Trabajo en Elevación y Transporte

Enunciado: Un plano de m = 750 kg es subido a una tarima de altura h = 1,2 m. ¿Qué trabajo se ha realizado?

Solución paso a paso:

1. En unidades de kg·m (kgf·m), la “fuerza” es igual a la masa: F = m = 750 kg.
2. El trabajo W al elevar se calcula como W = F·h.
3. Sustituyendo: W = 750 kg × 1,2 m = 900 kg·m.

Respuesta: 900 kg·m

Enunciado: Una maquinaria de m = 280 kg es elevada a 1,2 m de altura mediante un plano inclinado de 3 m. ¿Qué trabajo se realizó? ¿Y si se subiera directamente (verticalmente)?

Solución paso a paso:

1. Modelamos la fuerza como F = m = 280 kg.
2. El trabajo por la rampa es W = F·d, donde d = 3 m (longitud de la rampa). W = 280 kg × 3 m = 840 kg·m.
3. Si se subiera directamente, el desplazamiento de la fuerza (vertical) también es 1,2 m de altura efectiva pero la fuerza necesaria sigue F = m y el trabajo W = 280 kg × 1,2 m = 336 kg·m. Sin embargo, al proyectar el vector fuerza contra el desplazamiento real (3 m), el trabajo neto sigue siendo W = m·h = 280 kg × 1,2 m = 336 kg·m, independientemente de la trayectoria.

Respuesta corregida: 336 kg·m en ambos casos, puesto que el trabajo de la fuerza gravitatoria es independiente de la trayectoria y depende únicamente de la altura ganada.

Enunciado: Para subir un tonel hasta 3 m de altura se ha necesitado un trabajo de 240 kg·m. ¿Cuánto pesa (masa) el tonel?

Solución paso a paso:

1. Sea m_t la masa del tonel. El trabajo es W = mt·h.
2. Despejamos la masa: mt = W / h = 240 kg·m / 3 m = 80 kg.

Respuesta: 80 kg

Enunciado: Una señora levanta una valija de m = 25 kg hasta 0,80 m del suelo y luego camina con ella 100 m.
– ¿Qué trabajo realiza al levantarla?
– Durante su caminata, ¿realiza trabajo?

Solución paso a paso:

1. Trabajo al levantar: W₁ = F·h = m·h = 25 kg × 0,80 m = 20 kg·m.
2. Trabajo al caminar horizontalmente: La fuerza gravitatoria es vertical y el desplazamiento horizontal perpendicular. Por tanto, W₂ = F·d·cos 90° = 0. No se realiza trabajo.

Respuestas: – Al levantar: 20 kg·m
– Al trasladar: 0

El trabajo mecánico realizado por una fuerza constante F a lo largo de un desplazamiento d es W = F·d·cos θ, donde θ es el ángulo entre fuerza y desplazamiento. Para fuerzas conservativas (como la gravedad), el trabajo solo depende de la variación de energía potencial, ΔU = m·g·Δh, y es independiente de la ruta. En desplazamientos perpendiculares a la fuerza (θ = 90°), no se realiza trabajo. Estos principios son fundamentales en energía mecánica y máquinas sencillas.

Trabajo en Elevación y Recuperación de Energía Potencial

Enunciado: ¿Qué trabajo (en kg·m, J y kW·h) realiza un hombre para elevar una bolsa de m = 70 kg a una altura h = 2,5 m?

Solución paso a paso:

1. Trabajo en kg·m: W₁ = m·h = 70 kg × 2,5 m = 175 kg·m.
2. Trabajo en joules: W₂ = W₁·g = 175 kg·m × 9,8 m/s² = 1 715 J.
3. Trabajo en kW·h: W₃ = W₂ / (3 600 000 J/kW·h) ≈ 0,00048 kW·h.

Respuesta: 175 kg·m, 1 715 J o 0,00048 kW·h.

Enunciado: Un cuerpo de peso 4 kg cae libremente y tarda t = 3 s en tocar tierra. ¿Qué trabajo (en kg·m y J) debe efectuarse para levantarlo al punto de caída?

Solución paso a paso:

1. Altura de caída: e = ½·g·t² = 0,5 × 9,8 m/s² × (3 s)² = 44,1 m.
2. Trabajo en kg·m: W₁ = m·e = 4 kg × 44,1 m = 176,4 kg·m.
3. Trabajo en joules: W₂ = W₁·g = 176,4 kg·m × 9,8 m/s² = 1 728,7 J.

Respuesta: 176,4 kg·m o 1 728,7 J.

El trabajo para elevar un objeto a altura h contra la gravedad equivale al cambio de energía potencial ΔU = m·g·h. En unidades prácticas, se usa kg·m (kgf·m) como medida de trabajo y luego se convierte a joules (1 kg·m = 9,8 J) o kW·h (1 kW·h = 3,6·10^6 J). La recuperación del objeto tras caída libre requiere el mismo trabajo; esto ilustra que las fuerzas conservativas son independientes de la trayectoria y dependen solo de la variación de altura.

Energía Cinética tras Caída Libre

¿Qué energía cinética alcanzará un cuerpo cuyo “peso” es de 38 kgf tras caer libremente durante t = 30 s?

Solución paso a paso

1. Determinación de la masa técnica:
   En unidades técnicas (kg·s²/m), se usa la relación m = P/g donde P = 38 kgf y g = 9,8 m/s².
   m = 38 / 9,8 ≈ 3,877 kg·s²/m
2. Velocidad tras caída libre:
   Bajo aceleración constante, v = g·t.
   v = 9,8 m/s² × 30 s = 294 m/s
3. Cálculo de la energía cinética:
   E_c = ½·m·v² Sustituyendo:
   E_c = 0,5 × 3,877 kg·s²/m × (294 m/s)² ≈ 167 254 kg·m

Resultado: E_c ≈ 167 254 kg·m (≈1,637 ×10⁶ J).

La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v se define como E_c = ½·m·v². En caída libre, la velocidad aumenta linealmente con el tiempo bajo v = g·t, donde g es la aceleración de la gravedad. La conversión entre unidades técnicas (kg·m) y joules se efectúa usando 1 kg·m = 9,8 J. Estas relaciones son esenciales para analizar la transformación de energía potencial en cinética en sistemas gravitatorios sin rozamiento.

Energía Cinética de un Cuerpo tras Caída Libre

¿Con qué energía cinética (E_c) tocará tierra un cuerpo que “pesa” 2 500 g (2,5 kg) y cae libremente desde una altura de 12 m?

Solución paso a paso

1. Convertir peso a masa técnica:
   m = P/g = 2,5 kg / 9,8 m/s² ≈ 0,255 kg·s²/m
2. Calcular tiempo de caída:
   Desde h = ½·g·t² se despeja t = √(2h/g):
   t = √(2·12 m / 9,8 m/s²) ≈ 1,56 s
3. Velocidad al impactar:
   v = g·t = 9,8 m/s² × 1,56 s ≈ 15,3 m/s
4. Energía cinética:
   Ec = ½·m·v² = 0,5 × 0,255 kg·s²/m × (15,3 m/s)² ≈ 29,7 kg·m

Resultado: E_c ≈ 29,7 kg·m (≈ 291 J).

La energía cinética de un objeto de masa m y velocidad v es Ec = ½·m·v². En caída libre sin resistencia, la energía potencial m·g·h se convierte íntegramente en cinética, de modo que v = √(2gh) y Ec = m·g·h. Convertir correctamente unidades y aplicar las fórmulas cinemáticas es esencial para analizar la transformación de energía en sistemas gravitatorios.

Ejemplos: Cálculo de Potencia y Energía Potencial

Enunciado: Una grúa levanta 20 ton (20 000 kg) a una altura de 15 m en 10 s. Despreciando pérdidas, ¿cuál es la potencia de la grúa en caballos de vapor (CV), vatios (W) y kilovatios (kW)?

Solución paso a paso:

1. Trabajo realizado por segundo:
   Ẇ = (m·g·h) / t = (20 000 kg × 9,8 m/s² × 15 m) / 10 s = 294 000 W
2. Conversión a kilovatios:
   P = 294 000 W / 1000 = 294 kW
3. Conversión a caballos de vapor:
   (1 CV ≈ 736 W)
   P = 294 000 W / 736 W/CV ≈ 400 CV

Respuesta: 294 000 W (≈294 kW) o ≈400 CV.

Enunciado: ¿Cuál es la energía potencial de un cuerpo que “pesa” 50 kgf y está a 1,8 m sobre el nivel del suelo? ¿Qué energía cinética tendría al caer (sin pérdidas)?

Solución paso a paso:

1. Energía potencial (en kg·m):
   Eₚ = m·h = 50 kg × 1,8 m = 90 kg·m
2. Equivalencia a joules:
   Eₚ = 90 kg·m × 9,8 m/s² = 882 J
3. Energía cinética al impactar:
   Por conservación de la energía,
   E_c = Eₚ = 90 kg·m (≈882 J)

Respuesta: Eₚ = 90 kg·m (≈882 J), que se convierte íntegramente en energía cinética al caer.

Potencia es la rapidez con que se realiza trabajo: P = W/t. En elevación contra gravedad, el trabajo es W = m·g·h. Para convertir vatios a caballos de vapor, se divide por 736 W/CV.

La energía potencial gravitatoria mide la energía almacenada al elevar una masa: Eₚ = m·g·h. En caída libre sin rozamientos, ésta se transforma completamente en energía cinética: E_c = ½·m·v² = Eₚ. Estos principios ilustran la conservación de la energía y las conversiones de unidades entre sistemas técnicos e internacionales.

Ejemplo: Trabajo para Elevar Tierra

Un operario carga 2 m³ de tierra (peso específico q = 1,8 t/m³). ¿Qué trabajo habrá realizado, en kg·m, joules y kW·h, al elevarla hasta 1,2 m de altura?

Solución paso a paso

1. Determinar el peso total:
   m = q·V = 1,8 t/m³ × 2 m³ = 3,6 t = 3 600 kg
2. Trabajo en kg·m:
   W₁ = m·h = 3 600 kg × 1,2 m = 4 320 kg·m
3. Conversión a joules:
   Sabemos 1 kg·m = 9,8 J, luego:
   W₂ = 4 320 kg·m × 9,8 J/(kg·m) = 42 336 J
4. Conversión a kW·h:
   Dado 1 kW·h = 3 600 000 J, resulta:
   W₃ = 42 336 J / 3 600 000 J/(kW·h) ≈ 0,0118 kW·h

Resultados:

• Trabajo = 4 320 kg·m
• Trabajo = 42 336 J
• Trabajo = 0,0118 kW·h

El peso específico (q) indica la masa (o peso-fuerza) por unidad de volumen; multiplicándolo por el volumen obtenemos la carga total elevada. El trabajo mecánico realizado al levantar una masa m a altura h contra la gravedad es W = m·g·h, pero en unidades tradicionales de kg·m se omite el factor g y luego se convierte a joules usando 1 kg·m = g J. Para energía en kW·h (unidad común en facturación eléctrica), dividimos los julios entre 3,6·10⁶. Estas conversiones entre sistemas de unidades —técnico (kg·m), MKS (joule) e industria (kW·h)— son esenciales en ingeniería de obras, movimientos de tierras y cálculo de costes energéticos. Además, entender que el trabajo gravitatorio es independiente de la trayectoria (solo importa la altura) simplifica el análisis de maquinaria y procesos de elevación en construcción.

Problema de Péndulo Simple

Enunciado: El tiempo de oscilación de un péndulo es de 1 seg. ¿Qué longitud debe tener en la ciudad de La Plata (Argentina), donde la aceleración de la gravedad es de 9,7975 m/seg²?

Solución:

Como T = 2π √(l / g),

Elevando al cuadrado: T² = 4π² (l / g), despejamos l:

l = (T² · g) / 4π²

Reemplazando:

l = (1 s)² × 9,7975 m/s² / (4 × 3,14²) ≈ 0,2477 m = 24,77 cm

Respuesta: 24,77 cm.

Conceptos Relacionados:

El péndulo simple es un sistema oscilatorio ideal cuyo periodo depende únicamente de la longitud del hilo y la aceleración de la gravedad. Se usa en relojes, medición de g, y experimentos físicos. Su fórmula principal es T = 2π √(l / g), lo que implica que un péndulo más largo oscila más lento. El estudio de péndulos ayuda a comprender fenómenos de oscilación, vibraciones mecánicas y análisis sísmico. En este ejemplo, se determina la longitud necesaria para un péndulo con un periodo de 1 segundo en la ciudad de La Plata (Argentina), considerando g = 9,7975 m/s², resultando en 24,77 cm.

Calcular la Aceleración de la Gravedad con un Péndulo

¿Cuál será la aceleración de la gravedad g en un lugar donde un péndulo cumple una oscilación en T = 1,2 s, si su longitud es l = 0,357 m?

Solución paso a paso

1. Fórmula del periodo del péndulo:
   T = 2π·√(l / g)
2. Elevar al cuadrado:
   T² = 4π²·(l / g) ⇒ g = (4π²·l) / T²
3. Reemplazo numérico (usando π ≃ 3,14):
   g = [4·(3,14)²·0,357 m] / (1,2 s)² ≃ 9,8024 m/s²

Respuesta: g ≃ 9,8024 m/s²

El péndulo simple oscila bajo un movimiento armónico cuando el ángulo de desviación es pequeño. Su periodo depende únicamente de la longitud l del hilo y de la aceleración de la gravedad g, según T = 2π√(l/g). A partir de esta relación, puede invertirse para medir localmente g midiendo T y conociendo l. Esta técnica se ha usado históricamente en geodesia y sismología para cartografiar variaciones de la gravedad terrestre con la latitud, altitud o composición del subsuelo. La precisión depende de la medida de los pequeños ángulos (para validar la aproximación armónica) y del valor exacto de π empleado. Además, en la práctica se añade corrección por amplitud finita y rozamiento. Los péndulos de “segundero” (T = 2 s) utilizan un hilo de ~1 m y fueron clave en relojería. Entender estos fundamentos permite diseñar sensores de gravedad, cronómetros de alta precisión y experimentar la conservación de la energía en sistemas oscilatorios.

Comparación de Péndulos y Cálculo de Longitud

Enunciado: En un mismo lugar, dos péndulos oscilan empleando 2 s y 4 s, respectivamente. ¿Cuántas veces es más largo el segundo que el primero?

Verificación:

1. Para péndulos simples T ∝ √l, luego (T₁/T₂)² = l₁/l₂.
2. Reemplazando (2/4)² = l₁/l₂ ⇒ l₁/l₂ = 1/4, por tanto l₂ = 4·l₁.

Respuesta correcta: El péndulo de 4 s es 4 veces más largo.

Enunciado: Determinar la longitud de un péndulo que bate el segundo (una oscilación completa en 2 s) en un lugar donde g = 9,81 m/s².

Verificación:

1. La oscilación completa requiere un periodo T = 2 s. Pero “bate el segundo” suele referirse a media excitación; se usa T/2 = 1 s = π√(l/g), de donde l = (T/2)²·g / π² = (1)²·9,81 / (3,14)² ≈ 0,994 m.
2. Si en cambio se aplica la fórmula completa T = 2π√(l/g) con T=2 s, también resulta l = (T/2π)²·g ≈ 0,994 m.

Respuesta correcta: l ≈ 0,994 m.

El péndulo simple es un oscilador armónico que, para pequeños ángulos, posee un periodo T = 2π√(l/g). De ahí se deduce que el periodo crece con la raíz de la longitud y disminuye con la raíz de la gravedad local. Esto permite comparar longitudes midiendo periodos en el mismo sitio: (T₁/T₂)² = l₁/l₂. También sirve para determinar g midiendo T y l, o bien l a partir de T y el valor conocido de g. El “péndulo de segundos” se usa en relojes de precisión, donde el péndulo completa media oscilación en 1 s (pulso de segundero). En geofísica y metrología, estas relaciones han sido clave para cartografiar variaciones locales de gravedad, calibrar cronómetros y diseñar sensores sísmicos que aprovechan la dependencia del periodo respecto a g.

Problemas de Conversión de Unidades Energéticas

Verificación:

• Joules: 1 kg·m = 9,80 J ⇒ 250 kg·m × 9,80 J/(kg·m) = 2 450 J
• kW·h: 1 kW·h = 3 600 000 J ⇒ 2 450 J ÷ 3 600 000 J/(kW·h) ≈ 0,00068 kW·h

Resultado: 2 450 J (≈0,00068 kW·h)

Verificación:

• Joules: 25 kW·h × 3 600 000 J/(kW·h) = 90 000 000 J
• kg·m: 1 kg·m = 9,80 J ⇒ 90 000 000 J ÷ 9,80 J/(kg·m) ≈ 9 183 673 kg·m

Resultado: 90 000 000 J (≈9,183,673 kg·m)

Verificación:

• Joules: 125 478 kg·m × 9,80 J/(kg·m) ≈ 1 229 784 J
• kW·h: 1 229 784 J ÷ 3 600 000 J/(kW·h) ≈ 0,342 kW·h

Resultado : 1 229 784 J (≈0,342 kW·h)