movimiento uniformemente acelerado:
a) Velocidad:
$$v = v_i + at$$
b) Espacio:
$$e = v_i t + \frac{1}{2}at^2$$
c) Aceleración:
$$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v_f - v_i}{t}$$
6. ¿Cuáles son las unidades de velocidad?
Las unidades más usadas son m/s, cm/s y km/h.
7. ¿Cuáles son las unidades de aceleración?
Las unidades más usadas son m/s² y cm/s².
8. ¿Cómo caen los cuerpos en el espacio?
En el vacío o en ausencia de resistencia del aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración gravitatoria.
9. En el movimiento uniformemente acelerado, ¿a quiénes resultan proporcionales la velocidad y el espacio?
En el movimiento uniformemente acelerado, la velocidad resulta proporcional al tiempo y el espacio recorrido resulta proporcional al cuadrado del tiempo.
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