14 - Una autoinducción de reactancia 10 Ω y un condensador de reactancia 25 Ω (medidas a 60 ciclos/seg) se encuentran conectados en serie con una resistencia de 10 Ω a una línea de corriente alterna de 60 ciclos y diferencia de potencial eficaz 100 V.
a) Calcúlese el voltaje entre los bornes de cada parte del circuito.
b) Hállense las expresiones del voltaje y de la intensidad instantáneas en la línea.

a) Voltajes en cada componente del circuito

1. Impedancia total del circuito

Sabemos que en serie:

2. Corriente eficaz del circuito

3. Voltajes eficaces en cada parte:

Observación: Aunque la fuente tiene 100 V, en circuitos RLC los voltajes pueden ser mayores que la tensión de la fuente debido al desfase (son fasores, no suman algebraicamente).

b) Expresiones del voltaje e intensidad instantáneas

Forma general de la tensión

Fase de la corriente

Como X_C > X_L​ , el circuito es capacitivo ⇒ la corriente se adelanta respecto de la tensión.

Ángulo de desfase ϕ:

Corriente instantánea

Resumen final:

a) Voltajes eficaces:

b) Expresiones instantáneas:

15 - Una resistencia de 400 Ω está en serie con una autoinducción de 0,1 henrio y un condensador de 0,5 µf.
Calcúlese la impedancia del circuito y dibújese el diagrama del vector impedancia:
a) a la frecuencia de 500 ciclos/seg;
b) a la frecuencia de 1000 ciclos/seg.
Hállese, en cada caso, la diferencia de fase entre la intensidad de la corriente y el voltaje en la línea, y dígase si la intensidad de la corriente está retrasada o adelantada.

Datos del circuito:

Formulación general:

a) Frecuencia de 500 Hz

Cálculo de reactancias:

Reactancia neta:

Impedancia total:

Fase:

⇒ Corriente adelantada respecto a la tensión (circuito capacitivo).

b) Frecuencia de 1000 Hz

Reactancias:

Reactancia neta:

Impedancia total:

Fase:

⇒ Corriente también adelantada respecto a la tensión.

Resumen final:

16 - El circuito de corriente alterna siguiente,  (Fig. a) tiene una corriente de 2 A que pasa por una R de 173 Ω en serie con una X_L de 100 Ω. Encuéntrense el factor de potencia, el voltaje aplicado V, la potencia real P, la potencia reactiva Q y la potencia aparente S.

Paso 1. Obténgase el ángulo de fase θ, cos θ y la impedancia Z por medio del triángulo de impedancias (figura b)

Paso 2: Tensión aplicada

Paso 3: Potencia real P

Paso 4: Potencia reactiva Q y aparente S

17 - Un circuito de corriente alterna RL paralelo tiene aplicados 100 V pico entre R = 20 Ω y X_L = 20 Ω (ver figura (a) siguiente ). Encuéntrense I_R, I_L, I_T y θ. (Véase la figura (b) siguiente) Dibújense el diagrama de fasores y diagramas temporales de v_T, i_R, i_L e i_T.

Datos:

• Tensión pico aplicada: V_T = 100 V
• Resistencia: R = 20 Ω
• Reactancia inductiva: X_L = 20 Ω

1. Corriente por la resistencia (I_R):

La corriente a través de la resistencia está en fase con la tensión:

I_R = V_T / R = 100 V / 20 Ω = 5 A (pico, ∠ 0°)

2. Corriente por la inductancia (I_L):

La corriente en una inductancia ideal se atrasa 90° respecto de la tensión:

I_L = V_T / X_L = 100 V / 20 Ω = 5 A (pico, ∠ -90°)

3. Corriente total (I_T):

Como las ramas están en paralelo, sumamos las corrientes como fasores:

I_T = I_R + I_L = 5 ∠ 0° + 5 ∠ -90°

Expresado en forma rectangular: I_T = 5 - j5

Módulo: |I_T| = √(5² + 5²) = √50 ≈ 7.07 A (pico)

Ángulo de fase: θ = arctan(-5 / 5) = -45°

4. Impedancia total del circuito (Z_T):

Calculamos la impedancia equivalente de las ramas en paralelo:

Z_R = 20 Ω ; Z_L = j20 Ω

1 / Z_T = 1 / 20 + 1 / j20 = 0.05 - j0.05 S

Z_T = 1 / (0.05 - j0.05) = (0.05 + j0.05) / (0.05² + 0.05²) = (0.05 + j0.05) / 0.005 = 10 + j10 Ω

En forma polar: |Z_T| = √(10² + 10²) = √200 ≈ 14.14 Ω, ∠ = 45°

Resumen final:

• I_R = 5 A pico (∠ 0°)
• I_L = 5 A pico (∠ -90°)
• I_T = 7.07 A pico (∠ -45°)
• Z_T = 14.14 Ω (∠ 45°)

18 - Ejercicio resuelto: Circuito R - L en serie

a) Enunciado:

Una resistencia pura y una autoinducción pura están en serie y conectadas a una línea de corriente alterna de 100 V. Un voltímetro para corriente alterna da la misma lectura cuando se conecta en paralelo a la resistencia y a la autoinducción.

¿Cuánto señala?

Solución:

Como el voltímetro mide lo mismo en ambos elementos, entonces:

• V_R = V_L

La tensión total es:

V_T² = V_R² + V_L² = 2V_R²

Entonces:

V_R = V_L = V = V_T / √2 = 100 V / 1.414 ≈ 70.7 V

b) Enunciado:

Los valores de la resistencia y de la autoinducción de la parte a) se modifican de modo que un voltímetro colocado en paralelo con la autoinducción señale 50 V.

¿Cuál será la indicación del voltímetro cuando se conecte en paralelo con la resistencia?

Solución:

Dado: V_L = 50 V, V_T = 100 V

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

V_R² = V_T² - V_L² = 100² - 50² = 10,000 - 2,500 = 7,500

V_R = √7,500 ≈ 86.6 V

Resultados:

• a) Lectura del voltímetro: 70.7 V
• b) Lectura del voltímetro en la resistencia: 86.6 V

19 - El voltaje eficaz entre los bornes de un generador de corriente alterna es 100 V y la llamada frecuencia angular ω = 2πf es 500 rad/seg.
Entre los bornes del generador hay conectados en serie una resistencia de 3 Ω, un condensador de 50 µf y una autoinducción que puede variarse de 10 a 80 milihenrios.
El voltaje máximo (Vmáx) entre las armaduras del condensador no debe exceder de 1200 V.
a) ¿Cuál es la máxima intensidad de corriente eficaz admisible en el circuito en serie?
b) ¿Hasta qué valor puede aumentarse la autoinducción sin sobrepasar el límite de seguridad?

Datos:

• Voltaje eficaz del generador: V = 100 V
• Frecuencia angular: ω = 2πf = 500 rad/s
• Resistencia: R = 3 Ω
• Capacitancia: C = 50 µF = 50 × 10^-6 F
• Inductancia variable: L de 10 a 80 mH = 0.01 a 0.08 H
• Voltaje máximo permitido en el capacitor: V_c(máx) = 1200 V

a) ¿Cuál es la máxima intensidad de corriente eficaz admisible en el circuito en serie?

Sabemos que en un circuito RLC serie:

V_C(máx) = I_ef × X_C

Donde:

• X_C = 1 / (ωC) = 1 / (500 × 50 × 10^-6) = 1 / 0.025 = 40 Ω

Entonces, la corriente máxima permitida es:

I_ef(máx) = V_C(máx) / X_C = 1200 / 40 = 30 A

b) ¿Hasta qué valor puede aumentarse la autoinducción sin sobrepasar el límite de seguridad?

Condición: corriente eficaz máxima permitida: I = 30 A

La tensión total eficaz en el circuito es 100 V, entonces usamos la impedancia total:

Z = V / I = 100 / 30 = 3.33 Ω

Impedancia en circuito RLC serie:

Z = √(R² + (X_L - X_C)²)

Ya tenemos:

• R = 3 Ω
• X_C = 40 Ω
• Z = 3.33 Ω

Entonces:

Z² = R² + (X_L - X_C)² → (X_L - 40)² = Z² - R²

(3.33)² - 3² = 11.09 - 9 = 2.09

X_L - 40 = ±√2.09 ≈ ±1.446

X_L = 40 ± 1.446

Dado que se busca el valor máximo de L (sin exceder 1200 V en el capacitor), usamos:

X_L = 41.45 Ω

Entonces:

L = X_L / ω = 41.45 / 500 = 0.0829 H = 82.9 mH

Resultados finales:

• a) Corriente eficaz máxima admisible: 30 A
• b) Valor máximo admisible de la inductancia: 82.9 mH

20 - Una bobina de resistencia 10 Ω y cuya autoinducción es 15 milihenrios se halla en serie con una resistencia de 12 Ω y un condensador de 200 µf de capacidad, y el conjunto conectado a una línea de corriente alterna de 100 V y 60 ciclos.
Calcúlese el voltaje entre los terminales de la bobina.

Enunciado:

Una bobina de resistencia 10 Ω y autoinducción 15 mH está en serie con una resistencia de 12 Ω y un condensador de 200 µF. El conjunto se conecta a una línea de corriente alterna de 100 V y 60 Hz.

Se pide: Calcular el voltaje entre los terminales de la bobina.

Datos:

• R_b = 10 Ω (resistencia de la bobina)
• L = 15 mH = 0.015 H
• R = 12 Ω (resistencia adicional)
• C = 200 µF = 200 × 10^-6 F
• V_total = 100 V (rms)
• f = 60 Hz

1. Cálculo de la reactancia inductiva X_L:

X_L = 2πfL = 2 × 3.1416 × 60 × 0.015 ≈ 5.65 Ω

2. Cálculo de la reactancia capacitiva X_C:

X_C = 1 / (2πfC) = 1 / (2 × 3.1416 × 60 × 200 × 10^-6) ≈ 13.26 Ω

3. Impedancia total Z:

• R_total = R + R_b = 12 + 10 = 22 Ω
• X_total = X_L - X_C = 5.65 - 13.26 = -7.61 Ω

Z = √(R² + X²) = √(22² + (-7.61)²) ≈ √(484 + 57.91) ≈ √541.91 ≈ 23.28 Ω

4. Corriente eficaz en el circuito:

I = V / Z = 100 / 23.28 ≈ 4.29 A

5. Voltaje en la bobina:

La bobina tiene dos componentes: una resistencia de 10 Ω y una reactancia de 5.65 Ω.

• V_Rb = I × R_b = 4.29 × 10 = 42.9 V
• V_L = I × X_L = 4.29 × 5.65 ≈ 24.23 V

Voltaje total en la bobina (por Pitágoras, ya que R y X_L están en cuadratura):

V_bobina = √(42.9² + 24.23²) ≈ √(1840.41 + 587.11) ≈ √2427.52 ≈ 49.27 V

Resultado final:

El voltaje entre los terminales de la bobina es aproximadamente: 49.3 V (rms)

21 - Los puntos a y b de la figura siguiente, son los terminales de una línea de corriente alterna de 60 ciclos.
El voltaje eficaz entre a y b es 130 V.
Si R₁ = 6 Ω, R₂ = R₃ = 3 Ω, X_C = 3 Ω, X_L = 8 Ω, calcúlese:
a) la intensidad de la corriente en el circuito;
b) el voltaje entre a y c;
c) el voltaje entre c y d.

Enunciado:

Los puntos a y b de la figura del problema 20, son los terminales de una línea de corriente alterna de 60 Hz. El voltaje eficaz entre a y b es 130 V.

Se tienen los siguientes valores: R₁ = 6 Ω, R₂ = 3 Ω, R₃ = 3 Ω, X_L = 8 Ω, X_C = 3 Ω

Se pide calcular:

1. La intensidad de la corriente en el circuito
2. El voltaje entre a y c
3. El voltaje entre c y d

1. Análisis del circuito:

Todo el circuito entre los puntos a y b está conectado en serie, por lo tanto:

• Impedancia inductiva: X_L = 8 Ω
• Resistencia R₁ = 6 Ω
• Capacitor: X_C = 3 Ω
• Resistencia R₂ = 3 Ω
• Resistencia R₃ = 3 Ω

El circuito completo consta entonces de: X_L, R₁, X_C, R₂ y R₃ todos en serie.

2. Impedancia total del circuito:

• Resistencia total: R_T = R₁ + R₂ + R₃ = 6 + 3 + 3 = 12 Ω
• Reactancia total: X_T = X_L - X_C = 8 - 3 = 5 Ω

Z = √(R² + X²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 Ω

3. Corriente en el circuito:

I = V / Z = 130 V / 13 Ω = 10 A (eficaz)

4. Voltaje entre a y c (V_ac):

Este tramo incluye X_L y R₁ en serie:

• V_XL = I × X_L = 10 × 8 = 80 V
• V_R1 = I × R₁ = 10 × 6 = 60 V

Como están en cuadratura (90°), usamos Pitágoras:

V_ac = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 V

5. Voltaje entre c y d (V_cd):

Este tramo incluye el capacitor (X_C) y R₂, en serie:

• V_XC = I × X_C = 10 × 3 = 30 V
• V_R2 = I × R₂ = 10 × 3 = 30 V

Nuevamente, están en cuadratura (capacitor 90° desfasado de resistencia):

V_cd = √(30² + 30²) = √(900 + 900) = √1800 ≈ 42.4 V

Resultados finales:

• a) Intensidad de corriente eficaz: 10 A
• b) Voltaje entre a y c: 100 V
• c) Voltaje entre c y d: 42.4 V