Caída libre y movimiento vertical
Comprobación en la torre inclinada de Pisa
Galileo comprobó experimentalmente que, despreciando la resistencia del aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de su masa. En la torre inclinada de Pisa dejó caer cuerpos desde una altura aproximada de 97 m y verificó que los espacios recorridos eran proporcionales al cuadrado de los tiempos empleados.
La ley fundamental de la caída libre puede expresarse como:
$$
e = \frac{1}{2}gt^2
$$
Si se considera \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\), queda:
$$
e = 4,9t^2
$$
Tiro vertical hacia abajo desde un globo
Problema: De un globo se dispara verticalmente un tiro hacia el suelo. La bala tiene una velocidad inicial de \(300 \ \text{m/s}\) y emplea \(5 \ \text{s}\) para llegar al suelo. Hallar la altura del globo y la velocidad del proyectil al tocar tierra.
Datos:
- Velocidad inicial: \(c = 300 \ \text{m/s}\)
- Tiempo: \(t = 5 \ \text{s}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\)
Como el movimiento es hacia abajo, el espacio recorrido es:
$$
e = ct + \frac{gt^2}{2}
$$
Sustituyendo:
$$
e = 300 \cdot 5 + \frac{9,8 \cdot 5^2}{2}
$$
$$
e = 1500 + \frac{9,8 \cdot 25}{2}
$$
$$
e = 1500 + 122,5 = 1622,5 \ \text{m}
$$
La velocidad final se calcula mediante:
$$
v = c + gt
$$
$$
v = 300 + 9,8 \cdot 5 = 349 \ \text{m/s}
$$
Respuesta: El globo estaba a \(1622,5 \ \text{m}\) de altura y la bala llegó al suelo con una velocidad de \(349 \ \text{m/s}\).
Altura máxima de un cuerpo lanzado hacia arriba
Problema: ¿Qué altura alcanzará un cuerpo lanzado verticalmente con una velocidad inicial de \(300 \ \text{m/s}\)? ¿En cuánto tiempo la alcanzará?
Datos:
- Velocidad inicial: \(c = 300 \ \text{m/s}\)
- Velocidad final en la altura máxima: \(v = 0\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\)
En el punto más alto, la velocidad se anula:
$$
v = c - gt
$$
$$
0 = c - gt
$$
$$
t = \frac{c}{g}
$$
Sustituyendo:
$$
t = \frac{300}{9,8} \approx 30,6 \ \text{s}
$$
La altura máxima se obtiene con:
$$
a = \frac{c^2}{2g}
$$
$$
a = \frac{300^2}{2 \cdot 9,8}
$$
$$
a = \frac{90000}{19,6} \approx 4590 \ \text{m}
$$
Respuesta: El cuerpo alcanza una altura aproximada de \(4590 \ \text{m}\) en unos \(30,6 \ \text{s}\).
Profundidad de un pozo
Problema: ¿Cuál es la profundidad de un pozo si una piedra tarda \(10 \ \text{s}\) en llegar al fondo?
Datos:
- Tiempo: \(t = 10 \ \text{s}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\)
Para una caída libre desde el reposo:
$$
e = \frac{1}{2}gt^2
$$
$$
e = 4,9 \cdot 10^2
$$
$$
e = 4,9 \cdot 100 = 490 \ \text{m}
$$
Respuesta: La profundidad del pozo es de \(490 \ \text{m}\).
Tiempo de caída desde una torre
Problema: Desde una torre de \(19,60 \ \text{m}\) de altura se deja caer una piedra. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el suelo?
Datos:
- Altura: \(e = 19,60 \ \text{m}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\)
Partimos de:
$$
e = \frac{1}{2}gt^2
$$
Como:
$$
\frac{1}{2}g = 4,9
$$
Entonces:
$$
e = 4,9t^2
$$
Despejando el tiempo:
$$
t = \sqrt{\frac{e}{4,9}}
$$
Sustituyendo:
$$
t = \sqrt{\frac{19,60}{4,9}}
$$
$$
t = \sqrt{4} = 2 \ \text{s}
$$
Respuesta: La piedra tarda \(2 \ \text{s}\) en llegar al suelo.
Cálculo de la aceleración de la gravedad
Problema: Un pedazo de carbón cae libremente en una mina y recorre \(44,10 \ \text{m}\) en \(3 \ \text{s}\). ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad?
Datos:
- Espacio recorrido: \(e = 44,10 \ \text{m}\)
- Tiempo: \(t = 3 \ \text{s}\)
La fórmula de caída libre es:
$$
e = \frac{1}{2}gt^2
$$
Despejando \(g\):
$$
g = \frac{2e}{t^2}
$$
Sustituyendo:
$$
g = \frac{2 \cdot 44,10}{3^2}
$$
$$
g = \frac{88,20}{9} = 9,8 \ \text{m/s}^2
$$
Respuesta: La aceleración de la gravedad es \(9,8 \ \text{m/s}^2\).
Velocidad de un cuerpo que cae desde 150 m
Problema: ¿Cuál es la velocidad de un cuerpo que cae en caída libre desde una torre de \(150 \ \text{m}\) de altura?
Datos:
- Espacio recorrido: \(e = 150 \ \text{m}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,81 \ \text{m/s}^2\)
En la caída libre:
$$
v = gt
$$
$$
e = \frac{gt^2}{2}
$$
De la segunda ecuación:
$$
t = \sqrt{\frac{2e}{g}}
$$
Sustituyendo este valor en \(v = gt\):
$$
v = g \sqrt{\frac{2e}{g}}
$$
$$
v = \sqrt{2ge}
$$
Sustituyendo los valores:
$$
v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 150}
$$
$$
v = \sqrt{2943}
$$
$$
v \approx 54,24 \ \text{m/s}
$$
Respuesta: Después de caer \(150 \ \text{m}\), el cuerpo tendrá una velocidad aproximada de \(54,24 \ \text{m/s}\).
Altura alcanzada por una bala de cañón
Problema: ¿Qué altura alcanzará una bala de cañón disparada verticalmente con una velocidad inicial de \(v_0 = 500 \ \text{m/s}\), prescindiendo de la resistencia del aire?
Datos:
- Velocidad inicial: \(v_0 = 500 \ \text{m/s}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,8 \ \text{m/s}^2\)
La altura máxima se calcula con:
$$
S = \frac{v_0^2}{2g}
$$
Sustituyendo:
$$
S = \frac{500^2}{2 \cdot 9,8}
$$
$$
S = \frac{250000}{19,6}
$$
$$
S \approx 12755 \ \text{m}
$$
Respuesta: La bala alcanzará una altura aproximada de \(12755 \ \text{m}\).
Velocidad de la bala a 6000 m de altura
Problema: ¿Cuál es la velocidad de la misma bala cuando se encuentra a una altura de \(6000 \ \text{m}\)?
Datos:
- Velocidad inicial: \(v_0 = 500 \ \text{m/s}\)
- Altura: \(e = 6000 \ \text{m}\)
- Aceleración de la gravedad: \(g = 9,81 \ \text{m/s}^2\)
Para el movimiento vertical, la velocidad en función de la altura se obtiene con:
$$
v^2 = v_0^2 - 2ge
$$
Por lo tanto:
$$
v = \pm \sqrt{v_0^2 - 2ge}
$$
Sustituyendo:
$$
v = \pm \sqrt{500^2 - 2 \cdot 9,81 \cdot 6000}
$$
$$
v = \pm \sqrt{250000 - 117720}
$$
$$
v = \pm \sqrt{132280}
$$
$$
v \approx \pm 363 \ \text{m/s}
$$
Respuesta: La velocidad a los \(6000 \ \text{m}\) de altura es aproximadamente \(363 \ \text{m/s}\), tanto al subir como al bajar. El signo \(+\) o \(-\) indica el sentido del movimiento.
Fuerza viva, energía y trabajo
Bala de cañón
Problema: Una bala de cañón pesa \(19,62 \ \text{kg}\) y tiene una velocidad inicial de \(400 \ \text{m/s}\). ¿Qué trabajo es capaz de efectuar?
La energía actual o fuerza viva se calcula con:
$$
E_a = \frac{1}{2}Mv^2
$$
La masa mecánica se obtiene dividiendo el peso por la gravedad:
$$
M = \frac{P}{g}
$$
Sustituyendo:
$$
E_a = \frac{1}{2} \cdot \frac{19,62}{9,81} \cdot 400^2
$$
$$
E_a = \frac{19,62 \cdot 160000}{9,81 \cdot 2}
$$
$$
E_a = 160000 \ \text{kgm}
$$
Respuesta: La bala puede efectuar un trabajo de \(160000 \ \text{kgm}\).
Energía potencial y energía actual
Problema: Una pesa de \(10 \ \text{kg}\) está colocada a \(20 \ \text{m}\) de altura. Expresar en kilográmetros el valor de las energías potencial y actual: primero en esa posición, luego al caer a \(5 \ \text{m}\), y finalmente cuando llega al suelo.
1.º A los 20 m de altura
$$
E_p = 10 \cdot 20 = 200 \ \text{kgm}
$$
Como la pesa no se mueve:
$$
E_a = 0
$$
$$
E_{\text{total}} = 200 \ \text{kgm}
$$
2.º A los 15 m de altura
La energía potencial es:
$$
E_p = 10 \cdot 15 = 150 \ \text{kgm}
$$
Como la pesa descendió \(5 \ \text{m}\), la energía actual es:
$$
E_a = 10 \cdot 5 = 50 \ \text{kgm}
$$
$$
E_{\text{total}} = 150 + 50 = 200 \ \text{kgm}
$$
3.º Al llegar al suelo
$$
E_p = 0
$$
Como cayó \(20 \ \text{m}\):
$$
E_a = 10 \cdot 20 = 200 \ \text{kgm}
$$
$$
E_{\text{total}} = 200 \ \text{kgm}
$$
Respuesta: La energía total permanece constante e igual a \(200 \ \text{kgm}\).
Fuerza viva
Se llama fuerza viva, o energía cinética, al semiproducto de la masa de un cuerpo por el cuadrado de su velocidad.
$$
T = \frac{mv^2}{2}
$$
Demostración de la fuerza viva
Sea una masa \(m\), inicialmente en reposo, sobre la cual actúa una fuerza constante \(F\). Según el segundo principio de Newton:
$$
F = ma
$$
El trabajo realizado por la fuerza es:
$$
T = F \cdot e
$$
Para un movimiento uniformemente acelerado desde el reposo:
$$
e = \frac{at^2}{2}
$$
$$
v = at
$$
Sustituyendo:
$$
T = ma \cdot \frac{at^2}{2}
$$
Como \(v = at\), entonces \(v^2 = a^2t^2\). Por lo tanto:
$$
T = \frac{mv^2}{2}
$$
Teorema de las fuerzas vivas
Cuando una fuerza actúa sobre una masa en reposo o animada de una velocidad inicial de la misma dirección, la variación de la fuerza viva de esa masa es igual, en magnitud y signo, al trabajo realizado por la fuerza durante el mismo tiempo.
Demostración del teorema
Sea una masa \(m\) con velocidad inicial \(v_0\), sobre la cual actúa una fuerza constante \(F\). La velocidad después de un tiempo \(t\) será:
$$
v = v_0 + at
$$
Elevando al cuadrado:
$$
v^2 = v_0^2 + a^2t^2 + 2v_0at
$$
El espacio recorrido es:
$$
e = v_0t + \frac{at^2}{2}
$$
Combinando ambas expresiones:
$$
v^2 - v_0^2 = 2ae
$$
Multiplicando por \(m\) y dividiendo por 2:
$$
\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = mae
$$
Como \(ma = F\), resulta:
$$
\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = Fe
$$
Es decir, la variación de la energía cinética es igual al trabajo realizado.
Aplicación
El golpe de un martillo puede introducir una cuña en una madera dura porque la fuerza viva del martillo se transmite a la cuña en cada impacto. Aunque la penetración por golpe sea pequeña, la repetición de los golpes acumula trabajo útil.
Según el teorema:
$$
\frac{1}{2}mv^2 = Fe
$$
Por lo tanto, aunque \(e\) sea pequeño en cada golpe, la suma de muchos golpes permite vencer progresivamente la resistencia del material.
Martillo pilón
Problema: Un martinete de peso \(P = 600 \ \text{kg}\) se levanta en cada movimiento a una altura de \(1,20 \ \text{m}\) y, al caer sobre una estaca, la hunde \(0,15 \ \text{m}\). ¿Cuál es la resistencia \(R\) que opone el suelo?
En cada golpe, el martinete cae desde una altura total de:
$$
1,20 + 0,15 = 1,35 \ \text{m}
$$
El trabajo de la gravedad es:
$$
T = 600 \cdot 1,35 = 810 \ \text{kgm}
$$
Este trabajo es igual al trabajo resistente:
$$
R \cdot 0,15 = 810
$$
Despejando:
$$
R = \frac{600 \cdot 1,35}{0,15}
$$
$$
R = 5400 \ \text{kg}
$$
Respuesta: La resistencia que opone el suelo es \(5400 \ \text{kg}\).
Velocidad de un vagón
Problema: ¿Qué velocidad adquiere un vagón de \(20\) toneladas impulsado por una fuerza de \(100 \ \text{kg}\) en un trayecto de \(100 \ \text{m}\)?
El trabajo aplicado al vagón es:
$$
T = 100 \cdot 100 = 10000 \ \text{kgm}
$$
Este trabajo se expresa como energía cinética:
$$
T = \frac{mv^2}{2}
$$
La masa mecánica del vagón es:
$$
m = \frac{P}{g} = \frac{20000}{9,81}
$$
Entonces:
$$
v^2 = \frac{2Tg}{P}
$$
Sustituyendo:
$$
v^2 = \frac{2 \cdot 10000 \cdot 9,81}{20000}
$$
$$
v^2 = 9,81
$$
$$
v = \sqrt{9,81} = 3,13 \ \text{m/s}
$$
Respuesta: El vagón adquiere una velocidad aproximada de \(3,13 \ \text{m/s}\).
Energía cinética de una pesa
Problema: Una pesa de \(10 \ \text{kg}\) cae desde una altura de \(20 \ \text{m}\). Se pregunta: 1.º su energía cinética al llegar al suelo; 2.º el trabajo que efectúa al chocar contra el suelo.
La masa mecánica de la pesa es:
$$
m = \frac{10}{9,81}
$$
La velocidad de caída se obtiene con:
$$
v = \sqrt{2ge}
$$
Por lo tanto:
$$
v^2 = 2ge
$$
La energía cinética será:
$$
T = \frac{1}{2}mv^2
$$
Sustituyendo:
$$
T = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{9,81} \cdot 2 \cdot 20 \cdot 9,81
$$
$$
T = 200 \ \text{kgm}
$$
Respuesta: La energía cinética al llegar al suelo es \(200 \ \text{kgm}\). Ese mismo valor representa el trabajo que puede efectuar al chocar contra el suelo, si toda la energía se transforma en trabajo útil.
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