Número, Variable, Función

§ 1. Números reales. Representación en el eje numérico

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliándose y generalizándose con el tiempo.

Los números enteros y fraccionarios, tanto positivos como negativos, así como el número cero, se llaman números racionales. El número racional puede expresarse como la razón de dos números enteros p y q:

$$ \frac{p}{q} $$

Por ejemplo:

$$ \frac{5}{4} = 1{,}25 $$

En particular, el número entero p puede considerarse como:

$$ p = \frac{p}{1} $$

Ejemplos:

$$ 6 = \frac{6}{1} \quad ; \quad 0 = \frac{0}{1} $$

Los números racionales pueden representarse por fracciones periódicas finitas o indefinidas. Las fracciones decimales indefinidas no periódicas se denominan números irracionales, por ejemplo:

$$ \sqrt{2}, \quad \sqrt{3}, \quad 5 - \sqrt{2} $$

La unión de los números racionales e irracionales forma el conjunto de números reales. Estos se ordenan según su magnitud, de modo que para cualquier par de números reales x e y se cumple:

$$ x < y \quad ; \quad x = y \quad ; \quad x > y $$

Los números reales se representan mediante puntos en el eje numérico, que es una recta infinita con:

• Un punto origen (0)
• Una dirección positiva
• Una escala de medición

Si x es positivo, se ubica a la derecha del origen; si es negativo, a la izquierda.

Existe una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos del eje.

Teorema: Todo número irracional puede aproximarse con cualquier precisión mediante números racionales.

Si α > 0, puede expresarse con error menor que:

$$ \frac{1}{n} $$

Ejemplo:

• 1,4 y 1,5 → error < $$\frac{1}{10}$$
• 1,41 y 1,42 → error < $$\frac{1}{100}$$
• 1,414 y 1,415 → error < $$\frac{1}{1000}$$

§ 2. Valor absoluto del número real

El valor absoluto de un número real se define como:

$$ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

Ejemplos:

$$ |2| = 2 \quad ; \quad |-5| = 5 \quad ; \quad |0| = 0 $$

Se cumple siempre:

$$ x \leq |x| $$

Propiedades:

1. El valor absoluto de una suma:

   $$ |x + y| \leq |x| + |y| $$

2. El valor absoluto de una diferencia:

   $$ |x - y| \geq |x| - |y| $$

3. Producto:

   $$ |xyz| = |x||y||z| $$

4. Cociente:

   $$ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $$

§ 3. Magnitudes variables y constantes

Al medir magnitudes físicas (tiempo, longitud, área, volumen, masa, temperatura, etc.), obtenemos valores numéricos.

Algunas magnitudes cambian con el tiempo (variables) y otras permanecen constantes.

Magnitud variable: puede tomar distintos valores.

Magnitud constante: mantiene un valor fijo.

Las variables se representan generalmente con:

$$ x, y, z, u $$

Las constantes con:

$$ a, b, c $$

En matemáticas, una constante puede interpretarse como un caso particular de variable cuyo valor no cambia.

Continuación: Magnitudes variables y constantes

Conviene tener en cuenta que, en condiciones físicas concretas, una misma magnitud puede ser constante en un fenómeno y variable en otro. Por ejemplo, la velocidad en el movimiento uniforme es constante, mientras que en el movimiento uniformemente acelerado es variable.

Las magnitudes cuyo valor numérico permanece invariable se denominan constantes absolutas. Por ejemplo, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante:

$$ \pi \approx 3{,}14159 $$

El concepto de variable es fundamental en el cálculo diferencial e integral.

§ 4. Campo de variación de la magnitud variable

Una magnitud variable puede tomar diversos valores numéricos. Por ejemplo, la temperatura del agua al calentarse varía aproximadamente entre:

$$ 15^\circ C \quad \text{y} \quad 100^\circ C $$

La variable:

$$ x = \cos \alpha $$

puede tomar valores comprendidos entre:

$$ -1 \leq x \leq 1 $$

Definición: El conjunto de todos los valores que puede tomar una variable se denomina campo de variación.

Intervalos

Se denomina intervalo al conjunto de valores comprendidos entre dos números:

• Intervalo abierto: $$ (a, b) \quad \Rightarrow \quad a < x < b $$
• Intervalo cerrado: $$ [a, b] \quad \Rightarrow \quad a \leq x \leq b $$

Intervalos semiabiertos:

• $$ (a, b] \quad \Rightarrow \quad a < x \leq b $$
• $$ [a, b) \quad \Rightarrow \quad a \leq x < b $$

Intervalos infinitos:

• $$ (a, +\infty) $$
• $$ (-\infty, a) $$
• $$ (-\infty, +\infty) $$

Ejemplo:

$$ -1 \leq x \leq 1 $$

define el campo de variación de:

$$ x = \cos \alpha $$

Segmento y vecindad

El conjunto de puntos comprendidos entre dos valores se denomina segmento.

El intervalo:

$$ (a, b) $$

que contiene un punto $$ x_0 $$ se denomina vecindad de ese punto si:

$$ a < x_0 < b $$

El punto $$ x_0 $$ es el centro de la vecindad y:

$$ \varepsilon = \frac{b - a}{2} $$

es el radio de la vecindad:

$$ (x_0 - \varepsilon,\; x_0 + \varepsilon) $$

§ 5. Variable ordenada

Una variable se denomina ordenada cuando se puede establecer un orden entre sus valores.

Una sucesión:

$$ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $$

permite analizar la evolución de la variable.

Definición

Una variable es:

• Creciente: si cada valor es mayor que el anterior
• Decreciente: si cada valor es menor que el anterior

Estas variables se denominan monótonas.

Ejemplo: el área de un polígono regular aumenta al aumentar el número de lados.

Magnitud acotada

Una variable está acotada si existe un número $$ M > 0 $$ tal que:

$$ -M \leq x \leq M $$

o equivalentemente:

$$ |x| \leq M $$

Esto significa que todos sus valores están dentro del intervalo:

$$ [-M, M] $$

§ 6. Función

En muchos fenómenos, una magnitud depende de otra. Por ejemplo, el espacio recorrido depende del tiempo:

$$ s = f(t) $$

Otro ejemplo es el área del círculo:

$$ Q = \pi R^2 $$

donde el área depende del radio.

Definición

Si a cada valor de una variable $$ x $$ le corresponde un único valor de otra variable $$ y $$, entonces:

$$ y = f(x) $$

se denomina función.

La variable $$ x $$ se llama independiente y $$ y $$ dependiente.

Función constante

Si:

$$ y = C $$

entonces la función es constante.

Dominio de una función

El conjunto de valores de $$ x $$ para los cuales está definida la función se denomina:

dominio.

Ejemplo:

$$ y = \sin x $$

está definida para:

$$ -\infty < x < +\infty $$

Continuación: Función creciente y decreciente

Definición 3. La función $$ y = f(x) $$ se llama creciente si a un mayor valor de $$ x $$ corresponde un mayor valor de $$ y $$. Análogamente, se define la función decreciente.

Ejemplo:

$$ Q = \pi R^2 $$

es creciente cuando $$ 0 < R < +\infty $$.

Observación: En algunos casos, a un valor de $$ x $$ pueden corresponder varios valores de $$ y $$. En este caso se habla de función multiforme. En adelante se considerarán funciones uniformes.

§ 7. Formas de expresión de funciones

I. Forma tabular

Los valores del argumento y de la función se presentan en forma de tabla:

Ejemplo: temperatura en función del tiempo.

Esta tabla define $$ T $$ como función de $$ t $$.

II. Forma gráfica

En el plano cartesiano, el conjunto de puntos $$ (x, y) $$ determina la gráfica de la función:

$$ y = f(x) $$

Las abscisas representan la variable independiente y las ordenadas la variable dependiente.

III. Forma analítica

Una función está expresada analíticamente cuando se representa mediante una fórmula matemática:

Ejemplos:

$$ x^2 - 2 $$

$$ \frac{\log x - \sin x}{5x^2 + 1} $$

$$ 2^x - \sqrt{5 + 3x} $$

Otros ejemplos:

• $$ y = x^2 - 2 $$
• $$ y = \frac{x+1}{x-1} $$
• $$ y = \sqrt{1 - x^2} $$
• $$ y = \sin x $$
• $$ Q = \pi R^2 $$

Dominio de la función

El dominio es el conjunto de valores de $$ x $$ para los cuales la función está definida.

Ejemplos:

• $$ y = x^2 - 2 \Rightarrow -\infty < x < +\infty $$
• $$ y = \frac{x+1}{x-1} \Rightarrow x \neq 1 $$
• $$ y = \sqrt{1 - x^2} \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 $$

En algunos casos se utiliza solo una parte del dominio natural según el problema físico.

Representación gráfica

La función puede representarse gráficamente en el plano cartesiano. Por ejemplo:

$$ y = x^2 $$

es una parábola.

§ 8. Funciones elementales fundamentales

Las principales funciones elementales son:

I. Función potencial

$$ y = x^\alpha $$

donde $$ \alpha $$ es un número real.

II. Función exponencial

$$ y = a^x $$

donde $$ a > 0 $$ y $$ a \neq 1 $$.

III. Función logarítmica

$$ y = \log_a x $$

con $$ a > 0 $$ y $$ a \neq 1 $$.

IV. Funciones trigonométricas

$$ y = \sin x, \quad y = \cos x, \quad y = \tan x $$

$$ y = \cot x, \quad y = \sec x, \quad y = \csc x $$

V. Funciones trigonométricas inversas

$$ y = \arcsin x, \quad y = \arccos x, \quad y = \arctan x $$

$$ y = \text{arccot } x, \quad y = \text{arcsec } x, \quad y = \text{arccsc } x $$

Ejemplos de comportamiento

Para $$ y = x^n $$:

• Si $$ n > 0 $$ → definida en $$ (-\infty, +\infty) $$
• Si $$ n < 0 $$ → indefinida en $$ x = 0 $$

Para función exponencial:

$$ y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1) $$

Para función logarítmica:

$$ y = \log_a x \quad (x > 0) $$

Gráficas SVG de funciones elementales

Los siguientes gráficos representan algunas funciones matemáticas fundamentales.

Continuación: funciones elementales fundamentales

Esta función está definida para los valores de $$x>0$$. Su gráfica se muestra en la figura 15.

Funciones trigonométricas

En las fórmulas $$y=\sin x$$, etc., la variable independiente $$x$$ se expresa en radianes. Todas las funciones trigonométricas indicadas son periódicas.

Su definición general es como sigue:

Definición 1. La función $$y=f(x)$$ se denomina periódica, si existe un número constante $$C$$ tal que, al sumarlo (o restarlo) al argumento $$x$$, el valor de la función no se altere: $$f(x+C)=f(x)$$. El valor mínimo de este número constante se denomina período de la función; en lo sucesivo lo designaremos por $$2l$$.

Según la definición, la función $$y=\sin x$$ es periódica, cuyo período es igual a $$2\pi$$: $$\sin x=\sin(x+2\pi)$$. El período de $$\cos x$$ es también igual a $$2\pi$$. Del mismo modo, el período de las funciones $$y=\tg x$$ e $$y=\cotg x$$ es igual a $$\pi$$.

Las funciones $$y=\sin x$$ y $$y=\cos x$$ están definidas para todos los valores de $$x$$. Las funciones $$y=\tg x$$ y $$y=\sec x$$ están definidas en todos los puntos, excepto $$x=(2k+1)\frac{\pi}{2} \quad (k=0,1,2\ldots)$$. Las funciones $$y=\cotg x$$ e $$y=\cosec x$$ están definidas para todos los valores de $$x$$, excepto para $$x=k\pi \quad (k=0,1,2\ldots)$$.

Las gráficas de las funciones trigonométricas se muestran en las figuras 15 a 19. Más adelante examinaremos detalladamente las funciones trigonométricas inversas.

Función de función o función compuesta

Introduzcamos ahora el concepto de función de función. Si $$y$$ es una función de $$u$$ y $$u$$ depende, a su vez, de una variable $$x$$, entonces $$y$$ también depende de $$x$$.

Si $$y=F(u)$$ y $$u=\varphi(x)$$, la función $$y$$ de $$x$$ será:

$$y=F[\varphi(x)]$$.

Esta función se denomina función de función o función compuesta.

Ejemplo 1. Sea $$y=\sin u$$, $$u=x^2$$. La función $$y=\sin(x^2)$$ es una función compuesta de $$x$$.

Observación. El dominio de definición de la función $$y=F[\varphi(x)]$$ está constituido por todo el dominio de la función $$u=\varphi(x)$$, o bien por la parte de éste en que se definen los valores de $$u$$ que no salgan fuera del dominio de la función $$F(u)$$.

Ejemplo 2. El dominio de la función $$y=\sqrt{1-u^2}$$, $$u=\frac{1}{x}$$, es el segmento $$[-1,1]$$, ya que $$-1\leq u\leq 1$$. Por lo tanto, la función $$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$$ no está definida para los valores de $$u$$ (aunque la función $$u=\frac{1}{x}$$ está definida para todos los valores de $$x$$). La gráfica de esta función se representa como la mitad superior de la circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, siendo el radio de la misma igual a la unidad.

La operación «función de función» puede efectuarse no sólo una vez, sino cualquier número de veces. Por ejemplo, la función $$y=\ln[\sin(x^2+1)]$$ se obtiene efectuando las siguientes operaciones, es decir, determinando las siguientes funciones:

$$v=x^2+1,\quad u=\sin v,\quad y=\ln u$$.

Función elemental

Definamos ahora el concepto de función elemental.

Definición 2. La función que puede ser dada por la fórmula de la forma $$y=f(x)$$, donde el segundo miembro de la igualdad está compuesto de funciones elementales fundamentales y constantes, mediante un número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y función de función, se llama función elemental.

De esta definición se deduce que las funciones expresadas analíticamente son funciones elementales.

Ejemplos de funciones elementales:

$$y=\sqrt{1+4\sin^2 x}$$, $$y=\frac{\log x+4\sqrt[3]{x}+2\tg x}{10x-x+10}$$.

Ejemplo de función no elemental:

$$y=1\cdot2\cdot3\cdots n=[n!]$$ es una función no elemental, dado que el número de operaciones que deben efectuarse para calcular $$y$$ va aumentando a medida que crece $$n$$; es decir, el número de operaciones es infinito.

Observación. La función expuesta en la figura 20 es elemental aunque viene expresada por dos fórmulas:

$$f(x)=x,\ \text{si}\ 0\leq x<1;\qquad f(x)=2x-1,\ \text{si}\ 1\leq x<2.$$

Es posible demostrar que esta función puede expresarse con una sola fórmula $$y=f(x)$$, incluida entre las indicadas en la definición 2.

§ 9. Funciones algebraicas

Son funciones algebraicas las funciones elementales siguientes:

1. Función racional entera o polinomio

$$y=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$$,

donde $$a_0,a_1,\ldots,a_n$$ son números constantes que llamamos coeficientes; $$n$$ es un entero no negativo, llamado grado del polinomio. Evidentemente, la función indicada está definida para todos los valores de $$x$$, es decir, en un intervalo infinito.

Ejemplos:

1) $$y=ax+b$$ es una función lineal. Si $$b=0$$, la función lineal $$y=ax$$ expresa la dependencia proporcional de $$y$$ respecto a $$x$$. Si $$a=0$$, $$y=b$$, la función es constante.

2) $$y=ax^2+bx+c$$ es una función cuadrática.

Figuras y gráficos SVG embebidos

Continuación: funciones algebraicas

La gráfica de la función cuadrática es una parábola (fig. 21). Estas funciones han sido estudiadas detalladamente en el curso de geometría analítica.

II. Función racional fraccionaria

Esta función se expresa como la razón de dos polinomios:

$$ y=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m} $$

Como ejemplo de una función racional fraccionaria puede servir la función

$$ y=\frac{a}{x} $$

que expresa una dependencia inversamente proporcional. Su gráfica se muestra en la figura 22. Es evidente que la función racional fraccionaria está definida para todos los valores de x, excepto para aquellos que reducen el denominador a cero.

III. Función irracional

Si en el segundo miembro de la igualdad $$y=f(x)$$ se efectúan operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia, siendo los exponentes números racionales no enteros, la función de y en dependencia de x se llama irracional.

Son irracionales las funciones siguientes:

$$ y=\frac{2x^2+\sqrt{x}}{\sqrt{1+5x^2}}, \qquad y=\sqrt{x}, \qquad \text{etc.} $$

Observación 1. No todas las funciones algebraicas están comprendidas en tres tipos de funciones mencionadas. Se denomina función algebraica cualquier función $$y=f(x)$$ que satisfaga una ecuación de la forma

$$ P_0(x)y^n+P_1(x)y^{n-1}+\cdots+P_n(x)=0 \tag{1} $$

donde $$P_0(x),\,P_1(x),\,\ldots,\,P_n(x)$$ son ciertos polinomios de x.

Se puede demostrar que cada una de las funciones que pertenecen a los tres tipos mencionados satisface cierta ecuación de la forma (1); pero no toda función que satisface esta ecuación pertenece a alguno de los tres tipos denominados.

Observación 2. La función que no es algebraica se llama trascendente. Son funciones trascendentes:

$$ y=\cos x,\qquad y=10^x,\qquad \text{etc.} $$

§ 10. Sistema de coordenadas polares

La posición de un punto en el plano se puede determinar por medio del sistema de coordenadas polares.

Elegimos en el plano un punto O, que llamaremos polo, y una recta o eje polar, que tiene su origen en el punto O. La posición de un punto M en el plano se determina por dos números: $$\rho$$ y $$\varphi$$. El primero indica la distancia del punto M al polo y el segundo, el valor del ángulo formado por el segmento $$OM$$ con el eje polar.

Para calcular el ángulo $$\varphi$$ se considera positiva la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Los números $$\rho$$ y $$\varphi$$ se denominan coordenadas polares del punto M.

El radio vector $$\rho$$ se considera siempre no negativo. Si el ángulo polar $$\varphi$$ varía en los límites $$0\leq\varphi<2\pi,$$ a cada punto del plano, a excepción del polo, le corresponde un par determinado de números $$\rho$$ y $$\varphi$$. En el polo, $$\rho=0$$ y $$\varphi$$ puede tener cualquier valor.

Determinemos la relación que existe entre las coordenadas polares y las rectangulares o cartesianas. Supongamos que el origen de coordenadas rectangulares coincide con el polo, y la dirección positiva del eje $$Ox$$ con el eje polar.

En la figura 24 se ve:

$$ x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi $$

e inversamente

$$ \rho=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \tg\varphi=\frac{y}{x} $$

Observación. Determinando $$\varphi$$ hay que tener en cuenta el cuadrante en que se halla el punto y tomar el valor correspondiente de $$\varphi$$.

En el sistema de coordenadas polares la ecuación $$\rho=F(\varphi)$$ determina una línea.

Ejemplo 1

En coordenadas polares la ecuación $$\rho=a,$$ donde $$a=\text{const.},$$ determina una circunferencia de radio $$a$$ y centro en el polo.

La ecuación de la misma circunferencia en el sistema de coordenadas rectangulares será:

$$ \sqrt{x^2+y^2}=a \qquad \text{o} \qquad x^2+y^2=a^2 $$

Ejemplo 2

$$ \rho=a\varphi,\qquad \text{donde } a=\text{const.} $$

Veamos la tabla de valores de $$\rho$$ para algunos valores de $$\varphi$$:

La curva correspondiente se muestra en la figura 26 y se llama espiral de Arquímedes.

Ejemplo 3

$$ \rho=2a\cos\varphi $$

Esta es la ecuación de una circunferencia de radio $$a$$ y centro en el punto $$P_0=a,\ \varphi=0$$ (fig. 27).

Escribamos la ecuación de esta circunferencia en coordenadas rectangulares. Poniendo en esta ecuación $$\rho=\sqrt{x^2+y^2},\quad \cos\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$ obtenemos:

$$ \sqrt{x^2+y^2}=2a\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

o sea,

$$ x^2+y^2=2ax $$

Ejercicios para el capítulo I

1. Dada la función $$f(x)=x^2+6x-4.$$ Comprobar que $$f(1)=3,\qquad f(3)=23.$$
2. $$f(x)=x^2+1.$$ Calcular los valores:
   a) \(f(5)\). Respuesta: $$26.$$
   b) \(f\!\left(\sqrt{2}\right)\). Respuesta: $$3.$$
   c) \(f(a+1)\). Respuesta: $$a^2+2a+2.$$
   d) \(f(a^2+1)\). Respuesta: $$a^4+2a^2+2.$$
3. $$\varphi(x)=\frac{x-1}{3x+5},\qquad \psi(x)=\frac{2x+5}{x-2}.$$ Escribir las expresiones: $$\varphi\!\left(\frac{1}{x}\right)\quad \text{y}\quad \frac{1}{\varphi(x)}.$$
4. $$\varphi(x)=\sqrt{2x^2+2},\qquad \psi(x)=\frac{4}{x+1}.$$ Escribamos las expresiones $$\psi(2x)\quad \text{y}\quad \psi(0).$$
5. $$f(\theta)=\tg\theta.$$ Comprobar la igualdad $$f(2\theta)=\frac{2f(\theta)}{1-[f(\theta)]^2}.$$
6. $$\varphi(x)=\log\frac{1-x}{1+x}.$$ Comprobar la igualdad $$\varphi(x)+\varphi(y)=\varphi\!\left(\frac{x+y}{1+xy}\right).$$
7. Si $$f(x)=\log_a x,\qquad \varphi(x)=x^\mu,$$ escribir las expresiones:
   a) \(f[\varphi(x)]\).
   b) \(\varphi[f(x)]\).
8. Hallar el dominio natural de definición de la función $$y=2x^2+1.$$ Respuesta: $$-\infty<x<+\infty.$$
9. Hallar los dominios naturales de definición de las funciones:
   a) $$\sqrt{1-x^2}.$$ Respuesta: $$-1\leq x\leq 1.$$
   b) $$\sqrt{3+x}+\sqrt{7-x}.$$ Respuesta: $$-3\leq x\leq 7.$$
   c) $$\sqrt[3]{x+4}-\sqrt[3]{x-6}.$$ Respuesta: $$-\infty<x<+\infty.$$
   d) $$\frac{a+x}{a-x}.$$ Respuesta: $$x\neq a.$$
   e) $$\arcsin 2x.$$ Respuesta: $$-\frac12\leq x\leq \frac12.$$
   f) $$y=\log x.$$ Respuesta: $$x>0.$$
   g) $$y=a^x,\quad (a>0).$$ Respuesta: $$-\infty<x<+\infty.$$
10. Construir las gráficas de las funciones (Ver gráficos resueltos ):
    10) \(y=-3x+5\)    11) \(y=\dfrac12 x^2+1\)    12) \(y=3-2x^2\)    13) \(y=x^2+2x-1\)
    14) \(y=\dfrac{1}{x-1}\)    15) \(y=\sin 2x\)    16) \(y=\cos 3x\)    17) \(y=ax^2-4x+6\)
    18) \(y=\dfrac{1}{1+x^2}\)    19) \(y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)    20) \(y=\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
    21) \(y=\tg \dfrac12 x\)    22) \(y=\cotg \dfrac14 x\)    23) \(y=3^x\)    24) \(y=2^{-x}\)
    25) \(y=\log_2 \dfrac1x\)    26) \(y=x^3+1\)    27) \(y=4-x^3\)
    28) \(y=\dfrac{1}{x^2}\)    29) \(y=x^4\)    30) \(y=x^5\)    31) \(y=x^{1/2}\)
    32) \(y=x^{-1/2}\)    33) \(y=x^{1/3}\)    34) \(y=|x|\)    35) \(y=\log_2 |x|\)
    36) \(y=\log_3(1-x)\)    37) \(y=3\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)    38) \(y=4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)
11. La función \(f(x)\) está definida en el segmento \((-1,1)\) del modo siguiente:
    $$f(x)=1+x \qquad \text{para } -1\leq x<0;$$ $$f(x)=1-2x \qquad \text{para } 0\leq x<1.$$
12. La función \(f(x)\) está definida en el segmento \([0,2]\) del modo siguiente:
    $$f(x)=x^3 \qquad \text{para } 0\leq x<1;$$ $$f(x)=x \qquad \text{para } 1\leq x\leq 2.$$
13. Construir las curvas dadas por ecuaciones polares:
    41) $$\rho=\frac{a}{\varphi}$$ (espiral hiperbólica)
    42) $$\rho=a^\varphi$$ (espiral logarítmica)
    43) $$\rho=\frac{a}{\sqrt{\cos 2\varphi}}$$ (lemniscata)
    44) $$\rho=a(1-\cos\varphi)$$ (cardioide)
    45) $$\rho=a\sin 3\varphi.$$

Términos relacionados :

• 1. Número real (Real number)
• 2. Número racional (Rational number)
• 3. Número irracional (Irrational number)
• 4. Eje numérico (Number line)
• 5. Valor absoluto (Absolute value)
• 6. Magnitud variable (Variable quantity)
• 7. Magnitud constante (Constant quantity)
• 8. Campo de variación (Range of variation)
• 9. Intervalo (Interval)
• 10. Intervalo abierto (Open interval)
• 11. Intervalo cerrado (Closed interval)
• 12. Intervalo semiabierto (Half-open interval)
• 13. Segmento (Segment)
• 14. Vecindad (Neighborhood)
• 15. Variable creciente (Increasing variable)
• 16. Variable decreciente (Decreasing variable)
• 17. Magnitud acotada (Bounded quantity)
• 18. Función (Function)
• 19. Variable independiente (Independent variable)
• 20. Variable dependiente (Dependent variable)
• 21. Dominio de la función (Domain of a function)
• 22. Función compuesta (Composite function)
• 23. Función elemental (Elementary function)
• 24. Función algebraica (Algebraic function)
• 25. Función racional (Rational function)
• 26. Función irracional (Irrational function)
• 27. Función trascendente (Transcendental function)
• 28. Coordenadas polares (Polar coordinates)
• 29. Radio vector (Radius vector)
• 30. Ángulo polar (Polar angle)

This material covers fundamental concepts in mathematics related to numbers, variables, and functions. It begins with the classification of real numbers, including rational and irrational numbers, and their representation on the number line. The concept of absolute value is introduced, along with its main properties and applications. The text then explores variable and constant quantities, emphasizing how physical and mathematical magnitudes can change or remain fixed. This leads to the definition of intervals, ranges, and neighborhoods, which are essential for understanding how variables behave within certain limits. A major portion is dedicated to functions, including their definition, notation, and types. The distinction between independent and dependent variables is explained, along with the concept of domain. Different forms of expressing functions are presented: tabular, graphical, and analytical. The material also introduces composite functions and elementary functions. Further sections describe algebraic functions, including polynomial, rational, and irrational functions, as well as transcendental functions such as exponential, logarithmic, and trigonometric functions. Their properties, domains, and graphical behavior are discussed. Finally, the text introduces polar coordinates as an alternative system for representing points in the plane, including the relationship between polar and Cartesian coordinates and examples of curves such as circles and spirals.