Sistemas de Ecuaciones
1. Resolver los siguientes sistemas por el método de Gauss-Jordan y por el método de Gauss.
a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + 2x_3 &= 8 \\
-x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= 1 \\
3x_1 - 7x_2 + 4x_3 &= 10
\end{aligned}
\right.
\]
b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= 0 \\
-2x_1 + 5x_2 + 2x_3 &= 1 \\
8x_1 + x_2 + 4x_3 &= -1
\end{aligned}
\right.
\]
c)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x - y + 2z - w &= -1 \\
x + y - 2z - 2w &= -2 \\
-x + 2y - 4z + w &= 1 \\
3x - 3w &= -3
\end{aligned}
\right.
\]
d)
\[
\left\{
\begin{aligned}
-2b + 3c &= 1 \\
3a + 6b - 3c &= -2 \\
6a + 6b + 3c &= 5
\end{aligned}
\right.
\]
e)
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x_1 - 3x_2 &= -2 \\
2x_1 + x_2 &= 1 \\
3x_1 + 2x_2 &= 1
\end{aligned}
\right.
\]
f)
\[
\left\{
\begin{aligned}
4x_1 - 8x_2 &= 12 \\
3x_1 - 6x_2 &= 9 \\
-2x_1 + 4x_2 &= -6
\end{aligned}
\right.
\]
g)
\[
\left\{
\begin{aligned}
5x_1 - 2x_2 + 6x_3 &= 0 \\
-2x_1 + x_2 + 3x_3 &= 1
\end{aligned}
\right.
\]
h)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= 0 \\
-2x_1 + 4x_2 - 6x_3 &= 1
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: En todos los apartados aplicaremos primeramente el método de Gauss y a continuación el método de Gauss-Jordan.
(a)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
-1 & -2 & 3 & 1 \\
3 & -7 & 4 & 10
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
0 & -1 & 5 & 9 \\
0 & -10 & -2 & -14
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
0 & 1 & -5 & -9 \\
0 & -10 & -2 & -14
\end{array}
\right)
\]
\[
\overset{F_{32}(10)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
0 & 1 & -5 & -9 \\
0 & 0 & -52 & -104
\end{array}
\right)
\overset{F_3\left(-\frac{1}{52}\right)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
0 & 1 & -5 & -9 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\]
Por consiguiente, el sistema inicial es equivalente al sistema triangular superior
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 + 2x_3 &= 8 \\
x_2 - 5x_3 &= -9 \\
x_3 &= 2
\end{aligned}
\right.
\]
Así, el sistema dado es compatible determinado (C.D.) y usando el método de subida su única solución es
\[
x_1 = 3,\; x_2 = 1,\; x_3 = 2.
\]
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 8 \\
0 & 1 & -5 & -9 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\overset{F_{23}(5)}{\longrightarrow}
\overset{F_{13}(-2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\]
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Página 4
Luego, el sistema inicial es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= 3\\
x_2 &= 1\\
x_3 &= 2
\end{aligned}
\right.
\]
y su solución ya está dada.
(b)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & 2 & 2 & 0\\
-2 & 5 & 2 & 1\\
8 & 1 & 4 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_2(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
-2 & 5 & 2 & 1\\
8 & 1 & 4 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(2)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-8)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 7 & 4 & 1\\
0 & -7 & -4 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_2(1/7)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 4/7 & 1/7\\
0 & -7 & -4 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_{23}(7)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 4/7 & 1/7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado (C.I.), ya que la matriz escalonada posee dos unos principales y aparece, por tanto, \(x_3\) como variable libre. El sistema inicial es equivalente al sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3&=0\\
x_2+\frac{4x_3}{7}&=\frac{1}{7}
\end{aligned}
\right.
\]
y el conjunto de sus soluciones puede escribirse en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=-\frac{1}{7}-\frac{3t}{7}\\
x_2&=\frac{1}{7}-\frac{4t}{7}\\
x_3&=t
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } t\in\mathbb{R}.
\]
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 4/7 & 1/7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -3/7 & -1/7\\
0 & 1 & 4/7 & 1/7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
Por tanto, el sistema inicial equivale a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1-\frac{3x_3}{7}&=-\frac{1}{7}\\
x_2+\frac{4x_3}{7}&=\frac{1}{7}
\end{aligned}
\right.
\]
y el conjunto de soluciones también puede expresarse en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=-\frac{1}{7}-3s\\
x_2&=\frac{1}{7}-4s\\
x_3&=7s
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } s\in\mathbb{R}.
\]
(c)
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 2 & -1 & -1\\
2 & 1 & -2 & -2 & -2\\
-1 & 2 & -4 & 1 & 1\\
3 & 0 & 0 & -3 & -3
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-2)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{41}(-3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 2 & -1 & -1\\
0 & 3 & -6 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 3 & -6 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 2 & -1 & -1\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 3 & -6 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{42}(-3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 2 & -1 & -1\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
En consecuencia, el sistema inicial es equivalente al sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
x-y+2z-w&=-1\\
y-2z&=0
\end{aligned}
\right.
\]
Aparecen dos unos principales en la matriz escalonada y el sistema tiene a las incógnitas \(z\) y \(w\) como variables libres. El sistema es, por tanto, C.I. y sus infinitas soluciones pueden escribirse en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
x&=-1+\lambda-\mu\\
y&=2\lambda\\
z&=\lambda\\
w&=\mu
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
\]
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada
Página 5
(forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 2 & -1 & -1\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 & -1\\
0 & 1 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
Por tanto, el sistema inicial es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x-w&=-1\\
y-2z&=0
\end{aligned}
\right.
\]
y es sencillo escribir \(x\) e \(y\) en función de las variables libres \(z\) y \(w\).
(d)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0 & -2 & 3 & 1\\
3 & 6 & -3 & -2\\
6 & 6 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\overset{P_{12}}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
3 & 6 & -3 & -2\\
0 & -2 & 3 & 1\\
6 & 6 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & -2/3\\
0 & -2 & 3 & 1\\
6 & 6 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\overset{F_{31}(-6)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 1/3\\
0 & -2 & 3 & 1\\
0 & -6 & 9 & 3
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 1/3\\
0 & 1 & -3/2 & -1/2\\
0 & -6 & 9 & 3
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(6)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 1/3\\
0 & 1 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
Por consiguiente, el sistema es equivalente al sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
a+2b-c&=\frac{4}{3}\\
b-\frac{3c}{2}&=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
y es C.I. Las infinitas soluciones pueden escribirse en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=\frac{4}{3}-2\lambda\\
b&=-\frac{1}{2}+\frac{3\lambda}{2}\\
c&=\lambda
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } \lambda\in\mathbb{R}.
\]
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 1/3\\
0 & 1 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 2 & 4/3\\
0 & 1 & -3/2 & -1/2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
El sistema dado es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
a+2c&=\frac{4}{3}\\
b-\frac{3c}{2}&=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
la variable \(c\) es libre y las infinitas soluciones se pueden expresar en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
a&=\frac{4}{3}-2\lambda\\
b&=-\frac{1}{2}+\frac{3\lambda}{2}\\
c&=\lambda
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } \lambda\in\mathbb{R}.
\]
(e)
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
2 & -3 & -2\\
2 & 1 & 1\\
3 & 2 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -3/2 & -1\\
2 & 1 & 1\\
3 & 2 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-2)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -3/2 & -1\\
0 & 4 & 3\\
0 & 13/2 & 4
\end{array}
\right)
\overset{F_2(1/4)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -3/2 & -1\\
0 & 1 & 3/4\\
0 & 13/2 & 4
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-13/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -3/2 & -1\\
0 & 1 & 3/4\\
0 & 0 & -7/8
\end{array}
\right)
\]
El sistema es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1-\frac{3x_2}{2}&=-1\\
x_2&=\frac{3}{4}\\
0&=-\frac{7}{8}
\end{aligned}
\right.
\]
y por tanto, incompatible.
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -3/2 & -1\\
0 & 1 & 3/4\\
0 & 0 & -7/8
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(3/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & -17/8\\
0 & 1 & 3/4\\
0 & 0 & -7/8
\end{array}
\right)
\]
Página 6
El sistema es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=-\frac{17}{8}\\
x_2&=\frac{3}{4}\\
0&=-\frac{7}{8}
\end{aligned}
\right.
\]
y de nuevo vemos que es incompatible.
(f)
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
4 & -8 & 12\\
3 & -6 & 9\\
-2 & 4 & -6
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/4)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -2 & 3\\
3 & -6 & 9\\
-2 & 4 & -6
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-3)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
El sistema inicial es C.I. y equivalente al sistema con una ecuación y dos incógnitas
\[
x_1-2x_2=3.
\]
Por tanto, las infinitas soluciones pueden escribirse en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=3+2t\\
x_2&=t
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } t\in\mathbb{R}.
\]
En este caso, la matriz escalonada anterior es también escalonada reducida por lo que los métodos de Gauss y Gauss-Jordan “coinciden”.
(g)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
5 & -2 & 6 & 0\\
-2 & 1 & 3 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/5)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2/5 & 6/5 & 0\\
-2 & 1 & 3 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2/5 & 6/5 & 0\\
0 & 1/5 & 3/5 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_2(5)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2/5 & 6/5 & 0\\
0 & 1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\]
El sistema inicial es C.I. y equivalente al sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1-\frac{2x_2}{5}+\frac{6x_3}{5}&=0\\
x_2+3x_3&=5
\end{aligned}
\right.
\]
Así, el conjunto de soluciones adquiere la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=2-\frac{12}{5}t\\
x_2&=5-3t\\
x_3&=t
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } t\in\mathbb{R}.
\]
Seguimos realizando las transformaciones elementales (t.e.) en la última matriz ampliada (forma escalonada).
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2/5 & 6/5 & 0\\
0 & 1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(2/5)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 12/5 & 2\\
0 & 1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
\]
Observamos que el sistema inicial es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+\frac{12x_3}{5}&=2\\
x_2+3x_3&=5
\end{aligned}
\right.
\]
(h)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & 0\\
-2 & 4 & -6 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
El sistema es incompatible y la forma escalonada anterior es escalonada reducida.
2. Sin usar lápiz y papel, determinar cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales.
a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x_1-3x_2+4x_3-x_4&=0\\
7x_1+x_2-8x_3+x_4&=0\\
2x_1+8x_2+x_3-x_4&=0
\end{aligned}
\right.
\]
b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+3x_2-x_3&=0\\
x_2-8x_3&=0\\
4x_3&=0
\end{aligned}
\right.
\]
c)
\[
\left\{
\begin{aligned}
3x-2y&=0\\
6x-4y&=0
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: (a) En este caso, el sistema es C.I. pues se trata de un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones. Es decir, el sistema posee soluciones no triviales.
(b) El sistema es C.D., ya que es claro que el método de subida nos proporcionaría como única solución del sistema, la solución trivial.
(c) La segunda ecuación es proporcional a la primera y el sistema es, por tanto, C.I., es decir, tiene soluciones no triviales.
Página 7
3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos, por cualquier método
a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x-y-3z&=0\\
-x+2y-3z&=0\\
x+y+4z&=0
\end{aligned}
\right.
\]
b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
v+3w-2x&=0\\
2u+v-4w+3x&=0\\
2u+3v+2w-x&=0\\
-4u-3v+5w-4x&=0
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: En ambos casos utilizaremos el método de Gauss.
(a)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & -3 & 0\\
-1 & 2 & -3 & 0\\
1 & 1 & 4 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1/2 & -3/2 & 0\\
-1 & 2 & -3 & 0\\
1 & 1 & 4 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-1)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1/2 & -3/2 & 0\\
0 & 3/2 & -9/2 & 0\\
0 & 3/2 & 11/2 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_2(2/3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1/2 & -3/2 & 0\\
0 & 1 & -3 & 0\\
0 & 3/2 & 11/2 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-3/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1/2 & -3/2 & 0\\
0 & 1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 10 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_3(1/10)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1/2 & -3/2 & 0\\
0 & 1 & -3 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
\]
Puesto que la matriz escalonada posee tres unos principales, el mismo número que incógnitas, el sistema es C.D. y la única solución del mismo es la trivial \((x=y=z=0)\).
(b)
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
0 & 1 & 3 & -2 & 0\\
2 & 1 & -4 & 3 & 0\\
2 & 3 & 2 & -1 & 0\\
-4 & -3 & 5 & -4 & 0
\end{array}
\right)
\overset{P_{21}}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & -4 & 3 & 0\\
0 & 1 & 3 & -2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -1 & 0\\
-4 & -3 & 5 & -4 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/2 & -2 & 3/2 & 0\\
0 & 1 & 3 & -2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -1 & 0\\
-4 & -3 & 5 & -4 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{31}(-2)}{\longrightarrow}
\overset{F_{41}(4)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/2 & -2 & 3/2 & 0\\
0 & 1 & 3 & -2 & 0\\
0 & 2 & 6 & -4 & 0\\
0 & -1 & -3 & 2 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-2)}{\longrightarrow}
\overset{F_{41}(1)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1/2 & -2 & 3/2 & 0\\
0 & 1 & 3 & -2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
El sistema inicial es equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
u-\frac{v}{2}-2w+\frac{3x}{2}&=0\\
v+3w-2x&=0
\end{aligned}
\right.
\]
es C.I. y tomamos \(w\) y \(x\) como variables libres. Así, el conjunto de soluciones puede escribirse, después de aplicar el método de subida, en la forma
\[
\left\{
\begin{aligned}
u&=\frac{v}{2}-2w+\frac{3x}{2}\\
v&=-3t+2s\\
w&=t\\
x&=s
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{con } t,s\in\mathbb{R}.
\]
4. Resolver los siguientes sistemas, donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes.
a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x+y&=a\\
3x+6y&=b
\end{aligned}
\right.
\]
b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3&=a\\
2x_1+2x_3&=b\\
3x_2+3x_3&=c
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: Aplicaremos en ambos casos el método de Gauss.
(a)
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
2 & 1 & a\\
3 & 6 & b
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1/2 & a/2\\
3 & 6 & b
\end{array}
\right)
\overset{F_{31}(-3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1/2 & a/2\\
0 & 9/2 & b-\frac{3a}{2}
\end{array}
\right)
\overset{F_2(2/9)}{\longrightarrow}
\]
Página 8
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & 1/2 & a/2\\
0 & 1 & \frac{2}{9}b-\frac{1}{3}a
\end{array}
\right)
\]
El sistema inicial es C.D. y equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+\frac{1}{2}y&=\frac{1}{2}a\\
y&=\frac{2}{9}b-\frac{1}{3}a
\end{aligned}
\right.
\]
y aplicando el método de subida la única solución es
\[
y=\frac{2}{9}b-\frac{1}{3}a,
\qquad
x=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}y
=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{9}b-\frac{1}{3}a\right)
=\frac{2}{3}a-\frac{1}{9}b.
\]
(b)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a\\
2 & 0 & 2 & b\\
0 & 3 & 3 & c
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & -2 & 0 & b-2a\\
0 & 3 & 3 & c
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & 0 & a-\frac{1}{2}b\\
0 & 3 & 3 & c
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-3)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & 0 & a-\frac{1}{2}b\\
0 & 0 & 3 & c-3a+\frac{3}{2}b
\end{array}
\right)
\overset{F_3(1/3)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & a\\
0 & 1 & 0 & a-\frac{1}{2}b\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}c-a+\frac{1}{2}b
\end{array}
\right)
\]
El sistema inicial es C.D., equivalente a
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3&=a\\
x_2&=a-\frac{1}{2}b\\
x_3&=\frac{1}{3}c-a+\frac{1}{2}b
\end{aligned}
\right.
\]
y aplicando el método de subida la única solución es
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1&=a-\frac{1}{3}c\\
x_2&=a-\frac{1}{2}b\\
x_3&=\frac{1}{3}c-a+\frac{1}{2}b
\end{aligned}
\right.
\]
5. ¿Para qué valores de \(a\) el sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+2y-3z&=4\\
3x-y+5z&=2\\
4x+y+(a^2-14)z&=a+2
\end{aligned}
\right.
\]
no tiene solución, tiene exactamente una solución o infinitas soluciones?
Solución: Realizaremos t.e. en la matriz ampliada.
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
3 & -1 & 5 & 2\\
4 & 1 & a^2-14 & a+2
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-3)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-4)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & -7 & 14 & -10\\
0 & -7 & a^2-2 & a-14
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-1/7)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & -7 & a^2-2 & a-14
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(7)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & a^2-16 & a-4
\end{array}
\right)
\]
Por tanto, si \(a^2-16\neq 0\) (o equivalentemente, \(a\neq 4\) y \(a\neq -4\)) podemos continuar realizando t.e.
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & a^2-16 & a-4
\end{array}
\right)
\overset{F_3\left(\frac{1}{a^2-16}\right)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & 1 & \frac{a-4}{a^2-16}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{a+4}
\end{array}
\right)
\]
Así, el sistema es C.D. (posee una única solución).
Si \(a=4\), el primer bloque de t.e. sigue siendo válido y llegamos a la matriz ampliada
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
En consecuencia, el sistema es C.I. (posee infinitas soluciones).
Si \(a=-4\), la última matriz ampliada del primer bloque de t.e. es
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & -2 & 10/7\\
0 & 0 & 0 & -8
\end{array}
\right)
\]
y el sistema es incompatible (no posee solución).
Página 9
6. ¿Para qué valores de \(a\) el sistema
\[
\left\{
\begin{aligned}
(a-3)x+y&=0\\
x+(a-3)y&=0
\end{aligned}
\right.
\]
tiene soluciones no triviales?
Solución: Realizaremos t.e. en la matriz ampliada.
– Comenzamos suponiendo que \(a-3\neq 0\) (es decir, \(a\neq 3\)).
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
a-3 & 1 & 0\\
1 & a-3 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_1\left(\frac{1}{a-3}\right)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
1 & a-3 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
0 & a-3-\frac{1}{a-3} & 0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
0 & \frac{(a-3)^2-1}{a-3} & 0
\end{array}
\right).
\]
Ahora consideramos, además, que \((a-3)^2-1\neq 0\) (esto es, \(a\neq 2\) y \(a\neq 4\)). Entonces, podemos continuar con las t.e.
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
0 & \frac{(a-3)^2-1}{a-3} & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_2\left(\frac{a-3}{(a-3)^2-1}\right)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
\]
y deducir que el sistema es C.D.; es decir, sólo posee la solución trivial \(x=0\), \(y=0\).
Seguidamente, tomamos \(a=2\) o \(a=4\). Entonces, después del primer bloque de t.e. conseguimos la matriz ampliada
\[
\left(
\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{1}{a-3} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
y el sistema es C.I.; es decir, posee soluciones no triviales.
– Suponemos que \(a=3\), entonces el sistema inicial es
\[
\left\{
\begin{aligned}
y&=0\\
x&=0
\end{aligned}
\right.
\]
y, naturalmente, su única solución es la trivial.
Resumiendo, el sistema posee soluciones no triviales si y sólo si \(a=2\) o \(a=4\).
7. Demostrar que si \(ad-bc\neq 0\) entonces la forma escalonada reducida de la matriz
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\]
es
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right).
\]
Solución: Realizaremos transformaciones elementales (t.e.) en la matriz
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right).
\]
En primer lugar, suponemos que \(a\neq 0\). De esta forma, podemos hacer las siguientes t.e.
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/a)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}\\
c & d
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-c)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}\\
0 & d-\frac{bc}{a}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}\\
0 & \frac{ad-bc}{a}
\end{array}
\right).
\]
Ahora, si \(ad-bc\neq 0\) podemos continuar realizando t.e.
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}\\
0 & \frac{ad-bc}{a}
\end{array}
\right)
\overset{F_2\left(\frac{a}{ad-bc}\right)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \frac{b}{a}\\
0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-b/a)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right).
\]
Por consiguiente, si \(a\neq 0\) y \(ad-bc\neq 0\) la forma escalonada reducida de
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\]
es la identidad.
A continuación suponemos que \(a=0\). Entonces, la primera t.e. es:
\[
\left(
\begin{array}{cc}
0 & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\overset{P_{12}}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
c & d\\
0 & b
\end{array}
\right).
\]
Si además \(c\neq 0\) podemos continuar realizando t.e.:
\[
\left(
\begin{array}{cc}
c & d\\
0 & b
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/c)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & d/c\\
0 & b
\end{array}
\right).
\]
Página 10
Si además \(b\neq 0\) podemos continuar realizando t.e.:
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 & d/c\\
0 & b
\end{array}
\right)
\overset{F_2(1/b)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & d/c\\
0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-d/c)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right).
\]
Por tanto, si \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) y \(c\neq 0\) (o equivalentemente, \(a\neq 0\) y \(bc\neq 0\)), entonces la forma escalonada reducida de
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\]
es la identidad.
Nótese que para \(a=0\), la desigualdad \(ad-bc\neq 0\) se convierte en \(bc\neq 0\), por que la forma escalonada reducida de
\[
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}
\right)
\]
es la matriz identidad siempre que \(ad-bc\neq 0\).
8. Considerar las matrices
\[
A=
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 0\\
-1 & 2\\
1 & 1
\end{array}
\right),
\quad
B=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & -1\\
0 & 2
\end{array}
\right),
\quad
C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 2\\
3 & 1 & 5
\end{array}
\right),
\quad
D=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 2\\
-1 & 0 & 1\\
3 & 2 & 4
\end{array}
\right),
\]
\[
E=
\left(
\begin{array}{ccc}
6 & 1 & 3\\
-1 & 1 & 2\\
4 & 1 & 3
\end{array}
\right).
\]
Calcular, cuando sea posible:
a) \(D-E\),
b) \(2E^T-3D^T\),
c) \(A(BC)\),
d) \((DA)^T\),
e) \((C^TB)\,A^T\),
f) \((-AC)^T+5D^T\)
Solución: (a)
\[
D-E=
\left(
\begin{array}{ccc}
-5 & 4 & -1\\
0 & -1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{array}
\right).
\]
(b)
\[
2E^T-3D^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
9 & 1 & -1\\
-13 & 2 & -4\\
0 & 1 & -6
\end{array}
\right).
\]
(c)
\[
A(BC)=
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 45 & 9\\
-11 & -11 & 17\\
7 & 17 & 13
\end{array}
\right).
\]
(d)
\[
(DA)^T=
\left(
\begin{array}{cc}
0 & -2 & 11\\
12 & 1 & 8
\end{array}
\right).
\]
(e)
\[
(C^TB)\,A^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
12 & 6 & 9\\
48 & -20 & 14\\
24 & 8 & 16
\end{array}
\right).
\]
(f)
\[
(-AC)^T+5D^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -10 & 11\\
13 & 2 & 5\\
4 & -3 & 13
\end{array}
\right).
\]
9. Considerar las matrices
\[
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & -2 & 7\\
6 & 5 & 4\\
0 & 4 & 9
\end{array}
\right)
\quad \text{y} \quad
B=
\left(
\begin{array}{ccc}
6 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3\\
7 & 7 & 5
\end{array}
\right).
\]
Calcular, sin realizar el producto de las dos matrices completamente,
a) la segunda columna de \(AB\).
b) la primera columna de \(BA\).
c) la tercera columna de \(AA\).
Solución:
Página 11
(a) La segunda columna del producto \(AB\) se obtiene multiplicando la matriz \(A\) por la segunda columna de \(B\).
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & -2 & 7\\
6 & 5 & 4\\
0 & 4 & 9
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
-2\\
1\\
7
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
41\\
21\\
67
\end{array}
\right).
\]
(b) La primera columna del producto \(BA\) se obtiene multiplicando la matriz \(B\) por la primera columna de \(A\).
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
6 & -2 & 4\\
0 & 1 & 3\\
7 & 7 & 5
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
3\\
6\\
0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
6\\
6\\
63
\end{array}
\right).
\]
(c) La tercera columna del producto \(AA\) se obtiene multiplicando la matriz \(A\) por la tercera columna de \(A\).
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & -2 & 7\\
6 & 5 & 4\\
0 & 4 & 9
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
7\\
4\\
9
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
76\\
98\\
97
\end{array}
\right).
\]
10. En cada apartado, determinar las matrices \(A\), \(x\) y \(b\) que expresen el sistema de ecuaciones dados como una ecuación matricial \(Ax=b\).
a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x_1+x_2+2x_3&=8\\
-x_1-2x_2+3x_3&=1\\
3x_1-7x_2+4x_3&=10
\end{aligned}
\right.
\]
b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
x-y+2z-w&=-1\\
2x+y-2z-2w&=-2\\
-x+2y-4z+w&=1\\
3x-3w&=-3
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: (a)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
-1 & -2 & 3\\
3 & -7 & 4
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
8\\
1\\
10
\end{array}
\right).
\]
(b)
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 2 & -1\\
2 & 1 & -2 & -2\\
-1 & 2 & -4 & 1\\
3 & 0 & 0 & -3
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
w
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
-1\\
-2\\
1\\
-3
\end{array}
\right).
\]
11. En cada apartado, expresar la ecuación matricial como un sistema de ecuaciones lineales
a)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 2\\
4 & 3 & 7\\
-2 & 1 & 5
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
2\\
-1\\
4
\end{array}
\right)
\]
b)
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
3 & -2 & 0 & 1\\
5 & 0 & 2 & -2\\
3 & 1 & 4 & 7\\
-2 & 5 & 1 & 6
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
w\\
x\\
y\\
z
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\]
Solución: (a)
\[
\left\{
\begin{aligned}
3x_1-x_2+2x_3&=2\\
4x_1+3x_2+7x_3&=-1\\
-2x_1+x_2+5x_3&=4
\end{aligned}
\right.
\]
(b)
\[
\left\{
\begin{aligned}
3w-2x+z&=0\\
5w+2y-2z&=0\\
3w+x+4y+7z&=0\\
-2w+5x+y+6z&=0
\end{aligned}
\right.
\]
Página 12
12. En cada apartado encontrar la forma escalonada y escalonada reducida de la matriz de orden tres cuyos elementos son
a) \(a_{ij}=i+j\)
b) \(a_{ij}=i^{\,j-1}\)
c)
\[
a_{ij}=
\left\{
\begin{aligned}
1 & \text{ si } |i-j|>1\\
-1 & \text{ si } |i-j|\leq 1
\end{aligned}
\right.
\]
Solución: (a)
\[
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 6
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3/2 & 2\\
3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 6
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-3)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-4)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3/2 & 2\\
0 & -1/2 & -1\\
0 & -1 & -2
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-2)}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3/2 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & -1 & -2
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3/2 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\overset{F_{12}(-3/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right).
\]
Luego la forma escalonada es la matriz
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3/2 & 2\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\]
y la forma escalonada reducida
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right).
\]
(b)
\[
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 4\\
1 & 3 & 9
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 2 & 8
\end{array}
\right)
\overset{F_{32}(-2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)
\overset{F_3(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right).
\]
La forma escalonada es la matriz
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
y la forma escalonada reducida es la identidad, pues tenemos tres unos principales, es decir, la matriz \(A\) es regular.
(c)
\[
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_1(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(1)}{\longrightarrow}
\overset{F_{31}(-1)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & 0 & -2\\
0 & -2 & 0
\end{array}
\right)
\overset{P_{23}}{\longrightarrow}
\]
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & -2
\end{array}
\right)
\overset{F_2(-1/2)}{\longrightarrow}
\overset{F_3(-1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right).
\]
La forma escalonada es la matriz
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
y la forma escalonada reducida es la identidad, pues, como sucedía en el apartado anterior, tenemos tres unos principales, es decir, la matriz \(A\) es regular.
13. Sea
\[
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3\\
0 & 4 & 5\\
-2 & 1 & 4
\end{array}
\right),
\quad
B=
\left(
\begin{array}{ccc}
8 & -3 & -5\\
0 & 1 & 2\\
4 & -7 & 6
\end{array}
\right),
\quad
C=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -2 & 3\\
1 & 7 & 4\\
3 & 5 & 9
\end{array}
\right),
\quad
a=4,\; b=-7.
\]
Comprobar que se verifican las siguientes igualdades:
a) \((AB)C=A(BC)\)
b) \((a+b)\,C=aC+bC\)
c) \(A(B-C)=AB-AC\)
Solución: Sólo se expondrán los resultados de las igualdades.
Página 13
(a)
\[
(AB)C=A(BC)=
\left(
\begin{array}{ccc}
-10 & -222 & 26\\
83 & -67 & 278\\
87 & 33 & 240
\end{array}
\right).
\]
(b)
\[
(a+b)\,C=aC+bC=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 6 & -9\\
-3 & -21 & -12\\
-9 & -15 & -27
\end{array}
\right).
\]
(c)
\[
A(B-C)=AB-AC=
\left(
\begin{array}{ccc}
20 & -32 & -23\\
1 & -84 & -23\\
-13 & -52 & 2
\end{array}
\right).
\]
(d)
\[
(A^T)^T=A=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3\\
0 & 4 & 5\\
-2 & 1 & 4
\end{array}
\right).
\]
(e)
\[
(A+B)^T=A^T+B^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
10 & 0 & 2\\
-4 & 5 & -6\\
-2 & 7 & 10
\end{array}
\right).
\]
(f)
\[
(aC)^T=aC^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & 12\\
-8 & 28 & 20\\
12 & 16 & 36
\end{array}
\right).
\]
(g)
\[
(AB)^T=B^TA^T=
\left(
\begin{array}{ccc}
28 & 20 & 0\\
-28 & -31 & -21\\
6 & 38 & 36
\end{array}
\right).
\]
(h)
\[
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=
\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{53}{1456} & \frac{21}{208} & \frac{439}{4368}\\
-\frac{15}{182} & \frac{26}{91} & -\frac{55}{546}\\
-\frac{11}{104} & \frac{1}{104} & \frac{11}{312}
\end{array}
\right).
\]
(i)
\[
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1403}{26208} & -\frac{1289}{11322} & \frac{29987}{235872}\\
\frac{79}{8736} & \frac{37}{3744} & -\frac{823}{78624}\\
-\frac{17}{936} & \frac{113}{2808} & \frac{341}{8424}
\end{array}
\right).
\]
14. Sean \(A\) y \(B\) matrices cuadradas del mismo tamaño. ¿Es cierto que \((AB)^2=A^2B^2\) ? Justificar la respuesta.
Solución: En general la igualdad es falsa. Por ejemplo, tomando
\[
A=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2\\
-1 & 3
\end{array}
\right)
\quad \text{y} \quad
B=
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
2 & 1
\end{array}
\right),
\]
se tiene
\[
(AB)^2=
\left(
\begin{array}{cc}
23 & 12\\
42 & 23
\end{array}
\right)
\neq
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 8\\
-4 & 7
\end{array}
\right)
=A^2B^2.
\]
No obstante, si las matrices \(A\) y \(B\) conmutan (es decir, si \(AB=BA\)) la igualdad sí se verifica. En efecto,
\[
(AB)^2=(AB)(AB)=ABAB=AABB=A^2B^2.
\]
15. En cada apartado, usar la información para calcular \(A\)
a) \[
A^{-1}=
\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1\\
3 & 5
\end{array}
\right)
\]
b) \[
(7A)^{-1}=
\left(
\begin{array}{cc}
-3 & 7\\
1 & -2
\end{array}
\right)
\]
c) \[
(I+2A)^{-1}=
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
4 & 5
\end{array}
\right)
\]
Solución: En cada apartado, los cálculos de las inversas se dejan al alumno.
Página 14
(a) Puesto que \(A=(A^{-1})^{-1}\), calcularemos \(A\) obteniendo la inversa de la matriz
\[
\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1\\
3 & 5
\end{array}
\right).
\]
\[
A=
\left(
\begin{array}{cc}
2 & -1\\
3 & 5
\end{array}
\right)^{-1}
=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{5}{13} & \frac{1}{13}\\
-\frac{3}{13} & \frac{2}{13}
\end{array}
\right).
\]
(b)
\[
A=\frac{1}{7}
\left(
\begin{array}{cc}
-3 & 7\\
1 & -2
\end{array}
\right)^{-1}
=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{2}{7} & 1\\
\frac{1}{7} & \frac{3}{7}
\end{array}
\right).
\]
(c)
\[
A=\frac{1}{2}
\left(
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
4 & 5
\end{array}
\right)^{-1}
-I
\right)
=
\frac{1}{2}
\left(
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
4 & 5
\end{array}
\right)^{-1}
-
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right)
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
-\frac{9}{13} & \frac{1}{13}\\
\frac{2}{13} & -\frac{7}{13}
\end{array}
\right).
\]
16. Sea
\[
A=
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0\\
4 & 1
\end{array}
\right).
\]
Calcular \(A^3\), \(A^{-3}\) y \(A^2-2A+I\). ¿Se tiene que verificar que \(A^2-2A+I=(A-I)^2\)? ¿Es cierto que \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)? Justificar la respuesta.
Solución: (a)
\[
A^2=A\cdot A=
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0\\
4 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0\\
4 & 1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 0\\
12 & 1
\end{array}
\right).
\]
\[
A^3=A^2\cdot A=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 0\\
12 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 0\\
4 & 1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
8 & 0\\
28 & 1
\end{array}
\right).
\]
Como \(A^{-3}=(A^{-1})^3=(A^3)^{-1}\), podemos calcular \(A^{-3}\) de dos formas: calculando la inversa de \(A^3\), o calculando la inversa de \(A\) y elevando al cubo. Calculamos en primer lugar la inversa de \(A^3\):
\[
\left(
\begin{array}{cc|cc}
8 & 0 & 1 & 0\\
28 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/8)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/8 & 0\\
28 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-28)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/8 & 0\\
0 & 1 & -28/8 & 1
\end{array}
\right),
\]
luego
\[
A^{-3}=
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{1}{8} & 0\\
-\frac{7}{2} & 1
\end{array}
\right).
\]
Ahora calculamos la inversa de \(A\)
\[
\left(
\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 1 & 0\\
4 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_1(1/2)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/2 & 0\\
4 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\overset{F_{21}(-4)}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/2 & 0\\
0 & 1 & -2 & 1
\end{array}
\right)
\]
y elevamos al cubo
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1/2 & 0\\
-2 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1/2 & 0\\
-2 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1/2 & 0\\
-2 & 1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
1/8 & 0\\
-7/2 & 1
\end{array}
\right),
\]
el resultado, por supuesto, es el mismo.
(b)
\[
A^2-2A+I=
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 0\\
12 & 1
\end{array}
\right)
-
\left(
\begin{array}{cc}
4 & 0\\
8 & 2
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
4 & 0
\end{array}
\right).
\]
Observemos que \((A-I)^2=(A-I)(A-I)=A^2-A\cdot I-I\cdot A+I=A^2-2A+I\), ya que \(AI=I\cdot A=A\).
Comprobemos con el ejemplo anterior que, efectivamente, \((A-I)^2=A^2-2A+I\). Ya tenemos calculado \(A^2-2A+I\). Ahora calculamos
\[
(A-I)^2=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
4 & 0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
4 & 0
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
4 & 0
\end{array}
\right),
\]
que coincide con lo obtenido antes.
(c)
En general, para el cálculo matricial, no es cierto que \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\), ya que
\[
(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2,
\]
y sabemos que el producto de matrices no es conmutativo, luego, salvo excepciones, \(AB\neq BA\). Comprobemos con un ejemplo que \((A-B)^2\neq A^2-2AB+B^2\). Sean
\[
A=
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & 2
\end{array}
\right)
\quad \text{y} \quad
B=
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1\\
0 & 3
\end{array}
\right),
\]
entonces \((A-B)^2=\)
