Revisión del factoreo

1. Factores

Las explicaciones anteriores fueron los primeros peldaños de la escalera que nos lleva a comprender los alcances superiores de las matemáticas. Al dar estos pasos iniciales se está preparando para entrar en un nuevo nivel de pensamiento y esfuerzo. Aquellos fundamentos de las matemáticas aprendidos en los textos básicos le probarán que constituyen la base sobre la cual está apoyada la escalera por la que debe trepar.

Antes de entrar de lleno en los comienzos de estos nuevos principios hagamos una revisión rápida de los fundamentos básicos de los factores para poner a punto el juego de herramientas con el cual trabajaremos. Primero recordemos qué es lo que constituye un factor, considerando unos problemas simples.

En el ejemplo

\(1 \times 3 \times 7 = 21\)

recordamos que 1, 3 y 7 son factores de 21. En el ejemplo

\(6 \times 8 = 48\)

6 y 8 son factores de 48. Pero en un problema un poco más complejo,

\(2 \times 3 \times 2 \times 4 = 48\)

vemos que 2, 3 y 4 también son factores de 48.

Avancemos un paso con la ecuación

\(x(y+z)=xy+xz\)

Aquí \(x\) es factor común de \(xy\) y \(xz\). En otro problema,

\((x+2)(x+3)=x^2+5x+6\)

determinamos que \((x+2)\) y \((x+3)\) son factores de \(x^2+5x+6\).

En otras palabras, factorizar una expresión algebraica significa determinar ciertos valores que, cuando se multiplican entre sí, dan la expresión original.

2. Factores comunes

En muchos casos el factoreo consiste sólo en separar un monomio factor común de un grupo de términos. Por ejemplo, cuando factoreamos el polinomio

\(ab + ac + ad\)

el término \(a\) es común a todos los términos y se separa entonces:

\(a(b + c + d)\)

En este caso \(a\) es el factor común más alto. En un polinomio siempre deberá factorarse el factor común mayor.

Por ejemplo, consideremos

\(2x^3 - 8x^2y\)

Por observación, \(2x^2\) es el factor común más elevado y por tanto \(2x^2\) se saca de cada término y

\(2x^2(x - 4y)\)

es la forma factoreada de \(2x^3 - 8x^2y\).

\(3x + 6x^2y - 3ax + 12x^2\)

El factor común más alto es \(3x\); entonces

\(3x + 6x^2y - 3ax + 12x^2 = 3x(1 + 2xy - a + 4x)\)

Ejercicio 1

Factorizar:

1. \(2z + 8\)
2. \(x^2 + 2ax - 4x\)
3. \(14a + 30ar\)
4. \(6e^2 - 2e + 8e^4\)
5. \(3ir - 2ir + 4i^2r\)
6. \(9a^2b + 27a^3b^2 - 18ab^2\)
7. \(18m^2n^4 + 6m^2n^2 - 36m^2n^3\)
8. \(\frac{1}{2} e^2 r - \frac{1}{6} e r^2\)
9. \(20xyz + 45x^2y^2z^2 - 60xy^2z^3\)
10. Resolver para \(a\) cuando \(am = m^3 - mp\)
11. \(a^2b^2 + 4a^2b^2c^2 - 6abc\)
12. \(x(y-5) + t(y-5)\)
13. \(m(n-p) + r(n-p)\)
14. \(x(y-z) - w(z-y)\)

Ayuda: Debe cambiarse el signo del binomio \((z-y)\) antes que pueda factorarse el problema. Entonces:

\(x(y-z) + w(y-z)\)

15. \(7z(p-m^2) - 4y(m^2-p)\)
16. \(7(x^2 + y^2) - 3z(x^2 + y^2)\)
17. \(ax + ay + mx + my\)

Solución:

\(= a(x+y) + m(x+y)\)

\(= (a+m)(x+y)\)

18. \(xE - yE + xI - yI\)
19. \(a^2 + ab - ac - cb\)
20. \(xy - 3x - 2y + 6\)

3. Producto de polinomios

Hay dos métodos usados para multiplicar polinomios: la forma larga y la abreviada. La forma larga es el empleo del método de la multiplicación aritmética. Multiplicamos los términos algebraicos del mismo modo que 7852 y 653. Multiplicamos 7852 por 3 y 50 y 600 y luego sumamos. El método largo para multiplicar polinomios es el mismo. El ejemplo que sigue muestra un trinomio multiplicado por \(x+2\). Aquí multiplicamos primero por \(x\) y luego por \(+2\), teniendo mucho cuidado de colocar los términos semejantes uno debajo del otro para facilitar la adición.

Al multiplicar dos binomios entre sí podemos utilizar un método abreviado, con el que se alivia parcialmente el proceso largo. Por ejemplo, para determinar el producto de \((2x-3)\) y \((x+4)\) el método largo es:

Este método puede abreviarse dejando los factores como están y multiplicando mentalmente. Primero, obtenemos el producto del primer término en cada binomio como:

A continuación, sumamos mentalmente los productos de los términos externos e internos:

Por último, determinamos el producto de los últimos términos en cada binomio:

Entonces, combinando, el total es \(2x^2+5x-12\).

Ejemplos

Determinar el producto de

Usando el método anterior determinamos que:

Empleando el mismo método hallamos el producto de:

Esto nos da:

Ejercicio 2

Desarrollar por observación:

1. \((a-3)(a+2)\)
2. \((x+5)(x+3)\)
3. \((2b-2)(3b+2)\)
4. \((a-8)(a+2)\)
5. \((2x+3)(x+1)\)
6. \((4y-5)(3y-2)\)
7. \((10A+2)(A-2)\)
8. \((8P+3)(4P-3)\)
9. \(\left(5B-\frac{1}{3}\right)\left(3B+\frac{1}{5}\right)\)
10. \(\left(\frac{3}{2}A-3\right)\left(2A+\frac{1}{3}\right)\)
11. \((xy+2)(xy+3)\)
12. \((ab+0.7)(ab-0.5)\)
13. \(\left(a+\frac{3}{2}\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)\)
14. \(\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\)
15. \(\left(xy-\frac{1}{7}\right)(xy+7)\)

4. Cuadrado de un binomio

Además,

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

o, por multiplicación,

Esta multiplicación larga es un proceso lento de realizar cada vez que hay que elevar un binomio al cuadrado. A fin de eliminar tal dificultad se presentan aquí unas reglas simples para elevar al cuadrado estos binomios.

Regla. Para elevar al cuadrado la suma de dos términos se eleva al cuadrado el primer término, se suma el doble producto de los dos términos y luego se suma el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo, determinar

\((x+3y)^2\)

Primero, elevamos al cuadrado el primer término:

\(x^2\)

A continuación, sumamos el doble producto de los dos términos:

\(+2(3xy)\)

\(+6xy\)

Finalmente, sumamos el cuadrado del último término:

\(+9y^2\)

Respuesta:

\(x^2+6xy+9y^2\)

El cuadrado de la diferencia de dos términos es similar al ejemplo anterior con una distinción importante.

Regla. Para elevar al cuadrado la diferencia de dos términos se eleva al cuadrado el primer término, se resta el doble producto de ambos términos, luego se suma el cuadrado del segundo término.

Ejemplo

Determinar el cuadrado de

\((a^2-2b)^2\)

Primero, se eleva al cuadrado el primer término:

\(+a^4\)

Se resta el doble producto de los dos términos:

\(-(2)(2a^2b)\)

Se suma el cuadrado del último término:

\(+4b^2\)

Respuesta:

\(a^4-4a^2b+4b^2\)

Ejercicio 3

Elevar mentalmente al cuadrado los siguientes binomios y escribir la respuesta sin desglosar la operación.

5. Raíz cuadrada de un trinomio

A menudo es necesario extraer la raíz cuadrada de un trinomio para simplificar algunas expresiones largas. Un trinomio es un cuadrado perfecto si dos términos son cuadrados de monomios y el otro término es el doble producto de estos monomios.

La expresión

\(x^2+2xy+y^2\)

es un trinomio cuadrado perfecto porque \(x^2\) e \(y^2\) son los cuadrados de los monomios \(x\) e \(y\), y el término central es el doble producto de estos monomios.

Entonces,

\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)

Regla. Para determinar la raíz cuadrada de un trinomio cuadrado perfecto se extraen las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos y se los vincula con el signo del término restante.

Para determinar la raíz cuadrada de

\(m^2+2mn+n^2\)

primero se extraen las raíces cuadradas de \(m^2\) y \(n^2\), que darán \(m\) y \(n\). Luego se los vincula con el signo del término restante \((+2mn)\). Esto nos da \(m+n\). Entonces,

\(\sqrt{m^2+2mn+n^2}=\pm(m+n)\)

Completar trinomios cuadrados perfectos

Sea ahora agregar el término que falta en

\(y^2+(?)+16\)

de modo que los tres términos formen un trinomio cuadrado perfecto. El término central del problema debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos, es decir \((2)(4)(y)\), u \(8y\).

Prueba:

\(y^2+8y+16=(y+4)^2\)

El término que falta es \(8y\).

Agregar el término que falta en

\(16x^2+24xy+(?)\)

de modo que los tres términos formen un trinomio cuadrado perfecto. La raíz cuadrada del primer término es \(4x\). Una mitad del término central es \(12xy\). Dividimos \(12xy\) por \(4x\). El resultado es \(3y\), que es la raíz cuadrada del último término.

Entonces el término que falta es

\(9y^2\)

Para comprobar, hallamos que

\((4x+3y)^2=16x^2+24xy+9y^2\)

Ejercicio 4

Cuál es la raíz cuadrada de:

1. \(x^2+2x+1\)
2. \(a^2-10ab+25b^2\)
3. \(a^2+2ab+b^2\)
4. \(16x^2+24xy+9y^2\)
5. \(x^2y^2+16xy+64\)
6. \(m^2+\frac{n^2}{9}+\frac{2mn}{3}\)

Agregar el término que falta de modo que los tres términos formen un trinomio cuadrado perfecto:

7. \(x^2+(?)+y^2\)
8. \(T^2+(?)+25\)
9. \(9a^4-(?)+25b^2\)
10. \(4m^2+16m+(?)\)
11. \(x^2+4x+(?)\)
12. \(c^2-6cd+(?)\)

6. Producto de la suma y diferencia de dos números

Según puede verse en la multiplicación de

\((a+b)\) y \((a-b)\)

el término central es cero y el producto de la suma y diferencia de los números es simplemente la diferencia de sus cuadrados.

Estudiar los siguientes ejemplos

\((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)

\((5a+b)(5a-b)=25a^2-b^2\)

\(\left(\frac{m}{4}+\frac{n}{3}\right)\left(\frac{m}{4}-\frac{n}{3}\right)=\frac{m^2}{16}-\frac{n^2}{9}\)

7. Factoreo de la diferencia de dos cuadrados

Cuando se factorea la diferencia de dos cuadrados se invierte el proceso usado en la sección anterior.

Para factorizar la diferencia de dos cuadrados se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los dos cuadrados, se suman estos números a un factor y se los resta del otro factor.

Ejemplo:

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

\(9c^4-16d^2=(3c^2+4d)(3c^2-4d)\)

Ejercicio 5

Desarrollar por observación:

1. \((R+S)(R-S)\)
2. \((E-IR)(E+IR)\)
3. \((S+2)(S-2)\)
4. \(\left(\frac{R^2}{6}+\frac{T}{3}\right)\left(\frac{R^2}{6}-\frac{T}{3}\right)\)
5. \(\left(\frac{E^2}{R}+TR\right)\left(\frac{E^2}{R}-TR\right)\)

Factorizar:

6. \(z^2-z^2\)
7. \(25-A^2\)
8. \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\)
9. \(\frac{1}{R^2}-\frac{1}{r^2}\)
10. \(1-r^3\)
11. \(16-z^4\) (factorizar completamente)
12. \(9a^2-b^2+2bc-c^2\)

Solución:

\(9a^2-(b^2-2bc+c^2)=9a^2-(b-c)^2\)

\([3a+(b-c)][3a-(b-c)]\)

\((3a+b-c)(3a-b+c)\)

13. \(a^2+4ac+4c^2-z^2\)
14. \(36e^2-81z^2y+9c^2d^2-36cde\)

8. Factoreo de trinomios de la forma \(x^2+bx+c\)

Para factorizar un trinomio de la forma

\(x^2+bx+c\)

se determinan dos números cuya suma es \(b\) y cuyo producto es \(c\). Cada uno de estos números se coloca como término constante en un factor del binomio.

Factorización de trinomios

Para factorizar un trinomio de la forma

\(x^2+7x+12\)

debemos determinar dos números cuya suma sea \(7\) y cuyo producto sea \(12\). Sabemos que los factores de \(12\) son \(1\) y \(12\), \(2\) y \(6\), \(3\) y \(4\).

La suma de \(1\) y \(12\) es \(13\), la suma de \(2\) y \(6\) es \(8\), pero la suma de \(3\) y \(4\) es \(7\). Entonces, \(3\) y \(4\) son los números que buscamos.

Sumando cada número a la raíz cuadrada del primer término formamos los dos binomios:

\((x+3)\)   y   \((x+4)\)

Por tanto, los factores de

\(x^2+7x+12\)

son

\((x+3)(x+4)\)

Factorizar el trinomio

\(y^2-15y+36\)

Los factores de \(36\) son \(36\) y \(1\), \(18\) y \(2\), \(12\) y \(3\), \(9\) y \(4\) y \(6\) y \(6\).

Sumando cada grupo de factores vemos que solamente \(-12\) y \(-3\) dan un total de \(-15\). Esto significa que los factores de

\(y^2-15y+36\)

son

\((y-3)(y-12)\)

Factorizar el trinomio

\(a^2-a-56\)

Puesto que el último término es \(-56\), los dos números deben tener signos desiguales. La suma de los números debe ser \(-1\). Esto significa que el número con el signo negativo debe poseer el mayor valor absoluto.

El estudiante tendrá que eliminar mentalmente todos los factores de \(56\) excepto \(7\) y \(8\). Estos números son los únicos factores de \(56\) que difieren en \(1\). Esto significa que los factores de

\(a^2-a-56\)

son

\((a-8)(a+7)\)

Ejercicio 6

Factorizar:

1. \(a^2+5a+6\)
2. \(x^2+6x+8\)
3. \(y^2+7y+12\)
4. \(m^2+7m-60\)
5. \(a^2-2a-35\)
6. \(z^2+2z-63\)
7. \(r^2-61R-55R^2\)
8. \(R^2+4R-96\)
9. \(j^2-7j-120\)
10. \(x^2-21xy+110y^2\)
11. \(x^2y^2-16xy+28\)
12. \(E^2+EI-72I^2\)
13. \(a^6-17a^3+72\)
14. \(m^2+160-26m\)
15. \(v^2+15vt+36t^2\)

9. Factoreo de trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\)

Cuando se factoriza un trinomio de la forma

\(ax^2+bx+c\)

se determinan dos números cuya suma sea \(b\) y cuyo producto sea \(c\).

Estos factores están limitados a dos pares: \(-6\) y \(1\), \(2\) y \(3\); entonces se simplifica la solución.

Cuando surge un trinomio en el cual el coeficiente del término cuadrático es distinto de \(1\), son posibles mayores combinaciones de números.

Cuando factoreamos

\(5x^2-16x+3\)

debemos considerar los factores de \(5\) tanto como los factores de \(3\). Esto nos da la posibilidad para el primer y el último términos.

Las combinaciones posibles son

Los signos que conectan estos términos son los dos positivos o ambos negativos, visto que el último término en el trinomio es \(+3\).

Para decidir cuál de las dos combinaciones se usará y cuándo colocar un signo más o un signo menos, observe que el término central del trinomio es \(-16x\).

Los productos cruzados en la segunda combinación son \(15x\) y \(x\). Empleando el signo menos estos productos cruzados se suman y dan \(-16x\).

Determinamos que

\(5x^2-16x+3=(5x-1)(x-3)\)

Consideremos ahora

\(12a^2-17a+6\)

como un trinomio a factorizar. Los factores de \(12\) y \(6\) permiten muchas combinaciones posibles que pueden dar el primer y último términos correctos.

Algunas de estas combinaciones son

Advierta, sin embargo, que es inútil escribir algunas de las primeras combinaciones, puesto que éstas determinan un monomio factor común, mientras que

\(5x^2-16x+3\)

no tiene factor monomio.

Si el trinomio se ha probado primero para factores monomios, entonces ninguno de sus factores binomiales mostrará un factor común a ambos términos.

Continuación del factoreo de trinomios

Las combinaciones que no darían resultado como factor común son:

La última combinación nos proporciona un término central mucho más largo. Con práctica puede eliminarse rápidamente cualquier combinación que no se aproxime al coeficiente del término central. Los productos cruzados en la única combinación que resta son \(9a\) y \(8a\). Usando signos menos obtenemos \(-17a\) para el término central y \(+6\) para el último término. Los factores de \(12a^2-17a+6\) son \((4a-3)(3a-2)\).

Ejemplo

Factorizar: \(8r^2-14r-15\).

Solución: El último término es negativo; por consiguiente, los factores de \(-15\) deben tener signos desiguales.

Factores posibles:

\((8r+3)(r-5)=8r^2-37r-15\) Incorrecto

\((4r+3)(2r-5)=8r^2-14r-15\) Correcto

\((4r+5)(2r-3)=8r^2-2r-15\) Incorrecto

Ejercicio 7

Factorizar:

1. \(2x^2-x-28\)
2. \(4y^2-y-5\)
3. \(2a^2-7a+3\)
4. \(3x^2+10x+7\)
5. \(6E^2+26E-60\)
6. \(3x^2-x-4\)
7. \(2y^2-21by-11b^2\)
8. \(3a^2-10a+3\)
9. \(2m^2n^2-5mn+2\)
10. \(3P^2+22I+7\)
11. \(10p^4-71p^2+7\)
12. \(2a^2-9a+10\)
13. \(12z^2+17z+6\)
14. \(5+2d-3d^2\)
15. \(4-8a+3a^2\)

(En los ejemplos 16 a 19, extraer primero el factor monomio, luego factorizar el trinomio restante.)

16. \(12x^2-10x+2\)
17. \(6ay^2-ay-35a\)
18. \(3a^3-a^2-2a\)
19. \(10k^2-15hk+5h^2\)

(En los ejemplos 20 a 23 tratar los binomios como monomios.)

20. \(3(m+n)^2+11(m+n)+6\)
21. \(5(c-d)^2+12(c-d)+4\)
22. \(3a^2(b-c)^2+a(b-c)-4\)
23. \(3(mn+1)^2+a(mn+1)-2a^3\)

10. Factoreo de la suma y diferencia de dos cubos

Para determinar los factores de la suma o diferencia de dos cubos supongamos que \(a+b\) es uno de los factores de \(a^3+b^3\), y dividimos \(a^3+b^3\) por \(a+b\). Esto nos dará un segundo factor, y si la división es exacta prueba que \(a+b\) es un factor.

Por ejemplo:

Entonces, los factores de \(a^3+b^3\) son \((a+b)(a^2-ab+b^2)\).

Un método utilizado para recordar los signos consiste en observar que hay tres signos escritos:

\(+\quad -\quad +\)

Los signos se alternan de más a menos a más, comenzando con un más, como en \((a+b)(a^2-ab+b^2)\).

Para factorizar \(a^3-b^3\), supongamos que \(a-b\) es un factor y dividimos.

Esto muestra que \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Los signos de la forma factorizada de \(a^3-b^3\) son negativo en el primer factor y positivo en el segundo factor.

No es necesario realizar esta división para cada problema. Usamos estos dos ejemplos como tipo y podemos establecer una regla para factorizar binomios de esta clase.

Regla. Para factorizar la suma de dos cubos se forma un binomio extrayendo la raíz cúbica de cada término y vinculándolos con un signo más. A continuación se forma un trinomio.

Continuación: suma y diferencia de cubos

Para factorizar la diferencia de dos cubos se emplea el signo menos en el binomio y el signo más en el trinomio.

Por ejemplo, factorizar \(8a^3+27b^3\). Primero, extraemos las raíces cúbicas de cada término y las conectamos con un signo más \((2a+3b)\). Ahora formamos el trinomio elevando al cuadrado el primer término \((4a^2)\), restando el producto de los dos términos \((6ab)\) y sumando el cuadrado del último término \((9b^2)\). Entonces, la forma factoreada de \(8a^3+27b^3\) es \((2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)\).

Ejemplo: Factorizar \(x^3-8y^3\).

Solución: \(x^3-8y^3=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)\)

Ejemplo: Factorizar \(a^6+64b^3\).

Solución:

\(a^6+64b^3=(a^2)^3+(4b)^3=(a^2+4b)(a^4-4a^2b+16b^2)\)

Ejemplo: Factorizar \(x^3+\dfrac{8}{27y^3}\).

Solución:

\(x^3+\dfrac{8}{27y^3}=x^3+\left(\dfrac{2}{3y}\right)^3= \left(x+\dfrac{2}{3y}\right)\left(x^2-\dfrac{2x}{3y}+\dfrac{4}{9y^2}\right)\)

Ejercicio 8

Factorizar:

Ejercicio 9

Factorizar:

En los ejercicios 10 y 11:

10. (factorizar como la diferencia de dos cubos)

11. (factorear como la diferencia de dos cuadrados)

Resumiendo

Hay pocas cosas a recordar cuando se factorean ciertos términos o expresiones y es mejor formular el propio orden de procedimiento. Estas pocas sugerencias podrán ayudarlo a desarrollar buenos hábitos cuando factoriza. Muchos problemas de cálculo son extremadamente simples en lo que concierne a la aplicación del cálculo, pero la simplificación de estas expresiones usando factoreo y procedimientos algebraicos en general, es muy difícil.

Se sugiere que la primera operación sea factorizar el factor común mayor (o los más grandes).

Ejercicios resueltos

Conclusión del capítulo

Luego, por inspección, tratar de reconocer las formas delineadas en este capítulo.

Siempre que la expresión pueda ser simplificada, factorear. Si, no obstante, una expresión no puede ser simplificada ulteriormente, es cuestión de criterio que la respuesta deba expresarse en su forma combinada o en su forma factoreada.

La práctica perfecciona, y debe recordar que en matemáticas superiores se supone que los fundamentos han sido perfectamente comprendidos.

Muchos pasos en la solución de un problema pueden omitirse si el primer paso es un proceso algebraico fundamental.

Términos relacionados :

• 1. Factorización algebraica (Algebraic factoring)
• 2. Factor común (Common factor)
• 3. Factor común mayor (Greatest common factor)
• 4. Trinomio (Trinomial)
• 5. Trinomio cuadrático (Quadratic trinomial)
• 6. Factorización de trinomios (Trinomial factoring)
• 7. Trinomio de la forma \(x^2+bx+c\) (Quadratic trinomial \(x^2+bx+c\))
• 8. Trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\) (Quadratic trinomial \(ax^2+bx+c\))
• 9. Diferencia de cuadrados (Difference of squares)
• 10. Cuadrado perfecto (Perfect square)
• 11. Trinomio cuadrado perfecto (Perfect square trinomial)
• 12. Producto notable (Special product)
• 13. Suma de cubos (Sum of cubes)
• 14. Diferencia de cubos (Difference of cubes)
• 15. Raíz cúbica (Cube root)
• 16. Factorización de la suma de cubos (Factoring the sum of cubes)
• 17. Factorización de la diferencia de cubos (Factoring the difference of cubes)
• 18. Binomio (Binomial)
• 19. Trinomio asociado (Associated trinomial)
• 20. Producto de binomios (Product of binomials)
• 21. Expresión algebraica (Algebraic expression)
• 22. Coeficiente del término cuadrático (Quadratic coefficient)
• 23. Término independiente (Constant term)
• 24. Término central (Middle term)
• 25. Productos cruzados (Cross products)
• 26. Método de inspección (Inspection method)
• 27. Simplificación algebraica (Algebraic simplification)
• 28. División algebraica (Algebraic division)
• 29. Identidad algebraica (Algebraic identity)
• 30. Forma factorizada (Factored form)