Propiedades de los inductores reales

4.1 Inductancia básica y reactancia

El análisis del comportamiento de un inductor real y de un transformador requiere el dominio de los conceptos básicos de circuitos de AC. En esta sección se presenta un tratamiento resumido de estos temas, tanto como repaso como referencia rápida.

Inductancia: Si una corriente circula a través de una bobina de alambre, se genera un campo magnético cuya intensidad es proporcional a la corriente y al número de espiras. Este es el principio del electroimán. Si un campo magnético se mueve a través de una bobina, se induce una tensión cuya magnitud es proporcional a la velocidad del movimiento y al número de espiras. Este es el principio del generador.

Combinando estos efectos, si una corriente alterna pasa por una bobina, se establece un campo magnético variable que induce una tensión en la propia bobina. La dirección de esta tensión autoinducida es tal que se opone a la tensión aplicada. Por lo tanto, una bobina (inductor) se opone a cualquier cambio en la corriente.

Reactancia: La oposición del inductor a la corriente alterna se produce mediante una tensión inversa, no por una restricción del camino conductor como en una resistencia. A este tipo de oposición se lo denomina reactancia, en contraste con la resistencia.

La reactancia no disipa energía; simplemente la almacena durante un cuarto de ciclo y luego la devuelve a la fuente en el siguiente cuarto de ciclo. Este intercambio produce un desfase entre corriente y tensión. La corriente alcanza su valor máximo cuando la tensión cruza por cero. Se dice que la corriente en una inductancia se atrasa respecto a la tensión en 90°.

La reactancia inductiva depende del valor de la inductancia y de la frecuencia:

$$ X_L = 2\pi f L $$

donde X_L es la reactancia en ohmios, f la frecuencia en hertz y L la inductancia en henrios.

Reactancias en serie y paralelo

Dos inductores en serie tienen una reactancia total igual a la suma de sus reactancias, siempre que sus campos magnéticos no interactúen.

Los capacitores almacenan energía en un campo eléctrico y la devuelven a la fuente en cada medio ciclo. También presentan reactancia en corriente alterna, pero con diferencias importantes.

En un capacitor, la corriente se adelanta a la tensión en 90°, es decir, ocurre lo contrario que en el inductor. Por ello, la reactancia capacitiva se considera negativa:

$$ X_C = -\frac{1}{2\pi f C} $$

donde C es la capacitancia en faradios.

La reactancia capacitiva varía de forma inversa con la frecuencia y la capacitancia. Esto implica que al aumentar la frecuencia, la reactancia inductiva aumenta mientras que la capacitiva disminuye.

Las reactancias en serie se combinan algebraicamente, teniendo en cuenta que la reactancia capacitiva es negativa. En paralelo, las reactancias se combinan de manera similar a las resistencias (producto sobre suma), prestando atención a los signos.

Descripción de las figuras

Figura 1: (a) La corriente en una bobina genera un campo magnético. (b) Un campo magnético variable induce una tensión en la bobina. (c) La tensión autoinducida produce un desfase entre corriente y tensión, donde la corriente se atrasa 90° respecto a la tensión.

Figura 2: Las reactancias en serie se suman algebraicamente. Las reactancias capacitivas se consideran negativas al realizar los cálculos.

Conceptos básicos de impedancia

Resistencia y reactancia en serie: Cuando una resistencia y una reactancia se conectan en serie, el resultado se denomina impedancia. Parte de la energía entregada por la fuente se disipa en forma de calor (en la resistencia) y otra parte es devuelta a la fuente (por la reactancia). La corriente se atrasa respecto de la tensión aplicada si la reactancia neta es inductiva, y se adelanta si la reactancia neta es capacitiva, pero en ambos casos el ángulo estará comprendido entre 0° y 90°.

El valor total de la impedancia Z y el ángulo de fase exacto θ se determinan mediante la suma fasorial de X y R, como se muestra en la Fig. 4. Los cálculos se realizan de la siguiente manera:

$$ Z = \sqrt{X_s^2 + R_s^2} $$

$$ Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \Omega $$

$$ \theta = \arctan\left(\frac{X_s}{R_s}\right) $$

$$ \theta = \arctan\left(\frac{30}{40}\right) $$

$$ \theta = \arctan(0.75) = 37^\circ $$

Obsérvese que la corriente total del circuito está en fase con la tensión en la resistencia y se atrasa respecto de la tensión aplicada en 37°.

Algunos cálculos de prueba con la ecuación 4-3 muestran que, si X_s es tres veces mayor que R_s, o más, la impedancia total es solamente un 5 % mayor que X_s. De la misma manera, si R_s > 3X_s, Z es mayor que R_s en solo un 5 %. En estos casos suele ser útil despreciar el menor de los valores, de modo que Z \approx R_s si X_s es pequeña, o Z \approx X_s si R_s es pequeña.

Reactancias en paralelo

Las reactancias en paralelo se combinan mediante la relación de producto sobre suma, o bien mediante el recíproco de la suma de los recíprocos, de la misma forma que las resistencias. Nuevamente, la reactancia capacitiva se considera negativa.

Para dos reactancias en paralelo:

$$ X_T = \frac{X_1X_2}{X_1 + X_2} $$

Ejemplo (a):

$$ X_T = \frac{40 \times 10}{40 + 10} $$

$$ X_T = 8\ \Omega $$

Ejemplo (b):

$$ X_T = \frac{(-70)(-120)}{-70 + (-120)} $$

$$ X_T = -44\ \Omega $$

Ejemplo (c):

$$ X_T = \frac{(-40)(40)}{-40 + 40} $$

$$ X_T \rightarrow \infty $$

Para tres reactancias en paralelo:

$$ X_T = \frac{1}{\frac{1}{X_1} + \frac{1}{X_2} + \frac{1}{X_3}} $$

Ejemplo (d):

$$ X_T = \frac{1}{\frac{1}{-12} + \frac{1}{-24} + \frac{1}{10}} $$

$$ X_T = -40\ \Omega $$

Descripción de las figuras

Figura 3. Las reactancias en paralelo se combinan mediante la relación de producto sobre suma o mediante el recíproco de la suma de los recíprocos, del mismo modo que las resistencias. Una vez más, la reactancia capacitiva se considera negativa.

Obsérvese que la corriente total del circuito está en fase con la tensión en la resistencia y se atrasa respecto de la tensión aplicada en 37°.

Algunos cálculos de prueba con la ecuación 3 muestran que, si $$ X_s $$ es tres veces mayor que $$ R_s $$, o más, la impedancia total es solamente un 5 % mayor que $$ X_s $$. De la misma manera, si $$ R_s > 3X_s $$, $$ Z $$ es mayor que $$ R_s $$ en solo un 5 %.

En estos casos, suele ser útil despreciar el menor de los valores $$ X_s $$ o $$ R_s $$, de modo que $$ Z \approx R_s $$ si $$ X_s $$ es pequeño, o $$ Z \approx X_s $$ si $$ R_s $$ es pequeño.

Figura 4. La resistencia y la reactancia no pueden sumarse ni restarse directamente. La combinación, llamada impedancia (Z), se obtiene por suma fasorial.

Términos de la figura traducidos al español

• Phase angle of inductor voltage: ángulo de fase de la tensión del inductor.
• Phase angle of applied voltage: ángulo de fase de la tensión aplicada.
• Phase angle of resistor voltage and circuit current: ángulo de fase de la tensión en la resistencia y de la corriente del circuito.
• Leading events: fenómenos adelantados.
• Lagging events: fenómenos atrasados.
• Impedance: impedancia.
• Resistance: resistencia.
• Reactance: reactancia.
• Phasor addition: suma fasorial.

Resistencia y reactancia en paralelo

Resistencia y reactancia en paralelo: Cuando una resistencia y una reactancia aparecen en paralelo, la impedancia equivalente es siempre menor que la menor de las dos, pero nunca menor que 0,707 veces la más pequeña. El desfase es característico de la reactancia involucrada: la corriente total se atrasa respecto de la tensión aplicada en el caso de la inductancia, y se adelanta en el caso de la capacitancia. La impedancia exacta y el ángulo de fase pueden calcularse así:

$$ Z = \frac{X_p R_p}{\sqrt{X_p^2 + R_p^2}} $$

$$ \theta = \arctan\left(\frac{R_p}{X_p}\right) $$

En el circuito en paralelo puede demostrarse que, si $$ X_p $$ es al menos tres veces mayor que $$ R_p $$ (o viceversa), la impedancia de la combinación en paralelo es menor que el valor más pequeño ($$ X_p $$ o $$ R_p $$) en solo un 5 %. Aquí nuevamente suele ser apropiado y útil despreciar el mayor de los dos valores en paralelo ($$ X_p $$ o $$ R_p $$), de modo que $$ Z \approx X_p $$ si $$ R_p $$ es grande, o $$ Z \approx R_p $$ si $$ X_p $$ es grande.

Estas simplificaciones pueden ser de gran ayuda para analizar circuitos equivalentes de inductores reales y transformadores. Algunos ejemplos se muestran en la Fig. 4-5.

Ejemplos de la figura 5

(a) En un circuito con $$ R = 15\ \Omega $$ y $$ X_L = 90\ \Omega $$:

$$ Z = \sqrt{X^2 + R^2} $$

$$ Z = \sqrt{90^2 + 15^2} $$

$$ Z = 91.2\ \Omega $$

$$ Z \approx X_L $$

(b) En un circuito en paralelo con $$ R = 56\ \Omega $$ y $$ X_L = 105\ \Omega $$:

$$ Z = \frac{XR}{\sqrt{X^2 + R^2}} $$

$$ Z = \frac{105 \times 56}{\sqrt{105^2 + 56^2}} $$

$$ Z = 49.4\ \Omega $$

(c) Si $$ R = 200\ \Omega $$, $$ X_C = -75\ \Omega $$ y $$ X_L = 82\ \Omega $$, primero se combinan las reactancias en paralelo:

$$ X_C \parallel X_L = \frac{82(-75)}{82 - 75} $$

$$ X_C \parallel X_L = -879\ \Omega $$

Como $$ X > 3R $$, entonces:

$$ Z \approx R = 200\ \Omega $$

Traducción del pie de figura

Figura 5. (a) La resistencia en serie es despreciable si la reactancia es tres veces mayor o más.

(b) La ecuación 5 siempre da una impedancia en paralelo menor que el menor valor de X o R.

(c) Las reactancias en paralelo se combinan primero, dando una reactancia neta mucho mayor que R, de modo que $$ Z \approx X_p $$. El valor exacto de Z, según la ecuación 5, es 195 \Omega.

Circuitos equivalentes en serie y en paralelo

Circuitos equivalentes en serie y en paralelo: Cualquier circuito paralelo R–X puede ser reemplazado por un circuito equivalente en serie R–X usando las siguientes ecuaciones:

$$ R_s = X_p \frac{X_p R_p}{X_p^2 + R_p^2} $$

$$ X_s = R_p \frac{X_p R_p}{X_p^2 + R_p^2} $$

De manera inversa, cualquier circuito en serie R–X puede ser reemplazado por un circuito equivalente en paralelo usando las ecuaciones:

$$ R_p = \frac{X_s^2 + R_s^2}{R_s} $$

$$ X_p = \frac{X_s^2 + R_s^2}{X_s} $$

Por supuesto, estas equivalencias son válidas solamente para la frecuencia particular en la cual se ha calculado la reactancia. Obsérvese también que todas las reactancias deben colocarse en estas fórmulas como magnitudes absolutas, es decir, sin signo.

Aunque la reactancia capacitiva ha sido considerada negativa, puede restarse solamente de la reactancia inductiva $$ (X_L - X_C\ \text{válido}) $$, pero no de la resistencia $$ (R - X_C\ \text{inválido}) $$.

Usando los métodos de combinación de reactancias ilustrados anteriormente, junto con las fórmulas de equivalencia, es posible reducir la mayoría de los circuitos que contienen numerosos componentes R, X_L y X_C a un solo equivalente R–X en serie o en paralelo.

Ejemplo 1

La Fig. 6(a) muestra un circuito RLC serie-paralelo. Este circuito representa un transformador real, aunque eso se analizará más adelante. Por ahora, se debe determinar la potencia entregada a R₂, que representa la carga.

Descripción de la figura

Figura 6. Circuito del Ejemplo 1 que ilustra la conversión de paralelo a serie en redes R–X: (a) representación inicial del transformador; (b) circuito reducido a un equivalente serie simple.

Solución

Primero es necesario calcular las reactancias:

$$ X_{L1} = 2\pi f L_1 $$

$$ X_{L1} = 2\pi \cdot 4000 \cdot 0.9 \times 10^{-3} = 22.6\ \Omega $$

$$ X_{L2} = 2\pi f L_2 $$

$$ X_{L2} = 2\pi \cdot 4000 \cdot 3 \times 10^{-3} = 75.4\ \Omega $$

$$ X_C = -\frac{1}{2\pi f C} $$

$$ X_C = -\frac{1}{2\pi \cdot 4000 \cdot 0.06 \times 10^{-6}} = -663\ \Omega $$

Las reactancias $$ X_{L2} $$ y $$ X_C $$ se combinan en paralelo:

$$ X_p = \frac{X_{L2} X_C}{X_{L2} + X_C} $$

$$ X_p = \frac{75.4(-663)}{75.4 - 663} = 85.1\ \Omega $$

Ahora la combinación en paralelo de R₂ y $$ X_p $$ puede convertirse a su equivalente en serie:

$$ R_s = X_p \frac{X_p R_2}{X_p^2 + R_2^2} $$

$$ R_s = 85.1 \times 0.459 = 39.1\ \Omega $$

$$ X_s = R_2 \frac{X_p R_2}{X_p^2 + R_2^2} $$

$$ X_s = 56 \times 0.459 = 25.7\ \Omega $$

El circuito equivalente queda como en la Fig. 6(b), y consiste en una resistencia total en serie y una reactancia inductiva:

$$ R_T = R_1 + R_s = 12 + 39.1 = 51.1\ \Omega $$

$$ X_T = X_{L1} + X_s = 22.6 + 25.7 = 48.3\ \Omega $$

$$ Z_T = \sqrt{X_T^2 + R_T^2} $$

$$ Z_T = \sqrt{48.3^2 + 51.1^2} = 70.3\ \Omega $$

La corriente total es:

$$ I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{70.3} = 1.42\ A $$

Esta corriente circula a través de la impedancia de C, R₂ y L₂ en paralelo, produciendo una tensión en R₂:

$$ Z_p = \frac{X_p R_2}{\sqrt{X_p^2 + R_2^2}} $$

$$ Z_p = \frac{85.1 \times 56}{\sqrt{85.1^2 + 56^2}} = 46.8\ \Omega $$

$$ V_{R2} = I Z_p = 1.42 \times 46.8 = 66.5\ V $$

Finalmente, la potencia en la carga es:

$$ P_{R2} = \frac{V^2}{R} = \frac{66.5^2}{56} = 78.9\ W $$

Conceptos básicos de resonancia

Esta sección analiza los efectos de la resonancia y los circuitos sintonizados. Luego de esto, estaremos en condiciones de comenzar a estudiar los inductores reales.

Resonancia en serie

Puede haberse observado que en el ejemplo de la Fig. 2(d), las reactancias inductiva y capacitiva se cancelan exactamente, dejando una reactancia neta igual a cero. Esta condición de cortocircuito ocurre únicamente a una frecuencia, llamada frecuencia de resonancia, dada por:

$$ f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

donde $$ f_r $$ está en hertz, $$ L $$ en henrios y $$ C $$ en faradios. A bajas frecuencias predomina la reactancia capacitiva, y a altas frecuencias predomina la reactancia inductiva.

Por lo tanto, se tiene un circuito sintonizado en serie que puede colocarse en serie con una línea para dejar pasar solo la frecuencia de resonancia, o en derivación para bloquear (rechazar) dicha frecuencia.

Factor de calidad del circuito en serie (Q)

Naturalmente, el circuito sintonizado en serie no es un cortocircuito perfecto en resonancia. La bobina posee cierta resistencia, que puede aumentar debido al efecto pelicular (skin effect) a altas frecuencias, y el capacitor puede presentar pérdidas apreciables.

Estas pérdidas pueden representarse como una resistencia adicional en serie. La relación entre la reactancia (de la bobina o del capacitor en resonancia) y la resistencia total en serie se denomina factor de calidad o Q:

$$ Q = \frac{X_L}{R_s} = \frac{X_C}{R_s} $$

Cuando un circuito sintonizado en serie se utiliza junto con una resistencia de carga y/o una resistencia de fuente, toda la resistencia en serie debe incluirse en $$ R_s $$ al determinar Q.

Ejemplo de cálculo

Frecuencia de resonancia:

$$ f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

$$ f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \times 0.253 \times 10^{-6}}} $$

$$ f_r = 1000\ \text{Hz} $$

Reactancia inductiva:

$$ X_L = 2\pi f L $$

$$ X_L = 2\pi \times 1000 \times 0.1 = 628\ \Omega $$

Factor de calidad:

$$ Q = \frac{X_L}{R_T} = \frac{628}{125.6} = 5 $$

Ancho de banda:

$$ BW \approx \frac{f_r}{Q} = \frac{1000}{5} = 200\ \text{Hz} $$

Descripción de la figura

Figura 7. El factor de calidad Q de un circuito sintonizado en serie se define como la relación entre la reactancia y la resistencia total en serie en resonancia. (a) circuito en resonancia; (b) respuesta en frecuencia fuera de la resonancia.

El ancho de banda (BW) se define como el intervalo entre los puntos de -3 dB, equivalentes al 70.7 % del valor máximo de tensión.

Ancho de banda (Bandwidth)

La corriente a través de un circuito sintonizado en serie es máxima en resonancia y disminuye por encima o por debajo de esa frecuencia, a medida que aparece una reactancia inductiva o capacitiva neta en el circuito.

El análisis de circuitos en serie permite determinar la respuesta de corriente a cualquier frecuencia, y una gráfica de estos resultados se muestra en la Fig. 7(b).

De particular interés son las frecuencias en las cuales la respuesta cae 3 dB (es decir, al 70,7 % del valor máximo). Estas se denominan frecuencias de corte inferior $$ f_1 $$ y superior $$ f_2 $$, o también puntos de media potencia.

El intervalo entre ellas se denomina ancho de banda y se aproxima por:

$$ BW = \frac{f_r}{Q} $$

Esta aproximación mejora a medida que el factor Q aumenta, siendo el error de aproximadamente un 5 % cuando Q = 5.

El ancho de banda es fácil de medir experimentalmente, y un ancho de banda estrecho (alto Q) es generalmente una característica deseable en un circuito sintonizado.

Para frecuencias alejadas de $$ f_1 $$ y $$ f_2 $$, la respuesta puede estimarse mediante la siguiente tabla:

Las frecuencias pueden calcularse mediante:

$$ f_1 = \frac{f_r}{N\left(\frac{BW}{2}\right) + 1} $$

$$ f_2 = f_r \left( N\frac{BW}{2} + 1 \right) $$

Aumento de tensión en resonancia

Obsérvese que en el circuito de la Fig. 7(a), la impedancia total vista por la fuente en resonancia es de 125.6 Ω, puramente resistiva, y la corriente es:

$$ I = \frac{V}{R} = \frac{126.5}{125.6} = 1\ A $$

Esta corriente circula a través de $$ X_C $$ y $$ X_L $$, produciendo tensiones en cada uno, aun cuando sus reactancias se cancelan.

$$ V_{XL} = V_{XC} = I X = 1 \times 628 = 628\ V $$

Estas tensiones son mayores que la tensión de la fuente por un factor igual a Q (cinco veces en este caso). En general:

$$ V_{XL} = V_{XC} = Q V_G $$

Para un circuito resonante en serie, donde $$ V_G $$ es la tensión del generador en circuito abierto y Q se calcula utilizando la resistencia total del circuito.

Por ejemplo, si Q = 50 y $$ V_G = 100\ V $$, la tensión en el capacitor sería 5000 V. Esto no es solo teórico: el aumento de tensión en resonancia debe considerarse al seleccionar los componentes.

Dado que $$ V_{XL} $$ adelanta la corriente en 90° y $$ V_{XC} $$ se atrasa en 90°, ambas tensiones están desfasadas 180° y se cancelan entre sí. Por lo tanto, las tensiones en los elementos del circuito suman la tensión del generador.

Resonancia en paralelo

Resonancia en paralelo: En el circuito de la Fig. 3(c), se colocaron en paralelo reactancias capacitivas e inductivas iguales, y la reactancia resultante se elevó hasta infinito. Esto ocurre porque las dos corrientes $$ I_L = \frac{V}{X_L} $$ e $$ I_C = \frac{V}{X_C} $$ son iguales y están exactamente desfasadas 180^\circ, dando como resultado una corriente total nula.

Descripción de la figura

Figura 8. Circuito sintonizado en paralelo: (a) forma práctica con resistencias del generador, de la carga y de la bobina en serie; (b) circuito equivalente con todas las resistencias representadas en paralelo. El factor de calidad del circuito en paralelo puede expresarse como $$ Q_p = \frac{R_{p(\text{tot})}}{X_p} $$.

La Figura 8(a) muestra un circuito resonante en paralelo real, que incluye la resistencia serie inevitable de la bobina. Es posible transformar este circuito a un equivalente en paralelo a partir de sus parámetros serie, pero si el factor de calidad Q es suficientemente alto, se pueden utilizar las siguientes aproximaciones simples:

$$ X_{Lp} = X_{Ls} $$

$$ R_p = \frac{X^2}{R_s} $$

El error cometido cuando $$ Q_{coil} = 5 $$ es del 4 %, y disminuye al 1 % cuando $$ Q = 10 $$.

El Q del circuito completo puede determinarse ahora a partir del circuito equivalente de la Fig. 8(b), con $$ R_G $$, $$ R_L $$ y $$ R_p $$ apareciendo en paralelo:

$$ Q_p = \frac{R_{p(\text{tot})}}{X_{Lp}} = \frac{R_{p(\text{tot})}}{X_C} $$

La tensión máxima de salida en resonancia es:

$$ V_{RL} = V_G \frac{R_p \parallel R_L}{R_G + R_p \parallel R_L} $$

La curva de la Fig. 7(b) puede utilizarse para determinar la salida a otras frecuencias.

Obsérvese que en líneas de alta impedancia ($$ R_G $$ y $$ R_L $$ superiores a 100\ \Omega, aproximadamente), el mayor valor de Q se obtiene con un circuito resonante en paralelo conectado a través de la línea, mientras que las líneas de baja impedancia se sintonizan con mayor selectividad mediante un circuito resonante en serie conectado en serie con la línea.

También debe tenerse en cuenta que, en el circuito en paralelo, una relación baja $$ L/C $$ (inductancia pequeña y capacitancia grande) produce reactancias menores en resonancia y, por lo tanto, un Q mayor. En cambio, en el circuito en serie, una relación alta $$ L/C $$ permite una sintonización más selectiva.

Parte de la ventaja de aumentar $$ L $$ en el circuito serie se ve compensada por el aumento inevitable de la resistencia $$ R_s $$ de la bobina al incrementar el número de espiras. Sin embargo, la inductancia aumenta aproximadamente con el cuadrado del número de espiras, mientras que la resistencia lo hace de forma lineal, por lo que el aumento de inductancia sigue siendo beneficioso.

Términos relacionados :

• Inductancia. (Inductance)
• Reactancia. (Reactance)
• Reactancia inductiva. (Inductive reactance)
• Reactancia capacitiva. (Capacitive reactance)
• Bobina. (Coil)
• Campo magnético. (Magnetic field)
• Corriente alterna. (Alternating current, AC)
• Tensión inducida. (Induced voltage)
• Autoinducción. (Self-induction)
• Inductor. (Inductor)
• Electroimán. (Electromagnet)
• Generador. (Generator)
• Número de espiras. (Number of turns)
• Frecuencia. (Frequency)
• Desfase. (Phase shift)
• Ángulo de fase. (Phase angle)
• Corriente atrasada. (Lagging current)
• Corriente adelantada. (Leading current)
• Resistencia. (Resistance)
• Impedancia. (Impedance)
• Suma fasorial. (Phasor addition)
• Circuito en serie. (Series circuit)
• Circuito en paralelo. (Parallel circuit)
• Combinación de reactancias. (Reactance combination)
• Producto sobre suma. (Product over sum rule)
• Recíproco de la suma de recíprocos. (Reciprocal sum method)
• Energía almacenada. (Stored energy)
• Intercambio de energía. (Energy exchange)
• Condensador. (Capacitor)
• Inductancia en henrios. (Inductance in henrys)

Trampas resonantes

Trampas resonantes: La Figura 9(a) y (b) muestran, respectivamente, una trampa resonante en serie conectada en derivación sobre la línea y una trampa resonante en paralelo conectada en serie con la línea, junto con fórmulas aproximadas para su Q y para la salida mínima en el punto de anulación.

Estas fórmulas son aproximadas y su exactitud disminuye notablemente cuando Q es menor que 5. También se supone que $$ R_s $$ es mucho menor que $$ R_G $$ o $$ R_L $$.

Obsérvese que la profundidad de la anulación depende completamente de $$ R_s $$, mientras que la agudeza o selectividad de la anulación depende de la relación entre la reactancia en resonancia y la impedancia de línea.

Al igual que en los circuitos sintonizados con realce, las trampas resonantes en serie sintonizan con mayor agudeza cuando la relación $$ L/C $$ es alta sobre una línea de baja impedancia, mientras que las trampas resonantes en paralelo alcanzan el mayor Q con una relación $$ L/C $$ baja sobre una línea de alta impedancia.

Ejemplo 2

Diseñar un circuito sintonizado con una banda de paso de -3 dB desde 110 hasta 140 kHz. La resistencia de la fuente es de 40 kΩ y la impedancia de carga es prácticamente infinita. Se dispone de una bobina de 2.5 mH con un Q de 8.0 a 125 kHz.

Solución

Descripción de la figura

Figura 9. Trampas resonantes: (a) circuito sintonizado en serie conectado en derivación sobre la línea;

(b) circuito sintonizado en paralelo conectado en serie con la línea;

(c) curva de respuesta que muestra el ancho de banda y la profundidad de la anulación.

En la curva de respuesta, el ancho de banda viene dado aproximadamente por:

$$ Bw = \frac{f_r}{Q} $$

Despejando la capacitancia requerida, se obtiene:

$$ C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L} $$

$$ C = \frac{1}{4\pi^2 (125 \times 10^3)^2 \times 2.5 \times 10^{-3}} = 648\ pF $$

El Q requerido si se utiliza el circuito resonante en paralelo de la Fig. 8(a) es:

$$ Q = \frac{f_r}{Bw} = \frac{125\ kHz}{30\ kHz} = 4.17 $$

La resistencia en paralelo necesaria para producir este valor se obtiene a partir de:

$$ X_L = 2\pi fL = 1960\ \Omega $$

$$ R_p = QX = 4.17 \times 1960 = 8.17\ k\Omega $$

La resistencia serie de la bobina y su equivalente en paralelo son:

$$ R_s = \frac{X}{Q} = \frac{1960}{8.0} = 245\ \Omega $$

$$ R_p = \frac{X^2}{R_s} = 15.68\ k\Omega $$

La resistencia efectiva en paralelo de $$ R_G $$ y $$ R_p $$ es:

$$ 40\ k\Omega \parallel 15.68\ k\Omega = 11.26\ k\Omega $$

Por lo tanto, debe agregarse una resistencia en derivación que reduzca la resistencia total en paralelo al valor necesario de 8.17 kΩ, colocándola en la posición de $$ R_L $$ en la Fig. 8(a). Su valor se calcula mediante producto sobre diferencia:

$$ R_L = \frac{R_E R_T}{R_E - R_T} $$

$$ R_L = \frac{11.26 \times 8.17}{11.26 - 8.17}\ k\Omega = 29\ k\Omega $$

La práctica de conectar un circuito sintonizado en derivación para disminuir su Q y ampliar el ancho de banda es de uso común.