Factorización algebraica de polinomios: trinomios, cubos y diferencias de cuadrados

• Ejercicios

Ejercicio 1 resuelto

Factorizar:

1. \(2z+8\)
   \(=2(z+4)\)
2. \(x^2+2ax-4x\)
   \(=x(x+2a-4)\)
3. \(14a+30ar\)
   \(=2a(7+15r)\)
4. \(6e^2-2e+8e^4\)
   \(=2e(3e-1+4e^3)\)
5. \(3ir-2ir+4i^2r\)
   \(=ir+4i^2r\)
   \(=ir(1+4i)\)
6. \(9a^2b+27a^3b^2-18ab^2\)
   \(=9ab(a+3a^2b-2b)\)
7. \(18m^2n^4+6m^2n^2-36m^2n^3\)
   \(=6m^2n^2(3n^2+1-6n)\)
8. \(\frac{1}{2}e^2r-\frac{1}{6}er^2\)
   \(=\frac{er}{6}(3e-r)\)
9. \(20xyz+45x^2y^2z^2-60xy^2z^3\)
   \(=5xyz(4+9xyz-12yz^2)\)
10. Resolver para \(a\) cuando \(am=m^3-mp\)
    
    \(a=\dfrac{m^3-mp}{m}\)
    \(a=m^2-p\)
11. \(a^2b^2+4a^2b^2c^2-6abc\)
    \(=ab(ab+4abc^2-6c)\)
12. \(x(y-5)+t(y-5)\)
    \(=(x+t)(y-5)\)
13. \(m(n-p)+r(n-p)\)
    \(=(m+r)(n-p)\)
14. \(x(y-z)-w(z-y)\)
    Como \((z-y)=-(y-z)\), entonces:
    \(x(y-z)+w(y-z)\)
    \(=(x+w)(y-z)\)
15. \(7z(p-m^2)-4y(m^2-p)\)
    Como \((m^2-p)=-(p-m^2)\), entonces:
    \(7z(p-m^2)+4y(p-m^2)\)
    \(=(7z+4y)(p-m^2)\)
16. \(7(x^2+y^2)-3z(x^2+y^2)\)
    \(=(7-3z)(x^2+y^2)\)
17. \(ax+ay+mx+my\)
    \(=a(x+y)+m(x+y)\)
    \(=(a+m)(x+y)\)
18. \(xE-yE+xI-yI\)
    \(=E(x-y)+I(x-y)\)
    \(=(E+I)(x-y)\)
19. \(a^2+ab-ac-cb\)
    \(=a(a+b)-c(a+b)\)
    \(=(a-c)(a+b)\)
20. \(xy-3x-2y+6\)
    \(=x(y-3)-2(y-3)\)
    \(=(x-2)(y-3)\)

Ejercicio 2 resuelto

En este ejercicio se utilizan principalmente:

• producto de binomios

• propiedad distributiva

• producto notable de diferencia de cuadrados

Desarrollar por observación:

1. \((a-3)(a+2)\)
   \(=a^2+2a-3a-6\)
   \(=a^2-a-6\)
2. \((x+5)(x+3)\)
   \(=x^2+3x+5x+15\)
   \(=x^2+8x+15\)
3. \((2b-2)(3b+2)\)
   \(=6b^2+4b-6b-4\)
   \(=6b^2-2b-4\)
4. \((a-8)(a+2)\)
   \(=a^2+2a-8a-16\)
   \(=a^2-6a-16\)
5. \((2x+3)(x+1)\)
   \(=2x^2+2x+3x+3\)
   \(=2x^2+5x+3\)
6. \((4y-5)(3y-2)\)
   \(=12y^2-8y-15y+10\)
   \(=12y^2-23y+10\)
7. \((10A+2)(A-2)\)
   \(=10A^2-20A+2A-4\)
   \(=10A^2-18A-4\)
8. \((8P+3)(4P-3)\)
   \(=32P^2-24P+12P-9\)
   \(=32P^2-12P-9\)
9. \(\left(5B-\frac{1}{3}\right)\left(3B+\frac{1}{5}\right)\)
   \(=15B^2+B-B-\frac{1}{15}\)
   \(=15B^2-\frac{1}{15}\)
10. \(\left(\frac{3}{2}A-3\right)\left(2A+\frac{1}{3}\right)\)
    \(=3A^2+\frac{1}{2}A-6A-1\)
    \(=3A^2-\frac{11}{2}A-1\)
11. \((xy+2)(xy+3)\)
    \(=(xy)^2+3xy+2xy+6\)
    \(=x^2y^2+5xy+6\)
12. \((ab+0.7)(ab-0.5)\)
    \(=(ab)^2-0.5ab+0.7ab-0.35\)
    \(=a^2b^2+0.2ab-0.35\)
13. \(\left(a+\frac{3}{2}\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)\)
    \(=a^2-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}a-\frac{3}{4}\)
    \(=a^2+a-\frac{3}{4}\)
14. \(\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\)
    \(=x^2-\frac{1}{9}\)
15. \(\left(xy-\frac{1}{7}\right)(xy+7)\)
    \(=7x^2y^2+xy-\frac{1}{7}xy-1\)
    \(=7x^2y^2+\frac{6}{7}xy-1\)

Ejercicio 3 resuelto

Observación

En este ejercicio se aplican las reglas del cuadrado de un binomio:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

En algunos casos, el resultado puede escribirse en un orden diferente sin que cambie su valor. Por ejemplo:

\((6-b)^2=36-12b+b^2\)

también puede escribirse como:

\(b^2-12b+36\)

Ambas expresiones son equivalentes. En los ejercicios anteriores se dejó el resultado en el orden más directo respecto del binomio original.

Elevar mentalmente al cuadrado los siguientes binomios y escribir la respuesta sin desglosar la operación.

1. \(r+2\)
   \((r+2)^2=r^2+4r+4\)
2. \(e-3\)
   \((e-3)^2=e^2-6e+9\)
3. \(a+b\)
   \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
4. \(x-y\)
   \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\)
5. \(z-5\)
   \((z-5)^2=z^2-10z+25\)
6. \(6-b\)
   \((6-b)^2=36-12b+b^2\)
7. \(3a+b\)
   \((3a+b)^2=9a^2+6ab+b^2\)
8. \(2x-3y\)
   \((2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2\)
9. \(3-z^2\)
   \((3-z^2)^2=9-6z^2+z^4\)
10. \(2x-3y^2\)
    \((2x-3y^2)^2=4x^2-12xy^2+9y^4\)
11. \(2a^2-b^3\)
    \((2a^2-b^3)^2=4a^4-4a^2b^3+b^6\)
12. \(1+m^3\)
    \((1+m^3)^2=1+2m^3+m^6\)

Ejercicio 4 resuelto

¿Cuál es la raíz cuadrada de los siguientes trinomios cuadrados perfectos?

1. \(x^2+2x+1\)
   \(\sqrt{x^2+2x+1}=x+1\)
2. \(a^2-10ab+25b^2\)
   \(\sqrt{a^2-10ab+25b^2}=a-5b\)
3. \(a^2+2ab+b^2\)
   \(\sqrt{a^2+2ab+b^2}=a+b\)
4. \(16x^2+24xy+9y^2\)
   \(\sqrt{16x^2+24xy+9y^2}=4x+3y\)
5. \(x^2y^2+16xy+64\)
   \(\sqrt{x^2y^2+16xy+64}=xy+8\)
6. \(m^2+\dfrac{n^2}{9}+\dfrac{2mn}{3}\)
   \(\sqrt{m^2+\dfrac{n^2}{9}+\dfrac{2mn}{3}}=m+\dfrac{n}{3}\)

Agregar el término que falta para formar un trinomio cuadrado perfecto:

7. \(x^2+(?)+y^2\)
   Término faltante: \(2xy\)
   Trinomio: \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)
8. \(T^2+(?)+25\)
   Término faltante: \(10T\)
   Trinomio: \(T^2+10T+25=(T+5)^2\)
9. \(9a^4-(?)+25b^2\)
   Término faltante: \(30a^2b\)
   Trinomio: \(9a^4-30a^2b+25b^2=(3a^2-5b)^2\)
10. \(4m^2+16m+(?)\)
    Término faltante: \(16\)
    Trinomio: \(4m^2+16m+16=(2m+4)^2\)
11. \(x^2+4x+(?)\)
    Término faltante: \(4\)
    Trinomio: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)
12. \(c^2-6cd+(?)\)
    Término faltante: \(9d^2\)
    Trinomio: \(c^2-6cd+9d^2=(c-3d)^2\)

Nota didáctica

Este ejercicio se basa en el reconocimiento del trinomio cuadrado perfecto, cuya forma general es:

\( a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \)

\( a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \)

Para completar el término faltante se utiliza la relación:

\( \text{término central} = 2\sqrt{\text{primer término}}\sqrt{\text{último término}} \)

\( b = 2\sqrt{a}\sqrt{c} \)

Ejercicio 5 resuelto

Desarrollar por observación:

1. \((R+S)(R-S)\)
   \(=R^2-S^2\)
2. \((E-IR)(E+IR)\)
   \(=E^2-I^2R^2\)
3. \((S+2)(S-2)\)
   \(=S^2-4\)
4. \(\left(\dfrac{R^2}{6}+\dfrac{T}{3}\right)\left(\dfrac{R^2}{6}-\dfrac{T}{3}\right)\)
   \(=\left(\dfrac{R^2}{6}\right)^2-\left(\dfrac{T}{3}\right)^2\)
   \(=\dfrac{R^4}{36}-\dfrac{T^2}{9}\)
5. \(\left(\dfrac{E^2}{R}+TR\right)\left(\dfrac{E^2}{R}-TR\right)\)
   \(=\left(\dfrac{E^2}{R}\right)^2-(TR)^2\)
   \(=\dfrac{E^4}{R^2}-T^2R^2\)

Factorizar:

6. \(z^2-y^2\)
   \(=(z+y)(z-y)\)
7. \(25-A^2\)
   \(=(5+A)(5-A)\)
8. \(\left(a^2-\dfrac{1}{4}\right)\)
   \(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a-\dfrac{1}{2}\right)\)
9. \(\dfrac{1}{R^2}-\dfrac{1}{r^2}\)
   \(=\left(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{r}\right)\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)\)
10. \(1-r^6\)
    \(=(1+r^3)(1-r^3)\)
    \(=(1+r^3)(1-r)(1+r+r^2)\)
11. \(16-z^4\)
    \(=(4+z^2)(4-z^2)\)
    \(=(4+z^2)(2+z)(2-z)\)
12. \(9a^2-b^2+2bc-c^2\)
    \(=9a^2-(b^2-2bc+c^2)\)
    \(=9a^2-(b-c)^2\)
    \(=[3a+(b-c)][3a-(b-c)]\)
    \(=(3a+b-c)(3a-b+c)\)
13. \(a^2+4ac+4c^2-z^2\)
    \(=(a+2c)^2-z^2\)
    \(=(a+2c+z)(a+2c-z)\)
14. \(36e^2-81z^2y^2+9c^2d^2-36cde\)
    \(=36e^2-(81z^2y^2-9c^2d^2+36cde)\)
    \(=36e^2-(9zy-3cd)^2\)
    \(=[6e+(9zy-3cd)][6e-(9zy-3cd)]\)
    \(=(6e+9zy-3cd)(6e-9zy+3cd)\)

Observación

En este ejercicio se aplican principalmente las siguientes identidades:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

En algunos casos, antes de factorizar la diferencia de cuadrados, conviene reconocer si una parte de la expresión puede escribirse como un cuadrado perfecto. Por ejemplo:

\(a^2+4ac+4c^2=(a+2c)^2\)

y también:

\(b^2-2bc+c^2=(b-c)^2\)

Esto permite transformar expresiones más largas en una diferencia de cuadrados y luego factorizar con mayor facilidad.

Ejercicio 6 resuelto

Factorizar:

1. \(a^2+5a+6\)
   \(=(a+2)(a+3)\)
2. \(x^2+6x+8\)
   \(=(x+2)(x+4)\)
3. \(y^2+7y+12\)
   \(=(y+3)(y+4)\)
4. \(m^2+7m-60\)
   \(=(m+12)(m-5)\)
5. \(a^2-2a-35\)
   \(=(a-7)(a+5)\)
6. \(z^2+2z-63\)
   \(=(z+9)(z-7)\)
7. \(R^2-6R-55\)
   \(=(R-11)(R+5)\)
8. \(R^2+4R-96\)
   \(=(R+12)(R-8)\)
9. \(j^2-7j-120\)
   \(=(j-15)(j+8)\)
10. \(x^2-21xy+110y^2\)
    \(=(x-11y)(x-10y)\)
11. \(x^2y^2-16xy+28\)
    \(=(xy-14)(xy-2)\)
12. \(E^2+EI-72I^2\)
    \(=(E+9I)(E-8I)\)
13. \(a^6-17a^3+72\)
    Sea \(u=a^3\), entonces:
    \(u^2-17u+72=(u-9)(u-8)\)
    Por lo tanto:
    \(=(a^3-9)(a^3-8)\)
14. \(m^2+160-26m\)
    \(=m^2-26m+160\)
    \(=(m-16)(m-10)\)
15. \(v^2+15vt+36t^2\)
    \(=(v+3t)(v+12t)\)

Observación

En este ejercicio se factoriza principalmente el trinomio de la forma:

\(x^2+bx+c\)

Para hacerlo, se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del término lineal y cuyo producto sea el término independiente.

Por ejemplo, en:

\(x^2+6x+8\)

se buscan dos números cuya suma sea \(6\) y cuyo producto sea \(8\). Esos números son \(2\) y \(4\). Entonces:

\(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\)

En algunos casos conviene tratar una parte de la expresión como si fuera una sola variable. Por ejemplo:

\(a^6-17a^3+72\)

puede escribirse como:

\(u^2-17u+72\), siendo \(u=a^3\)

Luego se factoriza normalmente y finalmente se reemplaza otra vez \(u\) por \(a^3\).

Ejercicio 7 resuelto

Factorizar:

1. \(2x^2-x-28\)
   \(=(2x+7)(x-4)\)
2. \(4y^2-y-5\)
   \(=(4y-5)(y+1)\)
3. \(2a^2-7a+3\)
   \(=(2a-1)(a-3)\)
4. \(3x^2+10x+7\)
   \(=(3x+7)(x+1)\)
5. \(6E^2+26E-60\)
   \(=2(3E^2+13E-30)\)
   \(=2(3E-5)(E+6)\)
6. \(3x^2-x-4\)
   \(=(3x-4)(x+1)\)
7. \(2y^2-21by-11b^2\)
   \(=(2y+b)(y-11b)\)
8. \(3a^2-10a+3\)
   \(=(3a-1)(a-3)\)
9. \(2m^2n^2-5mn+2\)
   Sea \(u=mn\)
   \(2u^2-5u+2=(2u-1)(u-2)\)
   Por lo tanto:
   \(=(2mn-1)(mn-2)\)
10. \(3P^2+22P+7\)
    \(=(3P+1)(P+7)\)
11. \(10p^2-71p+7\)
    \(=(10p-1)(p-7)\)
12. \(2a^2-9a+10\)
    \(=(2a-5)(a-2)\)
13. \(12z^2+17z+6\)
    \(=(4z+3)(3z+2)\)
14. \(5+2d-3d^2\)
    \(=-3d^2+2d+5\)
    \(=(5-3d)(d+1)\)
15. \(4-8a+3a^2\)
    \(=3a^2-8a+4\)
    \(=(3a-2)(a-2)\)

En los ejercicios 16 a 19, extraer primero el factor monomio, luego factorizar el trinomio restante.

16. \(12x^2-10x+2\)
    \(=2(6x^2-5x+1)\)
    \(=2(3x-1)(2x-1)\)
17. \(6ay^2-ay-35a\)
    \(=a(6y^2-y-35)\)
    \(=a(3y+5)(2y-7)\)
18. \(3a^3-a^2-2a\)
    \(=a(3a^2-a-2)\)
    \(=a(3a+2)(a-1)\)
19. \(10k^2-15hk+5h^2\)
    \(=5(2k^2-3hk+h^2)\)
    \(=5(2k-h)(k-h)\)

En los ejercicios 20 a 22 tratar los binomios como monomios.

20. \(3(m+n)^2+11(m+n)+6\)
    Sea \(u=(m+n)\)
    \(3u^2+11u+6=(3u+2)(u+3)\)
    Por lo tanto:
    \(=[3(m+n)+2][(m+n)+3]\)
21. \(5(c-d)^2+12(c-d)+4\)
    Sea \(u=(c-d)\)
    \(5u^2+12u+4=(5u+2)(u+2)\)
    Por lo tanto:
    \(=[5(c-d)+2][(c-d)+2]\)
22. \(3a^2(b-c)^2+a(b-c)-4\)
    Sea \(u=a(b-c)\)
    \(3u^2+u-4=(3u+4)(u-1)\)
    Por lo tanto:
    \(=[3a(b-c)+4][a(b-c)-1]\)

Observación

En este ejercicio se factorizan principalmente trinomios de la forma:

\(ax^2+bx+c\)

Cuando el trinomio tiene un factor monomio común, conviene extraerlo primero y luego factorizar el trinomio restante.

Por ejemplo:

\(12x^2-10x+2=2(6x^2-5x+1)\)

y después:

\(6x^2-5x+1=(3x-1)(2x-1)\)

En otros casos, una expresión compuesta puede tratarse como si fuera una sola variable. Por ejemplo, si:

\(u=(m+n)\)

entonces:

\(3(m+n)^2+11(m+n)+6=3u^2+11u+6\)

y se factoriza como un trinomio común.

 

Ejercicio 8 resuelto

Factorizar:

\(x^3+1\) \(=(x+1)(x^2-x+1)\) \(y^3-1\) \(=(y-1)(y^2+y+1)\) \(a^3-b^3\) \(=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) \(a^3+b^3\) \(=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) \(8m^3-1\) \(=(2m)^3-1^3\) \(=(2m-1)(4m^2+2m+1)\) \(64y^3+1\) \(=(4y)^3+1^3\) \(=(4y+1)(16y^2-4y+1)\) \(125m^3+64n^3\) \(=(5m)^3+(4n)^3\) \(=(5m+4n)(25m^2-20mn+16n^2)\) \(x^3-\dfrac{8}{y^3}\) \(=x^3-\left(\dfrac{2}{y}\right)^3\) \(=\left(x-\dfrac{2}{y}\right)\left(x^2+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{4}{y^2}\right)\)

\(\dfrac{8}{27}+\dfrac{x^3}{125}\) \(=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+\left(\dfrac{x}{5}\right)^3\) \(=\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{x}{5}\right)\left(\dfrac{4}{9}-\dfrac{2x}{15}+\dfrac{x^2}{25}\right)\) \(x^3y^3+1\) \(=(xy)^3+1^3\) \(=(xy+1)(x^2y^2-xy+1)\) \((m+n)^3+(x-y)^3\) \(=[(m+n)+(x-y)][(m+n)^2-(m+n)(x-y)+(x-y)^2]\) \(1+R^3\) \(=(1+R)(1-R+R^2)\) \((x^2+3)^3-1\) \(=[(x^2+3)-1][(x^2+3)^2+(x^2+3)+1]\) \(=(x^2+2)(x^4+7x^2+13)\) \(x^6y^6+m^3n^3\) \(=(x^2y^2)^3+(mn)^3\) \(=(x^2y^2+mn)(x^4y^4-mnx^2y^2+m^2n^2)\)

Observación

En este ejercicio se aplican las fórmulas de factorización de la suma y la diferencia de cubos:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Antes de factorizar, conviene verificar si cada término puede escribirse como un cubo perfecto. Por ejemplo:

\(8m^3=(2m)^3\)

\(64y^3=(4y)^3\)

\(\dfrac{8}{27}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)

En expresiones compuestas también puede tratarse un binomio o un producto como si fuera una sola cantidad. Por ejemplo:

\((m+n)^3+(x-y)^3\)

se factoriza tomando:

\(A=(m+n)\) y \(B=(x-y)\)

y aplicando luego la fórmula:

\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)

 

Ejercicio 9 resuelto

Factorizar:

\(ra+rb\) \(=r(a+b)\) \(pt+prt\) \(=pt(1+r)\) \(\dfrac{P}{R}+\dfrac{E}{R}\) \(=\dfrac{1}{R}(P+E)\) \(3IR+2I^2-4IE\) \(=I(3R+2I-4E)\) \(144-E^2\) \(=12^2-E^2\) \(=(12+E)(12-E)\) \(E^2-x^2\) \(=(E+x)(E-x)\) \((IR)^3+E^3\) \(=(IR+E)(I^2R^2-IRE+E^2)\) \(4a^2-49b^2\) \(=(2a)^2-(7b)^2\) \(=(2a+7b)(2a-7b)\) \(x^6+y^6\) \(=(x^2)^3+(y^2)^3\) \(=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)\) \(x^6-y^6\) \(=(x^3+y^3)(x^3-y^3)\) \(=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)\) \(x^4-y^4\) \(=(x^2+y^2)(x^2-y^2)\) \(=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)\) \(x^2-11x+10\) \(=(x-10)(x-1)\) \(a^2+3a-10\) \(=(a+5)(a-2)\) \(E^2-0.1E-0.06\) \(=(E-0.3)(E+0.2)\) \(10x^2-31x+15\) \(=(5x-3)(2x-5)\) \(3a^2b-6a^2b^2-9ab^3\) \(=3ab(a-2ab-3b^2)\)

\(x^2+xr-xp-pr\) \(=x(x+r)-p(x+r)\) \(=(x-p)(x+r)\) \(x^2-8x+7\) \(=(x-7)(x-1)\) \(3E^2+33E+72\) \(=3(E^2+11E+24)\) \(=3(E+3)(E+8)\) \(a^2+\dfrac{5a}{6}+\dfrac{1}{6}\) \(=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\left(a+\dfrac{1}{3}\right)\) \(bx^2+8bx+16b\) \(=b(x^2+8x+16)\) \(=b(x+4)^2\) \(1-E^3\) \(=(1-E)(1+E+E^2)\) \(1-E^2\) \(=(1+E)(1-E)\) \((IR)^3+E^3\) \(=(IR+E)(I^2R^2-IRE+E^2)\) \(\dfrac{x^2}{4}+xy+y^2\) \(=\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+2\left(\dfrac{x}{2}\right)y+y^2\) \(=\left(\dfrac{x}{2}+y\right)^2\) \(m^2-16\) \(=(m+4)(m-4)\) \(36x^2-1\) \(=(6x)^2-1^2\) \(=(6x+1)(6x-1)\) \((x-y)^2-z^2\) \(=[(x-y)+z][(x-y)-z]\) \(E^4-E^2x^2\) \(=E^2(E^2-x^2)\) \(=E^2(E+x)(E-x)\) \(64-(a-d)^2\) \(=8^2-(a-d)^2\) \(=[8+(a-d)][8-(a-d)]\) \(4x^2-(y+5)^2\) \(=(2x)^2-(y+5)^2\) \(=[2x+(y+5)][2x-(y+5)]\) \(5a^2-12ab+4b^2\) \(=(5a-2b)(a-2b)\) \(x^5-x^3-2x\) \(=x(x^4-x^2-2)\) Sea \(u=x^2\) \(=x(u^2-u-2)\) \(=x(u-2)(u+1)\) \(=x(x^2-2)(x^2+1)\) \(3(a+b)^2+11(a+b)+6\) Sea \(u=(a+b)\) \(=3u^2+11u+6\) \(=(3u+2)(u+3)\) \(=[3(a+b)+2][(a+b)+3]\)

Observación

En este ejercicio aparecen varios métodos de factorización combinados:

• factor común,
• diferencia de cuadrados,
• suma y diferencia de cubos,
• trinomios de la forma \(x^2+bx+c\),
• trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\),
• y sustitución de una expresión por una variable auxiliar.

Por ejemplo, en:

\(x^5-x^3-2x\)

primero se extrae factor común:

\(x(x^4-x^2-2)\)

y luego se trata \(x^2\) como una variable auxiliar:

\(u=x^2\)

lo que permite factorizar:

\(u^2-u-2=(u-2)(u+1)\)

En otros casos, como:

\(\dfrac{x^2}{4}+xy+y^2\)

conviene reconocer un trinomio cuadrado perfecto:

\(\left(\dfrac{x}{2}+y\right)^2\)

Cuando una expresión es compuesta, también puede tratarse como si fuera una sola variable, por ejemplo:

\(u=(a+b)\)

para factorizar:

\(3(a+b)^2+11(a+b)+6\)

 

Resumen de fórmulas de factorización

Las siguientes identidades algebraicas permiten reconocer rápidamente distintas formas de factorización. Son herramientas fundamentales para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

1. Factor común

Cuando todos los términos de una expresión poseen un factor común, este puede extraerse:

\(ax+ay=a(x+y)\)

\(ab+ac+ad=a(b+c+d)\)

2. Factor común por agrupación

Cuando el factor común no aparece en todos los términos directamente, se pueden agrupar:

\(ax+ay+mx+my\)

\(=a(x+y)+m(x+y)\)

\(=(a+m)(x+y)\)

3. Diferencia de cuadrados

La diferencia de dos cuadrados perfectos se factoriza como el producto de la suma por la diferencia de sus raíces:

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Ejemplo:

\(4x^2-9=(2x+3)(2x-3)\)

4. Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto se reconoce porque el término central es el doble producto de las raíces cuadradas del primero y del último término.

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Relación útil para identificarlo:

\(\text{término central}=2\sqrt{\text{primer término}}\sqrt{\text{último término}}\)

Ejemplo:

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

5. Trinomio de la forma \(x^2+bx+c\)

Se buscan dos números cuya suma sea \(b\) y cuyo producto sea \(c\).

\(x^2+bx+c=(x+m)(x+n)\)

donde:

\(m+n=b\)

\(mn=c\)

6. Trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\)

Cuando el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1, se buscan dos números cuyo producto sea \(ac\) y cuya suma sea \(b\).

Ejemplo:

\(6x^2+11x+3=(3x+1)(2x+3)\)

7. Suma de cubos

La suma de dos cubos se factoriza como:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Ejemplo:

\(8x^3+27=(2x+3)(4x^2-6x+9)\)

8. Diferencia de cubos

La diferencia de dos cubos se factoriza como:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Ejemplo:

\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

Observación

En muchos problemas de álgebra es conveniente seguir el siguiente orden:

• Buscar primero si existe factor común.
• Reconocer si la expresión corresponde a una identidad notable.
• Aplicar técnicas de agrupación o sustitución.
• Comprobar siempre el resultado multiplicando los factores obtenidos.