Impedancia compleja y notación fasorial
Introducción
El análisis de circuitos en régimen permanente senoidal tiene una gran importancia no solo porque las tensiones que suministran los generadores son, muy aproximadamente, funciones senoidales del tiempo, sino porque cualquier forma de onda periódica se puede sustituir por un término constante y una serie de términos de senos y cosenos. Se trata del método de Fourier de análisis de formas de ondas y será objeto de estudio en otro capítulo.
Existen muchos circuitos sencillos en los que las tensiones y corrientes son funciones senoidales del tiempo. Sin embargo, a pesar de tratarse de circuitos relativamente simples su análisis es muy pesado. Mediante el empleo de la notación fasorial en la representación de tensiones e intensidades de corriente y el concepto de impedancia compleja de los elementos del circuito, el estudio en régimen permanente senoidal se facilita en grado sumo.
En forma general, una señal senoidal puede representarse mediante una expresión del tipo:
\[
v(t)=V_m \sin(\omega t + \phi)
\]
o bien, utilizando notación exponencial compleja:
\[
v(t)=V_m e^{j(\omega t + \phi)}
\]
Impedancia compleja
Fig. 1
Consideremos el circuito serie RL de la Fig. 1, al que se le aplica una tensión:
\[
v(t)=V_m e^{j\omega t}
\]
Según la fórmula de Euler, esta función se descompone en un término en coseno y otro en seno:
\[
V_m e^{j\omega t}=V_m\cos \omega t+jV_m\sin \omega t
\]
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla o lazo, tendremos:
\[
Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}=V_m e^{j\omega t}
\]
Esta ecuación diferencial lineal es de primer orden y su solución particular es de la forma:
\[
i(t)=K e^{j\omega t}
\]
Sustituyendo esta función de corriente resulta:
\[
RK e^{j\omega t}+j\omega L K e^{j\omega t}=V_m e^{j\omega t}
\]
De donde:
\[
K=\frac{V_m}{R+j\omega L}
\]
Por lo tanto:
\[
i(t)=\frac{V_m}{R+j\omega L}e^{j\omega t}
\]
La relación entre las funciones de tensión e intensidad de corriente pone de manifiesto que la impedancia es un número complejo cuya parte real es el valor de \(R\), y cuya parte imaginaria es \(\omega L\):
\[
Z=\frac{v(t)}{i(t)}
=
\frac{V_m e^{j\omega t}}
{\left(\frac{V_m}{R+j\omega L}\right)e^{j\omega t}}
=
R+j\omega L
\]
Fig. 2
Consideremos ahora un circuito serie RC con la misma tensión aplicada:
\[
V_m e^{j\omega t}
\]
Como indica la Fig. 2, en este caso:
\[
Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t)\,dt=V_m e^{j\omega t}
\tag{1}
\]
Haciendo:
\[
i(t)=K e^{j\omega t}
\]
y sustituyendo en (1), resulta:
\[
RK e^{j\omega t}+\frac{1}{j\omega C}K e^{j\omega t}=V_m e^{j\omega t}
\]
De donde:
\[
K=\frac{V_m}{R+\frac{1}{j\omega C}}
=
\frac{V_m}{R-j\left(\frac{1}{\omega C}\right)}
\]
y:
\[
i(t)=
\frac{V_m}
{R-j\left(\frac{1}{\omega C}\right)}
e^{j\omega t}
\]
Por tanto:
\[
Z=
\frac{V_m e^{j\omega t}}
{\left[
\frac{V_m}
{R-j\left(\frac{1}{\omega C}\right)}
\right]e^{j\omega t}}
=
R-j\left(\frac{1}{\omega C}\right)
\]
Una vez más observamos cómo la impedancia es un número complejo cuya parte real es el valor de \(R\), y cuya parte imaginaria es, en este caso:
\[
-\frac{1}{\omega C}
\]
Fig. 3
Todo esto indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja \(Z\), la cual se puede situar directamente sobre el diagrama del circuito, como indica la Fig. 3.
Ahora bien, como la impedancia es un número complejo, se podrá representar por un punto en el plano complejo. Además, como la resistencia óhmica no puede ser negativa, solo se precisan el primer y el cuarto cuadrante. La representación gráfica correspondiente se llama diagrama de impedancias.
Fig. 4
La resistencia \(R\) corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductiva \(X_L\) se representará por un punto del eje imaginario positivo, mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva \(X_C\) estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo.
En general, una impedancia compleja \(Z\) se encontrará sobre el primero o el cuarto cuadrante, según los elementos que integren el circuito. El argumento de la forma polar de \(Z\) está comprendido, según lo dicho, entre:
\[
+90^\circ \quad \text{o bien} \quad +\frac{\pi}{2} \text{ radianes}
\]
y:
\[
-90^\circ \quad \text{o bien} \quad -\frac{\pi}{2} \text{ radianes}
\]
Ejemplo 1
A un circuito serie RL con \(R = 5\ \Omega\) y \(L = 2\ \text{mH}\) se le aplica una tensión:
\[
v(t)=150\sin(5000t)\ \text{V}
\]
Hallar su impedancia compleja \(Z\). Véase la Fig. 5.
Fig. 5
La impedancia de un circuito serie RL se calcula mediante:
\[
Z=R+jX_L
\]
donde la reactancia inductiva es:
\[
X_L=\omega L
\]
Sustituyendo los valores:
\[
X_L=5000 \cdot \left(2 \times 10^{-3}\right)
\]
\[
X_L=10\ \Omega
\]
Por lo tanto:
\[
Z=5+j10\ \Omega
\]
Para expresar la impedancia en forma polar, se calcula primero el módulo:
\[
|Z|=\sqrt{R^2+X_L^2}
\]
\[
|Z|=\sqrt{5^2+10^2}
\]
\[
|Z|=\sqrt{25+100}
\]
\[
|Z|=\sqrt{125}=11{,}18\ \Omega
\]
El ángulo de fase se obtiene mediante:
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R}\right)
\]
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{10}{5}\right)
\]
\[
\theta=\tan^{-1}(2)=63{,}4^\circ
\]
Entonces, la impedancia compleja en forma polar es:
\[
Z=11{,}18\angle 63{,}4^\circ\ \Omega
\]
En el texto original aparece aproximado como:
\[
Z=11{,}16\angle 63{,}4^\circ\ \Omega
\]
La pequeña diferencia se debe al redondeo numérico. El valor calculado con mayor precisión es:
\[
Z \approx 11{,}18\angle 63{,}4^\circ\ \Omega
\]
Ejemplo 2
A un circuito serie RC con \(R = 20\ \Omega\) y \(C = 5\ \mu\text{F}\), se le aplica una tensión:
\[
v(t)=150\cos(10\,000t)\ \text{V}
\]
Hallar su impedancia compleja \(Z\). Véase la Fig. 6.
Fig. 6
La impedancia de un circuito serie RC se expresa como:
\[
Z=R-jX_C
\]
donde la reactancia capacitiva es:
\[
X_C=\frac{1}{\omega C}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
X_C=\frac{1}{10\,000\left(5\times 10^{-6}\right)}
\]
\[
X_C=\frac{1}{0{,}05}=20\ \Omega
\]
Por lo tanto:
\[
Z=20-j20\ \Omega
\]
Para expresar la impedancia en forma polar, se calcula el módulo:
\[
|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}
\]
\[
|Z|=\sqrt{20^2+20^2}
\]
\[
|Z|=\sqrt{400+400}
\]
\[
|Z|=\sqrt{800}=28{,}3\ \Omega
\]
El ángulo de fase se obtiene mediante:
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{-X_C}{R}\right)
\]
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{-20}{20}\right)
\]
\[
\theta=-45^\circ
\]
Entonces, la impedancia compleja en forma polar es:
\[
Z=28{,}3\angle -45^\circ\ \Omega
\]
En todos los circuitos, excepto en aquellos que solo contienen elementos resistivos puros, la impedancia es una función de la pulsación \(\omega\), ya que tanto \(X_L\) como \(X_C\) son funciones de \(\omega\). Por ello, cualquier impedancia compleja solo es válida para aquella frecuencia a la que fue calculada.
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