Ecuaciones cuadráticas
Resolver las siguientes ecuaciones usando factoreo:
-
\(2x^2+3x=0\)
\(x(2x+3)=0\)
\(x=0 \quad \text{o} \quad x=-\dfrac{3}{2}\)
-
\((x-4)x=0\)
\(x=0 \quad \text{o} \quad x=4\)
-
\((x+3)\dfrac{x}{5}=0\)
\(x(x+3)=0\)
\(x=0 \quad \text{o} \quad x=-3\)
-
\(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x=0\)
\(\dfrac{1}{4}x(x+2)=0\)
\(x=0 \quad \text{o} \quad x=-2\)
-
\(5x^2-2x=0\)
\(x(5x-2)=0\)
\(x=0 \quad \text{o} \quad x=\dfrac{2}{5}\)
-
\(x^2-49=0\)
\((x+7)(x-7)=0\)
\(x=7 \quad \text{o} \quad x=-7\)
-
\(2x^2-128=0\)
\(2(x^2-64)=0\)
\(2(x+8)(x-8)=0\)
\(x=8 \quad \text{o} \quad x=-8\)
-
\(3x^2-25=2\)
\(3x^2-27=0\)
\(3(x^2-9)=0\)
\(3(x+3)(x-3)=0\)
\(x=3 \quad \text{o} \quad x=-3\)
-
\(\dfrac{1}{3}x^2-2=1\)
\(\dfrac{1}{3}x^2-3=0\)
\(x^2-9=0\)
\((x+3)(x-3)=0\)
\(x=3 \quad \text{o} \quad x=-3\)
|
-
\(3x(x-2)+2x(3-x)=16\)
\(3x^2-6x+6x-2x^2=16\)
\(x^2-16=0\)
\((x+4)(x-4)=0\)
\(x=4 \quad \text{o} \quad x=-4\)
-
\(x^2-5x-6=0\)
\((x-6)(x+1)=0\)
\(x=6 \quad \text{o} \quad x=-1\)
-
\(x^2-x-42=0\)
\((x-7)(x+6)=0\)
\(x=7 \quad \text{o} \quad x=-6\)
-
\(x^2-13x+12=0\)
\((x-12)(x-1)=0\)
\(x=12 \quad \text{o} \quad x=1\)
-
\(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{3}{8}=0\)
\(8x^2-10x+3=0\)
\((4x-3)(2x-1)=0\)
\(x=\dfrac{3}{4} \quad \text{o} \quad x=\dfrac{1}{2}\)
-
\(6x^2+7x-5=0\)
\((3x+5)(2x-1)=0\)
\(x=-\dfrac{5}{3} \quad \text{o} \quad x=\dfrac{1}{2}\)
-
\(\dfrac{6}{x}+x=5\)
\(6+x^2=5x\)
\(x^2-5x+6=0\)
\((x-2)(x-3)=0\)
\(x=2 \quad \text{o} \quad x=3\)
-
\(\dfrac{10}{x^2}+\dfrac{9}{x}=9\)
\(10+9x=9x^2\)
\(9x^2-9x-10=0\)
\((3x-5)(3x+2)=0\)
\(x=\dfrac{5}{3} \quad \text{o} \quad x=-\dfrac{2}{3}\)
|
Observación
En este ejercicio se aplican principalmente tres procedimientos:
- extraer factor común,
- usar la diferencia de cuadrados,
- y transformar ecuaciones con fracciones en trinomios cuadráticos equivalentes.
En ecuaciones como:
\(
\dfrac{6}{x}+x=5
\)
o
\(
\dfrac{10}{x^2}+\dfrac{9}{x}=9
\)
conviene eliminar primero los denominadores, multiplicando por la potencia adecuada de \(x\), y luego factorizar el trinomio resultante.
También debe recordarse que, en ecuaciones con denominadores, el valor \(x=0\) no es admisible.
Ejercicio 11 resuelto
11.
Ejercicio resuelto
Resolver las siguientes ecuaciones:
-
\(x^2+3x-1=0\)
Aplicando fórmula cuadrática:
\[
x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4(1)(-1)}}{2}
\]
\[
x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}
\]
-
\(y^2+6y-10=0\)
\[
y=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(1)(-10)}}{2}
\]
\[
y=\frac{-6\pm\sqrt{76}}{2}
\]
\[
y=-3\pm\sqrt{19}
\]
-
\(E^2-4E+1=0\)
\[
E=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(1)}}{2}
\]
\[
E=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}
\]
\[
E=2\pm\sqrt{3}
\]
-
\(2E^2+8E-3=0\)
\[
E=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4(2)(-3)}}{2\cdot 2}
\]
\[
E=\frac{-8\pm\sqrt{88}}{4}
\]
\[
E=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{2}
\]
-
\(8H^2-8H=5\)
\[
8H^2-8H-5=0
\]
\[
H=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4(8)(-5)}}{16}
\]
\[
H=\frac{8\pm\sqrt{224}}{16}
\]
\[
H=\frac{8\pm 4\sqrt{14}}{16}
\]
\[
H=\frac{2\pm\sqrt{14}}{4}
\]
-
\(5L^2-5=2L^2-10L\)
\[
3L^2+10L-5=0
\]
\[
L=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4(3)(-5)}}{2\cdot 3}
\]
\[
L=\frac{-10\pm\sqrt{160}}{6}
\]
\[
L=\frac{-10\pm 4\sqrt{10}}{6}
\]
\[
L=\frac{-5\pm 2\sqrt{10}}{3}
\]
|
-
\(14r^2-28r-42=0\)
\[
14(r^2-2r-3)=0
\]
\[
(r-3)(r+1)=0
\]
\[
r=3 \quad \text{o} \quad r=-1
\]
-
\(2v-3v^2+4=0\)
\[
3v^2-2v-4=0
\]
\[
v=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(3)(-4)}}{2\cdot 3}
\]
\[
v=\frac{2\pm\sqrt{52}}{6}
\]
\[
v=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}
\]
-
\(\dfrac{1}{v^2}-\dfrac{4}{v}=2\)
Multiplicando por \(v^2\):
\[
1-4v=2v^2
\]
\[
2v^2+4v-1=0
\]
\[
v=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(2)(-1)}}{2\cdot 2}
\]
\[
v=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{4}
\]
\[
v=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}
\]
-
\(y^2-5=2y\)
\[
y^2-2y-5=0
\]
\[
y=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-5)}}{2}
\]
\[
y=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}
\]
\[
y=1\pm\sqrt{6}
\]
-
\(8z^2-8z=8\)
\[
8z^2-8z-8=0
\]
\[
z^2-z-1=0
\]
\[
z=\frac{1\pm\sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2}
\]
\[
z=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
\]
|
Ejercicio 12 resuelto
-
Resultado:
\(h=3,\quad k=-2,\quad b=2,\quad a=3\)
-
Resultado:
\(k=2,\quad a=1,\quad h=-3\)
-
Resultado:
\(k=\dfrac{3}{2},\quad h=-1,\quad a=2\)
-
Forma normal correcta:
\(\dfrac{\left(x-\frac{2}{3}\right)^2}{16}-\dfrac{\left(y+\frac{1}{2}\right)^2}{9}=1\)
Parámetros:
\(h=\dfrac{2}{3},\quad k=-\dfrac{1}{2},\quad b=4,\quad a=3\)
-
Forma normal correcta:
\(\dfrac{\left(x-\frac{13}{2}\right)^2}{\frac{169}{4}}-\dfrac{\left(y+\frac{2}{7}\right)^2}{\frac{169}{49}}=1\)
Parámetros:
\(h=\dfrac{13}{2},\quad k=-\dfrac{2}{7},\quad b=\dfrac{13}{2},\quad a=\dfrac{13}{7}\)
Ejercicio 13 resuelto
- \(y=1\pm\sqrt{3}\)
- \(x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
- \(x=\dfrac{5}{2},\quad x=-1\)
- \(p=5,\quad p=-1\)
- \(v=-\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{17}\)
- \(z=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{1}{4}\sqrt{33}\)
- \(y=\dfrac{2\pm\sqrt{4-20b}}{2b}\)
- \(R=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2}\sqrt{5}\)
- \(x=2\pm\sqrt{5}\)
- \(x=\pm\sqrt{5}\)
-
(a) \(x=\dfrac{7}{2}\)
(b) \(f(x)=-\dfrac{37}{4}\)
-
(a) \(z=-7\)
(b) \(f(z)=\dfrac{6}{7}\)
-
\(x=4 \quad \text{o} \quad x=-4\)
-
\(x=1,\quad x=3\)
Ejercicio 13 resuelto
11.
Si:
\(
f(x)=x^2-7x+3
\)
(a) ¿Cuál es el valor de \(x\) que hace \(f(x)\) mínimo?
\(
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-7)}{2(1)}=\frac{7}{2}
\)
(b) ¿Cuál es el valor mínimo de \(f(x)\)?
\(
f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}\right)^2-7\left(\frac{7}{2}\right)+3
\)
\(
=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+3
=\frac{49}{4}-\frac{98}{4}+\frac{12}{4}
=-\frac{37}{4}
\)
12.
Si:
\(
f(z)=\frac{7}{z^2}+\frac{2}{z}+1
\)
Ayuda: Sea
\(
x=\frac{1}{z}
\)
Entonces:
\(
f(x)=7x^2+2x+1
\)
(a) ¿Cuál es el valor de \(z\) que hace mínimo a \(f(z)\)?
\(
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2(7)}=-\frac{1}{7}
\)
Como \(x=\dfrac{1}{z}\), tenemos:
\(
\frac{1}{z}=-\frac{1}{7}
\qquad\Rightarrow\qquad
z=-7
\)
(b) ¿Cuál es el valor de \(f(z)_{\min}\)?
\(
f\left(-\frac{1}{7}\right)=7\left(\frac{1}{49}\right)+2\left(-\frac{1}{7}\right)+1
\)
\(
=\frac{1}{7}-\frac{2}{7}+1=\frac{6}{7}
\)
13.
El cuadrado de algún número menos 9 es igual a 7.
\(
x^2-9=7
\)
\(
x^2=16
\)
\(
x=\pm 4
\)
14.
El cuadrado de algún número menos cuatro veces ese número es igual a menos tres.
\(
x^2-4x=-3
\)
\(
x^2-4x+3=0
\)
\(
(x-1)(x-3)=0
\)
\(
x=1 \quad \text{o} \quad x=3
\)
15.
Determinar la velocidad alcanzada por \(64\) kg cuando se los arroja con una energía de \(400\) kilográmetros.
La fórmula dada es:
\(
K=\frac{WV^2}{2g}
\)
Datos:
\(
K=400,\quad W=64,\quad g=9.8
\)
Sustituyendo:
\(
400=\frac{64V^2}{2(9.8)}
\)
\(
400=\frac{64V^2}{19.6}
\)
\(
7840=64V^2
\)
\(
V^2=122.5
\)
\(
V=\sqrt{122.5}\approx 11.07\ \text{m/s}
\)
16.
Una ley sobre la caída de los cuerpos se expresa por:
\(
s=V_0t+\frac{1}{2}gt^2
\)
Datos:
\(
s=160,\quad V_0=0,\quad g=9.8
\)
Sustituyendo:
\(
160=4.9t^2
\)
\(
t^2=\frac{160}{4.9}
\)
\(
t\approx 5.71\ \text{s}
\)
17.
Determinar el tiempo que emplearía un cuerpo para caer desde \(160\) metros si fuera arrojado hacia abajo con una velocidad inicial de \(16\) m/s.
Usamos:
\(
s=V_0t+\frac{1}{2}gt^2
\)
Datos:
\(
s=160,\quad V_0=16,\quad g=9.8
\)
Sustituyendo:
\(
160=16t+4.9t^2
\)
\(
4.9t^2+16t-160=0
\)
Aplicando fórmula cuadrática:
\(
t=\frac{-16\pm\sqrt{16^2-4(4.9)(-160)}}{2(4.9)}
\)
\(
t=\frac{-16\pm\sqrt{3392}}{9.8}
\)
Tomamos la raíz positiva:
\(
t\approx 4.31\ \text{s}
\)
18.
Un niño lanza una piedra hacia arriba desde un acantilado de \(112\) metros de altura, con velocidad inicial de \(33\) m/s. ¿Cuánto tiempo permanece en el aire?
Tomando hacia abajo como positivo, se tiene:
\(
s=V_0t+\frac{1}{2}gt^2
\)
Datos:
\(
s=112,\quad V_0=-33,\quad g=9.8
\)
Sustituyendo:
\(
112=-33t+4.9t^2
\)
\(
4.9t^2-33t-112=0
\)
Aplicando fórmula cuadrática:
\(
t=\frac{33\pm\sqrt{(-33)^2-4(4.9)(-112)}}{2(4.9)}
\)
\(
t=\frac{33\pm\sqrt{3284.2}}{9.8}
\)
Tomamos la raíz positiva:
\(
t\approx 9.21\ \text{s}
\)
|
