El transformador ideal (The Ideal Transformer)

Idea básica: Si dos conductores se utilizan para enrollar simultáneamente dos bobinas sobre un mismo núcleo, se obtiene un transformer (transformador). Cuando se aplica una tensión alterna al devanado primario, circula una corriente $$ I_P = \frac{V_G}{X_P} $$, donde X_P es la reactancia del primario.

Dado que la reactancia es inductiva, la corriente se retrasa 90° respecto a la tensión, generando un campo magnético variable. Este campo induce una tensión en el devanado secundario, proporcional a la variación del flujo magnético. Para una señal senoidal, la tensión inducida también es senoidal y está en fase con la entrada.

Si el número de espiras del primario y secundario es igual ($$ N_P = N_S $$), y todo el flujo se acopla, la tensión secundaria es igual a la primaria.

Aislamiento (Isolation)

Figura 1. Transformador básico: (a) el devanado primario genera un campo magnético variable que induce una tensión en el devanado secundario; (b) la tensión secundaria es proporcional a la velocidad de variación de la corriente en el primario, por lo que queda en fase con la onda senoidal de entrada.

Una ventaja importante es el aislamiento eléctrico: el secundario no está conectado directamente al primario ni a tierra. Esto permite referenciar la señal a distintos niveles de potencial sin riesgos, siendo muy utilizado en sistemas electrónicos.

Transformación de tensión (Voltage Transformation)

Figura 2. Un transformador (transformer) puede elevar la tensión a expensas de la corriente (a), o reducir la tensión para obtener mayor corriente (b), pero la potencia de entrada debe ser igual a la potencia de salida.

La relación entre tensiones y espiras está dada por:

$$ \frac{V_S}{V_P} = \frac{N_S}{N_P} = n $$

donde n es la relación de transformación. Si se conecta una carga, circula una corriente secundaria $$ I_S = \frac{V_S}{R_L} $$ y la potencia entregada es:

$$ P = V_S I_S $$

En un transformador ideal (sin pérdidas), la potencia de entrada es igual a la de salida. Por lo tanto, al aumentar la tensión, la corriente disminuye proporcionalmente, y viceversa.

Las relaciones completas son:

$$ n = \frac{N_S}{N_P} = \frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S} $$

Ejemplo 1

Para un transformador con 300 V en el primario y relación de espiras 1000/3000:

$$ V_S = 300 \times \frac{1000}{3000} = 100\ V $$

$$ I_S = \frac{100}{200} = 0.5\ A $$

$$ I_P = 0.5 \times \frac{1000}{3000} = 0.167\ A $$

Resistencia reflejada (Reflected Resistance)

Figura 3. La resistencia (resistance) se refleja a través de un transformador (transformer) según el cuadrado de la relación de espiras: (a) circuito original; (b) resistencia de carga referida al primario; (c) tensión del generador y resistencia referidas al secundario.

La carga conectada al secundario se refleja en el primario como:

$$ R_{P(ref)} = \left(\frac{N_P}{N_S}\right)^2 R_L = \frac{R_L}{n^2} $$

Esto indica que la impedancia se transforma con el cuadrado de la relación de espiras.

Desde el secundario, la resistencia del generador se ve como:

$$ R_{S(ref)} = R_G n^2 $$

Por lo tanto, el transformador permite adaptar impedancias, además de modificar niveles de tensión y corriente.

Adaptación de impedancias

Figura 4. Adaptación de impedancias: (a) circuito con resistencia de fuente y carga variable; (b) potencia en la carga en función de la resistencia de carga.

Adaptación de impedancias: Las fuentes de señal siempre presentan cierta resistencia interna $$ R_G $$, a través de la cual deben suministrar corriente a una carga. Esto se ilustra en la Fig. 5-4(a).

Si la resistencia de carga se hace muy baja, la corriente en la carga será máxima, pero la potencia entregada será pequeña porque la tensión sobre ella también será baja y $$ P = IV $$. Si, por el contrario, la resistencia de carga es muy alta, la tensión sobre la carga será máxima, pero la corriente será pequeña, y nuevamente la potencia resultará baja.

Para un valor fijo de $$ R_G $$, la máxima potencia se entrega a la carga cuando $$ R_L = R_G $$. En ese caso se dice que la impedancia de la fuente y la de la carga están adaptadas. La Figura 4(b) muestra gráficamente los efectos de la adaptación y la desadaptación de impedancias.

Los transformadores suelen utilizarse para entregar la máxima potencia posible a una carga cuando la resistencia disponible del generador difiere considerablemente de la resistencia de carga. El siguiente ejemplo ilustra este método.

Ejemplo 2

Un experimentador desea alimentar un altavoz de 8 Ω con un generador de señal de 600 Ω en una prueba de audio. La tensión máxima en circuito abierto es de 40 V pico a pico. Se pide determinar la potencia entregada con una conexión directa, y luego hallar la relación de transformación necesaria para lograr la máxima transferencia de potencia y calcular la nueva potencia entregada.

Solución

Sin el transformador, como en la Fig. 5(a):

$$ V_{rms} = \frac{V_{pp}}{2\sqrt{2}} $$

$$ I_L = \frac{V_G}{R_T} = \frac{40\ \text{V p-p}}{2.82 \times 608\ \Omega} = 0.0233\ A $$

$$ P_L = I^2R = 0.0233^2 \times 8 = 4.3\ mW $$

Con el transformador, como en la Fig. 5(b), debe adaptarse una relación de impedancias de 600:8:

$$ \left(\frac{N_P}{N_S}\right)^2 = \frac{R_G}{R_L} = \frac{600}{8} = 75 $$

$$ \frac{N_P}{N_S} = \sqrt{75} = 8.66 $$

Figura 5. Adaptación de impedancias para maximizar la potencia entregada a una carga: (a) circuito desadaptado; (b) el transformador proporciona la adaptación; (c) circuito equivalente referido al secundario.

Por lo tanto, el transformador debe tener una relación reductora de 8.66:1.

Sin embargo, según la Fig. 4(b), este no es un valor extremadamente crítico. Una diferencia de hasta un factor de 2 en la relación de impedancias, hacia arriba o hacia abajo, solo provoca una pérdida aproximada del 11 % de la potencia de carga. Eso equivale a diferencias en la relación de espiras de aproximadamente \(\sqrt{2}\), es decir, cerca de 1.41 hacia arriba o hacia abajo.

Suponiendo un transformador ideal con relación primaria-secundaria de 8.66:1, el circuito equivalente referido a la carga, como en la Fig. 5(c), queda:

$$ V_{ref} = V_G \frac{N_S}{N_P} = \frac{40\ \text{V p-p}}{8.66 \times 2.82} = 1.64\ V_{rms} $$

$$ R_{ref} = R_G \left(\frac{N_S}{N_P}\right)^2 = \frac{600}{8.66^2} = 8.0\ \Omega $$

$$ I_L = \frac{V_{ref}}{R_T} = \frac{1.64\ V}{16\ \Omega} = 0.102\ A $$

$$ P_L = I^2R_L = 0.102^2 \times 8 = 83\ mW $$

La potencia de salida aumenta en una proporción de:

$$ \frac{84}{4.3} = 19.5 $$

Es decir, la adaptación de impedancias mediante transformador incrementa la potencia entregada a la carga aproximadamente 19.5 veces.

Términos relacionados :

• Núcleo magnético. (Magnetic core)
• Devanado primario. (Primary winding)
• Devanado secundario. (Secondary winding)
• Relación de espiras. (Turns ratio)
• Transformador ideal. (Ideal transformer)
• Flujo magnético. (Magnetic flux)
• Inducción electromagnética. (Electromagnetic induction)
• Fuerza electromotriz inducida. (Induced electromotive force)
• Corriente magnetizante. (Magnetizing current)
• Acoplamiento magnético. (Magnetic coupling)
• Flujo de dispersión. (Leakage flux)
• Reactancia de fuga. (Leakage reactance)
• Potencia aparente. (Apparent power)
• Potencia activa. (Active power)
• Potencia reactiva. (Reactive power)
• Impedancia reflejada. (Reflected impedance)
• Adaptación de impedancias. (Impedance matching)
• Pérdidas en el cobre. (Copper losses)
• Pérdidas en el núcleo. (Core losses)
• Pérdidas por histéresis. (Hysteresis losses)
• Corrientes de Foucault. (Eddy currents)
• Saturación del núcleo. (Core saturation)
• Tensión primaria. (Primary voltage)
• Tensión secundaria. (Secondary voltage)
• Corriente primaria. (Primary current)
• Corriente secundaria. (Secondary current)
• Transformador elevador. (Step-up transformer)
• Transformador reductor. (Step-down transformer)
• Transformador de aislamiento. (Isolation transformer)
• Regulación de tensión. (Voltage regulation)

Conclusión

El transformador ideal es un dispositivo fundamental en electrónica y sistemas de potencia, ya que permite transferir energía entre circuitos mediante acoplamiento magnético, proporcionando aislamiento, adaptación de impedancias y transformación de tensión y corriente sin pérdidas.