Ecuaciones cuadráticas
En una página anterior hemos visto términos y expresiones de primer orden y de orden superior.
Estudiamos expresiones que comprenden términos elevados a la primera, segunda y, en unos pocos casos, sexta potencia.
En las explicaciones anteriores estudiamos ecuaciones formadas por estos términos y los cuadrados de estos términos,
combinando los cuadrados de una incógnita en varias formas diferentes para obtener ecuaciones cuadráticas.
La ecuación
\(x^2 - 16 = 0\)
es un ejemplo de una ecuación cuadrática porque contiene el cuadrado de \(x\), que es la incógnita.
Utilizamos los métodos de factoreo aprendidos en el primer capítulo para resolver algunas de las ecuaciones más simples.
Determinamos que en una ecuación cuadrática hay para la incógnita dos respuestas, llamadas soluciones o raíces.
Cada ecuación cuadrática tendrá dos raíces; asimismo, todas las ecuaciones cúbicas poseen tres raíces.
La potencia más alta de la incógnita indica el número de raíces de una ecuación.
La forma general de una ecuación cuadrática es:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes y \(x\) es la incógnita.
Las ecuaciones:
\(x^2 - 25 = 0,\quad x^2 - 3x = 10,\quad 3x^2 + 2x + 15 = 0\)
son todas ecuaciones cuadráticas y pueden determinarse ciertos valores para \(x\) que satisfacen estas ecuaciones.
Las dos raíces en una ecuación cuadrática pura son iguales en valor absoluto pero tienen signos opuestos,
debido a que todos los números poseen dos raíces cuadradas.
11. Ecuaciones cuadráticas puras
La ecuación
\(x^2 - 36 = 0\)
es una ecuación cuadrática pura. Hay dos números, los cuales, cuando se los sustituye por \(x\), satisfacen la ecuación:
\((+6)^2 - 36 = 0\)
\(36 - 36 = 0\)
además:
\((-6)^2 - 36 = 0\)
\(36 - 36 = 0\)
Entonces, \(+6\) y \(-6\) son raíces de la ecuación.
Ejemplo: Resolver para \(x\) en la ecuación:
\(x^2 - 35 = 1\)
Trasponiendo:
\(x^2 = 36\)
Extrayendo la raíz cuadrada:
\(x = \pm 6\)
Prueba:
\((\pm 6)^2 - 35 = 1\)
\(36 - 35 = 1\)
12. Solución por factoreo
Cuando se resuelve una ecuación cuadrática por factoreo, surge sólo un nuevo elemento.
Por ejemplo, cuando resolvemos la ecuación:
\(x^2 - x - 6 = 0\)
el lado izquierdo de la ecuación se factoriza para obtener:
\((x - 3)(x + 2) = 0\)
Ahora puede verse que tenemos el producto de dos números igual a cero.
Para que esto sea cierto, uno de tales números debe ser igual a cero.
Entonces, igualamos a cero cada factor y resolvemos para las incógnitas:
\(x - 3 = 0 \quad \text{o} \quad x + 2 = 0\)
Cada ecuación nos proporcionará una respuesta diferente para el valor de la incógnita.
Por tanto:
\(x = 3 \quad \text{o} \quad x = -2\)
Ejemplo: Resolver la ecuación:
\(x^2 - 2x = 0\)
Factoreando:
\(x(x - 2) = 0\)
\(x = 0 \quad \text{o} \quad x - 2 = 0\)
Entonces, \(x = 0\) o \(x = 2\) satisfacen la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación:
\(2x^2 - 3x - 5 = 0\)
Factoreando:
\((2x - 5)(x + 1) = 0\)
\(x + 1 = 0 \quad \text{o} \quad 2x - 5 = 0\)
\(x = -1 \quad \text{o} \quad x = \frac{5}{2}\)
Entonces, \(-1\) y \(2\frac{1}{2}\) son las raíces de \(2x^2 - 3x - 5 = 0\).
Ejercicio 10
Resolver las siguientes ecuaciones usando factoreo:
Ejercicio 10
Resolver las siguientes ecuaciones usando factoreo:
- \(2x^2+3x=0\)
- \((x-4)x=0\)
- \((x+3)\dfrac{x}{5}=0\)
- \(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x=0\)
- \(5x^2-2x=0\)
- \(x^2-49=0\)
- \(2x^2-128=0\)
- \(3x^2-25=2\)
- \(\dfrac{1}{3}x^2-2=1\)
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- \(3x(x-2)+2x(3-x)=16\)
- \(x^2-5x-6=0\)
- \(x^2-x-42=0\)
- \(x^2-13x+12=0\)
- \(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{3}{8}=0\)
- \(6x^2+7x-5=0\)
- \(\dfrac{6}{x}+x=5\)
- \(\dfrac{10}{x^2}+\dfrac{9}{x}=9\)
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13. Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado
Muchas veces los valores de las incógnitas no son números enteros o fracciones racionales y los métodos usuales de factoreo no son ventajosos para resolver el problema.
Por consiguiente, recurrimos al método de completar el cuadrado para una solución más fácil.
Por ejemplo, si deseamos resolver la ecuación:
\(x^2-6x-2=0\)
no podemos factorizarla utilizando los métodos usuales. Reordenamos la ecuación para obtener:
\(x^2-6x=2\)
Ahora debemos encontrar algún número para sumar a ambos lados de la ecuación de modo que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto.
Si dividimos el coeficiente del término central (−6) por 2 y elevamos al cuadrado el número resultante:
\(\frac{-6}{2}=-3 \quad \text{y} \quad (-3)^2=9\)
Ahora sumamos 9 a ambos lados de la ecuación:
\(x^2-6x+9=2+9\)
Factorizando:
\((x-3)^2=11\)
Extrayendo la raíz cuadrada:
\(x-3=\pm\sqrt{11}\)
Trasponiendo:
\(x=3\pm\sqrt{11}\)
Y tenemos:
\(x=3+\sqrt{11} \quad \text{o} \quad x=3-\sqrt{11}\)
En el caso anterior, el coeficiente de \(x^2\) era uno y no se necesitaba adoptar ningún cuidado especial.
En problemas con un coeficiente diferente de uno, la cantidad total debe dividirse por ese coeficiente.
Ejemplo: Resolver
\(2x^2-x-2=0\)
Trasponiendo:
\(2x^2-x=2\)
Dividiendo ambos lados por el coeficiente de \(x^2\):
\(x^2-\frac{1}{2}x=1\)
Completando el cuadrado:
\(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}\)
Factorizando:
\(\left(x-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{17}{16}\)
Extrayendo la raíz cuadrada:
\(x-\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}\)
Respuesta:
\(x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}\)
Resumen del método de completar el cuadrado
- Trasponer todos los términos con \(x\) al lado izquierdo y los demás al lado derecho.
- Dividir por el coeficiente de \(x^2\) si es distinto de 1.
- Completar el cuadrado sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente de \(x\).
- Expresar el trinomio como un binomio al cuadrado.
- Extraer la raíz cuadrada en ambos lados.
Ejercicio 11
Resolver completando el cuadrado:
Resolver las siguientes ecuaciones:
- \(x^2+3x-1=0\)
- \(y^2+6y-10=0\)
- \(E^2-4E+1=0\)
- \(2E^2+8E-3=0\)
- \(8H^2-8H=5\)
- \(5L^2-5=2L^2-10L\)
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- \(14r^2-28r-42=0\)
- \(2v-3v^2+4=0\)
- \(\dfrac{1}{v^2}-\dfrac{4}{v}=2\)
- \(y^2-5=2y\)
- \(8z^2-8z=8\)
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Ecuaciones y geometría analítica
Hay muchos casos especiales en geometría analítica en los cuales aparece una ecuación del tipo:
\(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\)
donde \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\) son números. Es posible poner esta ecuación general en una forma estándar como:
\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1\)
donde \(a\), \(b\), \(h\) y \(k\) son números.
Esta transformación puede hacerse usando el método de completar el cuadrado.
Ejemplo: Expresar la ecuación:
\(16x^2 + 32x + 9y^2 - 54y + 48 = 0\)
en la forma normal:
\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1\)
Solución:
Se reordena la ecuación de modo que los coeficientes de \(x^2\) e \(y^2\) sean uno:
\(16(x^2+2x) + 9(y^2-6y) + 48 = 0\)
Se completa el cuadrado para los términos que comprenden \(x\) e \(y\):
\(16(x^2+2x+1) + 9(y^2-6y+9) + 48 = 16 + 81\)
Observe que \(16(1)\) y \(9(9)\) se han sumado al lado izquierdo de la ecuación y deben sumarse también al lado derecho para mantener la igualdad.
Se forman cuadrados binomiales en lugar de los trinomios cuadrado perfecto:
\(16(x+1)^2 + 9(y-3)^2 = 49\)
La forma normal está igualada a uno sobre el lado derecho. Entonces, dividiendo por 49:
\(\dfrac{16(x+1)^2}{49} + \dfrac{9(y-3)^2}{49} = 1\)
En la primera fracción, dividiendo numerador y denominador por 16, y en la segunda fracción, dividiendo por 9, obtenemos:
\(\dfrac{(x+1)^2}{\frac{49}{16}} + \dfrac{(y-3)^2}{\frac{49}{9}} = 1\)
La forma normal tiene \(a^2\) y \(b^2\) en el denominador. Entonces, obtenemos:
\(\dfrac{(x+1)^2}{\left(\frac{7}{4}\right)^2} + \dfrac{(y-3)^2}{\left(\frac{7}{3}\right)^2} = 1\)
Este problema particular tiene \(h=-1\), \(k=3\), \(b=\dfrac{7}{4}\) y \(a=\dfrac{7}{3}\).
Ejercicio 12
Expresar las ecuaciones en forma normal:
-
\(9x^2 - 54x + 4y^2 + 16y + 61 = 0\)
en la forma:
\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2} + \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1\)
-
\(y^2 - 4y = 4x + 8\)
en la forma:
\((y-k)^2 = 4a(x-h)\)
-
\(y^2 - 3y = 8x + \dfrac{23}{4}\)
en la forma normal del problema 2.
-
\(9x^2 - 12x - 16y^2 - 16y = 144\)
en la forma:
\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2} - \dfrac{(y-k)^2}{a^2} = 1\)
-
\(4x^2 - 52x - 49y^2 - 28y = 4\)
en la forma mostrada en el problema 4.
14. Método de la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas
Se estableció previamente que la forma general para una ecuación cuadrática es:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
Por tanto, en una ecuación tal como:
\(2x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Usando los coeficientes literales se hace la ecuación perfectamente general.
Ahora, si hubiera que resolver esta ecuación para la incógnita, deberíamos tener una fórmula que resolviera todas las ecuaciones cuadráticas.
Esta ecuación cuadrática general se resuelve usando el método de completar el cuadrado.
Comenzando con:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
Trasponiendo \(c\):
\(ax^2 + bx = -c\)
Deducción de la fórmula cuadrática
Dividiendo por \(a\):
\(
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
\)
Sumando el cuadrado de \(\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\):
\(
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}
\)
Factorizando:
\(
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}
\)
Poniendo el lado derecho sobre el común denominador:
\(
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\)
Extrayendo la raíz cuadrada de ambos lados:
\(
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)
Trasponiendo:
\(
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)
o
\(
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)
Esta solución para \(x\) es la fórmula cuadrática.
Ejemplo: Resolver \(2x^2-6x+3=0\) utilizando la fórmula cuadrática.
Solución:
\(a=2,\quad b=-6,\quad c=3\)
\(
x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{36-4(2)(3)}}{4}
\)
\(
=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}
\)
\(
=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}
\)
Entonces:
\(
x=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\quad \text{o}\quad x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}
\)
Prueba:
\(
x=\frac{3+1.732}{2}=2.366
\)
\(
2(2.366)^2-6(2.366)+3=0
\)
\(11.20-14.20+3=0\)
\(14.20-14.20=0\)
\(
x=\frac{3-1.732}{2}=0.634
\)
\(
2(0.634)^2-6(0.634)+3=0
\)
\(0.80-3.80+3=0\)
\(3.80-3.80=0\)
Raíces racionales e irracionales
Los valores de estas incógnitas, cuando no son números enteros o fracciones racionales, se llaman raíces irracionales.
Un número racional es un número que puede expresarse como la relación de dos enteros.
Ejemplos de números racionales son \(9\), \(\frac{7}{3}\), \(\frac{1}{8}\) y \(\sqrt{16}\).
Todo número entero es racional, puesto que es el cociente de sí mismo y de la unidad:
\(9=\frac{9}{1}\)
Un radical es racional si puede expresarse como el cociente de dos números enteros:
\(\sqrt{16}=4=\frac{4}{1}\)
Un número como \(\sqrt{3}\), que no puede escribirse como la relación de dos números enteros, se llama irracional.
Los números racionales e irracionales juntos forman el sistema de los números reales.
Las raíces de una ecuación cuadrática son reales si no aparece signo negativo bajo el radical.
Ejemplo:
\(
x=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\quad \text{o}\quad x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}
\)
son irracionales.
Un hecho importante a recordar cuando se usa la fórmula cuadrática es que la expresión bajo el signo radical
\((b^2-4ac)\) debe considerarse como una unidad antes de extraer la raíz cuadrada.
La cantidad \((b^2-4ac)\) se llama discriminante de la ecuación cuadrática.
Interpretación del discriminante y gráfico de ecuaciones cuadráticas
Interpretación del discriminante
Las raíces reales pueden ser racionales o irracionales (dependiendo de que \(b^2-4ac\) sea o no un cuadrado perfecto).
Las raíces son iguales sólo cuando \(b^2-4ac=0\).
Cuando \(b^2-4ac\) es negativo tenemos la raíz cuadrada de un número negativo, lo que da lugar a raíces imaginarias.
La siguiente tabla resume la información obtenida del estudio del discriminante:
| Cuando |
Las raíces son |
| \(b^2-4ac>0\) |
Reales, distintas, racionales o irracionales |
| \(b^2-4ac=0\) |
Reales e iguales |
| \(b^2-4ac\) es un cuadrado perfecto |
Reales y racionales |
| \(b^2-4ac<0\) |
Imaginarias |
15. Gráfico de una ecuación cuadrática
Tomamos la ecuación:
\(x^2-6x+5=0\)
como un ejemplo de ecuación cuadrática a representar.
Si resolvemos esta ecuación obtenemos solamente dos valores o puntos sobre el gráfico,
que no nos dan una imagen completa del significado de la ecuación.
Para obtener un gráfico continuo debemos introducir lo que se denomina una variable dependiente.
En álgebra, la variable dependiente se designa por \(y\) y la ecuación se transforma en:
\(y=x^2-6x+5\)
La ecuación \(x^2-6x+5=0\) se obtiene cuando la variable dependiente tiene el valor cero.
En matemáticas superiores se emplea el símbolo \(f(x)\) para la variable dependiente y significa función de \(x\).
Si tenemos una ecuación con \(z\) como incógnita:
\(z^2-6z+5\)
se escribirá:
\(f(z)=z^2-6z+5\)
En nuestra ecuación original:
\(f(x)=x^2-6x+5\)
sustituimos ahora la incógnita por valores diferentes y determinamos los valores correspondientes de la función.
Si hacemos \(x=-1\), la ecuación se transforma:
\(f(-1)=(-1)^2-6(-1)+5=12\)
Además:
\(f(0)=0-0+5=5\)
\(f(1)=1-6+5=0\)
Podemos componer una tabla con los valores suficientes para trazar la ecuación.
Tabla de valores
| \(x\) |
\(f(x)\) |
| -1 | 12 |
| 0 | 5 |
| 1 | 0 |
| 2 | -3 |
| 3 | -4 |
| 4 | -3 |
| 5 | 0 |
| 6 | 5 |
| 7 | 12 |
El gráfico de la ecuación cruza el eje horizontal en los puntos \(1\) y \(5\).
Esto nos da una solución gráfica de la ecuación:
\(x^2-6x+5=0\)
Tal ecuación puede resolverse también factoreando como sigue:
\((x-1)(x-5)=0\)
\(x-1=0 \quad \text{o} \quad x-5=0\)
\(x=1 \quad \text{o} \quad x=5\)
Entonces, cuando hacemos \(f(x)=0\) obtenemos las soluciones o raíces de la ecuación.
Estas raíces representan los puntos donde el gráfico de:
\(y=x^2-6x+5\)
cruza el eje horizontal.
Consideremos ahora tres ecuaciones adicionales que difieren en un sentido: sus términos constantes no son los mismos:
\(x^2-6x+12=0\)
\(x^2-6x+9=0\)
Comparación de ecuaciones cuadráticas y valor mínimo de la función
\(x^2 - 6x + 8 = 0\)
\(x = \frac{6+4}{2} = 5 \quad \text{o} \quad x = \frac{6-4}{2} = 1\)
Entonces, las raíces son reales y racionales, el discriminante es un cuadrado perfecto y el gráfico cruza el eje en dos puntos.
Para la segunda ecuación, \(x^2 - 6x + 8 = 0\), calculamos \((b^2 - 4ac)\) y determinamos que es igual a 4.
Este es un cuadrado perfecto y nos proporciona raíces reales y racionales.
La siguiente ecuación, \(x^2 - 6x + 9 = 0\), nos dará un discriminante igual a cero:
\(36 - 4(9) = 0\)
Esto indica que tenemos raíces reales e iguales. Controlando con el gráfico vemos que éste toca el eje en un punto, \(x = 3\).
Entonces, la raíz \(x = 3\) debe considerarse doble y se llama raíz doble.
La última ecuación, \(x^2 - 6x + 12 = 0\), nos dará un discriminante igual a:
\(36 - 4(12) = -12\)
Cuando resolvemos las raíces de esta ecuación tenemos:
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} = 3 \pm \sqrt{-3}\)
Estas son imaginarias; pero el significado se hace evidente cuando observamos el gráfico.
El gráfico nunca cruza el eje \(x\) y por tanto ambas raíces deben ser imaginarias.
Figura 2. Gráfico de una familia de curvas cuadráticas
Para comparar esta información con la examinada antes debemos investigar el discriminante de cada una de estas ecuaciones.
El discriminante de la ecuación \(x^2 - 6x + 5 = 0\) es:
\(b^2 - 4ac = (36 - 4 \cdot 1 \cdot 5) = 36 - 20 = 16\)
Refiriéndonos al resumen anterior determinamos que las raíces son reales y racionales.
Para comprobarlo, sustituimos el valor del discriminante en la fórmula cuadrática:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 5}}{2}\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)
16. Valor mínimo de una función cuadrática
Aceptamos, en este punto de nuestra explicación, que el valor mínimo de una función cuadrática se producirá en:
\(x = \frac{-b}{2a}\)
cuando la ecuación general:
\(ax^2 + bx + c = y\)
define los coeficientes \(a\) y \(b\). Además, hemos aprendido cómo determinar los valores máximos y mínimos de diversos tipos de funciones.
Podemos comprobar esta relación calculando el valor de \(x\), en el cual aparece el valor mínimo de la función \(x^2 - 6x + 5\), y comparar este valor calculado con el gráfico de esta ecuación de la figura 2.
\(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3\)
Entonces, el valor mínimo de la función \(x^2 - 6x + 5\) aparece en \(x = 3\).
Controlando en el gráfico se verifica esta afirmación.
Si hallamos el valor de \(x\) en el cual aparece el valor mínimo de las funciones \(x^2 - 6x + 8\), \(x^2 - 6x + 9\) y \(x^2 - 6x + 12\), vemos que todos estos valores mínimos se encuentran en la línea \(x = 3\).
Continuación: valor mínimo de una función cuadrática
El mínimo aparece en:
\(
x=\frac{-b}{2a}
\)
Por tanto, reemplazando \(\dfrac{-b}{2a}\) por \(x\) en:
\(
f(x)=ax^2+bx+c
\)
tenemos:
\(
f(x)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c
\)
\(
f(x)=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c
=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c
\)
\(
f(x)=\frac{-b^2}{4a}+c
\)
Por ejemplo, determinar el valor de la función
\(
f(x)=x^2-6x+5
\)
en el punto mínimo.
\(
f(x)=\frac{-b^2}{4a}+c=\frac{-36}{4}+5=-9+5=-4
\)
Este método puede usarse para determinar el valor mínimo de la función si no se conoce el valor de \(x\) en el cual aparece el punto mínimo.
Si, en cambio, se sabe que el valor mínimo aparece en \(x=3\), simplemente sustituimos este valor de \(x\) en la ecuación. Obtenemos:
\(
f(x)=x^2-6x+5
\)
\(
=9-6\cdot3+5
\)
\(
=14-18
\)
\(
f(x)_{\min}=-4
\)
Estos cálculos pueden verificarse controlando el valor mínimo sobre el gráfico de la figura 2.
Es recomendable que el estudiante calcule el valor de \(x\) en el que aparece el mínimo para las otras tres funciones y calcule además el valor de cada función en el punto mínimo.
Deberá tenerse en cuenta que en todos los casos en que se usa la palabra mínimo es aplicable también la palabra máximo si la ecuación
\(
y=f(x)
\)
es tal que el gráfico de la misma tiene un máximo en vez de un mínimo. Independientemente de qué tipo de ecuación esté analizando el estudiante, la explicación y los ejemplos siguen siendo válidos. Si la ecuación fuera
\(
y=3+6x-x^2
\)
el signo menos al frente del término en \(x^2\) indicaría que la curva tiene un máximo.
17. Problemas prácticos con ecuaciones cuadráticas
Podemos emplear los métodos de análisis de las secciones anteriores para resolver algunas relaciones muy importantes en ciencias aplicadas. El siguiente problema interesa a los técnicos electricistas y electrónicos.
Ejemplo: Determinar la resistencia de carga en función de los componentes del circuito para obtener la máxima transferencia de potencia.
El voltaje de batería está indicado como \(E\), la resistencia interna de la batería es igual a \(r\), el voltaje en los terminales es \(V\) y la resistencia de carga es igual a \(R\). La resistencia total del circuito es igual a \((r+R)\). En la figura 3 se indica un diagrama del circuito serie.
Por la ley de Ohm:
\(
E=I(R+r)
\)
y la potencia entregada a la carga:
\(
P=VI
\)
donde
\(
V=E-Ir
\)
La corriente a través del circuito pasa por la batería y produce una caída de tensión en ésta, dando origen a lo que se llama voltaje terminal.
Sustituyendo \(V\) en la ecuación de la potencia, obtenemos:
\(
P=(E-Ir)I
\)
\(
P=EI-I^2r
\)
Reordenando:
\(
-rI^2+EI-P=0
\)
Esto da origen a una ecuación cuadrática en \(I\) (corriente). Podemos resolver para la máxima corriente utilizando el método presentado en la sección anterior.
En
\(
-rI^2+EI-P=f(I)
\)
tenemos:
\(
a=-r,\qquad b=E,\qquad c=-P
\)
Entonces:
\(
I_{\text{máx.}}=\frac{-E}{2(-r)}=\frac{E}{2r}
\)
Continuación: máxima transferencia de potencia
La corriente a través del circuito cuando se entrega la máxima potencia. Podemos determinar una relación muy importante si sustituimos este valor por la corriente en nuestra ecuación original:
\(
I(R+r)=E
\)
Sustituyendo:
\(
\frac{E}{2r}(R+r)=E
\)
Dividiendo por \(E\) y multiplicando por \(2r\):
\(
R+r=2r
\)
Entonces:
\(
R=r
\)
Aquí tenemos una relación muy importante a recordar cuando se diseñan circuitos eléctricos. Para obtener la máxima transferencia de potencia de la fuente a la carga, el valor de la resistencia de carga debe ser igual a la resistencia interna de la fuente.
Ejemplo: Un camión, cuando marcha sobre una rampa inclinada, varía su velocidad de acuerdo con la ecuación:
\(
s=9+3t-2t^2
\)
Antes de alcanzar la rampa el camión se desplaza a una velocidad constante de 9 kilómetros por hora.
(Sea \(t=0\); entonces:
\(
s=9+(3)(0)-(2)(0)=9
\)
)
¿Cuántos minutos después de alcanzar la rampa la velocidad del camión es la máxima? ¿Cuál es la velocidad máxima? ¿Cuántos minutos después de alcanzar la rampa se detiene el camión? Dibuje un gráfico de la velocidad del camión respecto del tiempo.
Solución: Sea \(s=\) velocidad del camión en kilómetros por hora y \(t=\) tiempo en minutos.
En esta ecuación cuadrática:
\(
a=-2,\qquad b=3,\qquad c=9
\)
En vez de \(x\) e \(y\), las variables son \(t\) y \(s\). Usando el valor \(-b/2a\) para determinar la posición o tiempo del máximo, sustituimos para \(a\) y \(b\) y obtenemos:
\(
t=\frac{-3}{2(-2)}=\frac{3}{4}\text{ minutos}
\)
Entonces, el camión alcanza una velocidad máxima a los \(3/4\) minutos después de alcanzar la rampa.
Ahora, para determinar su velocidad máxima, reemplazamos \(t=3/4\) en la ecuación:
\(
s=9+3t-2t^2
\)
\(
s_{\max}=9+3\left(\frac{3}{4}\right)-2\left(\frac{3}{4}\right)^2
\)
\(
s_{\max}=10.12 \text{ kilómetros por hora}
\)
El segundo método, y el que requiere menos aritmética, es el método donde se usa la ecuación:
\(
f(t)_{\max}=\frac{-b^2}{4a}+c
\)
Aquí \(s\) es una función de \(t\), de modo que tenemos:
\(
s_{\max}=\frac{-9}{4(-2)}+9=\frac{9}{8}+9=10.12 \text{ km por hora}
\)
Para determinar el tiempo que ha tardado el camión en detenerse, hacemos \(s=0\) (velocidad igual a cero) y resolvemos la ecuación para \(t\). Tenemos:
\(
9+3t-2t^2=0
\)
Factoreando:
\(
(3+2t)(3-t)=0
\)
Entonces:
\(
3-t=0
\)
\(
t=+3
\)
Y:
\(
3+2t=0
\)
\(
2t=-3
\)
\(
t=\frac{-3}{2}
\)
Obtenemos dos respuestas, \(-\frac{3}{2}\) minutos y \(+3\) minutos. Evidentemente, la respuesta negativa no tiene sentido, de modo que descartamos la posibilidad de la misma y determinamos que el camión se detiene tres minutos después de alcanzar la rampa.
Para resumir este problema podemos construir un gráfico e indicar los hechos conocidos, conforme se muestra en la figura 4.
Figura 4. Problema práctico que se resuelve mediante ecuaciones cuadráticas.
Ejercicio 13 — Resolver las siguientes ecuaciones
- \(y^2-2y-2=0\)
- \(z^2+z-1=0\)
- \(2x^2-3x-5=0\)
- \(p^2-5=4p\)
- \(\frac{2}{y}-\frac{3}{y^2}=1\)
- \(\frac{2}{z-1}=2-\frac{1}{z+1}\)
- \(6y^2-2y+5=0\)
- \(\frac{1}{R}+\frac{1}{R^2}=\frac{1}{5}\)
- \(\frac{z-1}{z}=5-z\)
- \(\frac{z^2+1}{z}=\frac{1}{z}+\frac{5}{z}\)
(En algunos casos, una de las soluciones de una ecuación cuadrática es evidentemente imposible, tal como un área negativa o un volumen negativo. Descartar las respuestas imposibles.)
11.
Si
\(
f(x)=x^2-7x+3
\)
(a) ¿Cuál es el valor de \(x\) que hace \(f(x)\) mínimo?
(b) ¿Cuál es el valor mínimo de \(f(x)\)?
12.
Si
\(
f(z)=\frac{7}{z^2}+\frac{2}{z}+1
\)
(a) ¿Cuál es el valor de \(z\) que hace mínimo a \(f(z)\)?
(b) ¿Cuál es el valor de \(f(z)_{\min}\)?
Ayuda: Sea
\(
z=\frac{1}{x}
\)
13.
El cuadrado de algún número menos 9 es igual a 7. Determinar el número.
14.
El cuadrado de algún número menos cuatro veces ese número es igual a menos tres. Determinar el número (o los números).
15.
Determinar la velocidad alcanzada por 64 kg cuando se los arroja con una energía de 400 kilográmetros.
La fórmula para la energía cinética es:
\(
K=\frac{WV^2}{2g}
\)
donde:
- \(K\): kilográmetros
- \(V\): metros por segundo
- \(g=9.8\) m/s²
- \(W\): peso en kilogramos
16.
Una ley sobre la caída de los cuerpos se expresa por la ecuación:
\(
s=V_0 t+\frac{1}{2}gt^2
\)
donde:
- \(s\): distancia en metros
- \(V_0\): velocidad inicial en m/s
- \(g=9.8\) m/s²
- \(t\): tiempo en segundos
Determinar el tiempo que emplearía un hombre para llegar al agua cayendo desde un puente de 160 metros de altura. Su velocidad inicial es:
\(
V_0=0
\)
17.
Determinar el tiempo que emplearía un cuerpo para caer desde 160 metros si fuera arrojado hacia abajo con una velocidad inicial de 16 metros por segundo.
18.
Un niño lanza una piedra hacia lo alto mientras está parado al borde de un acantilado de 112 metros de altura.
Arroja la piedra hacia arriba a una velocidad inicial de 33 metros por segundo (observe que esto es hacia arriba y que \(V_0\) y \(s\) se hacen negativas en la ecuación).
La piedra cae luego en el lago de abajo. ¿Cuánto tiempo ha permanecido la piedra en el aire?
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