Problemas de corriente alterna, reactancia e impedancia

1

a) ¿Cuál es la reactancia de una autoinducción de \(1\ \text{H}\) a la frecuencia de \(60\ \text{ciclos/s}\)? b) ¿Cuál es la autoinducción de una bobina cuya reactancia es de \(1\ \Omega\) a \(60\ \text{ciclos/s}\)? c) ¿Cuál es la reactancia de un condensador de \(1\ \mu F\) de capacidad para una frecuencia de \(60\ \text{ciclos/s}\)? d) ¿Cuál es la capacidad de un condensador cuya reactancia es de \(1\ \Omega\) a \(60\ \text{ciclos/s}\)?

\[ X_L=2\pi fL \]

\[ X_L=2\pi \cdot 60 \cdot 1=377\ \Omega \]

\[ L=\frac{X_L}{2\pi f}=\frac{1}{2\pi\cdot60}=2{,}65\times10^{-3}\ \text{H} \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi fC} \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot1\times10^{-6}}=2653\ \Omega \]

\[ C=\frac{1}{2\pi fX_C}=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot1}=2{,}65\times10^{-3}\ \text{F} \]

Resultados:

\[ X_L=377\ \Omega,\quad L=2{,}65\ \text{mH},\quad X_C=2653\ \Omega,\quad C=2650\ \mu F \]

2

a) Calcúlese la reactancia de una autoinducción de \(10\ \text{H}\) para las frecuencias de \(60\ \text{ciclos/s}\) y \(600\ \text{ciclos/s}\). b) Hállese la reactancia de un condensador de \(10\ \mu F\) para las mismas frecuencias. c) ¿Para qué frecuencia es la reactancia de una autoinducción de \(10\ \text{H}\) igual a la de un condensador de \(10\ \mu F\)?

Para la bobina:

\[ X_L=2\pi fL \]

\[ X_L=2\pi\cdot60\cdot10=3770\ \Omega \]

\[ X_L=2\pi\cdot600\cdot10=37699\ \Omega \]

Para el condensador:

\[ X_C=\frac{1}{2\pi fC} \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot10\times10^{-6}}=265\ \Omega \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi\cdot600\cdot10\times10^{-6}}=26{,}5\ \Omega \]

Para que ambas reactancias sean iguales:

\[ 2\pi fL=\frac{1}{2\pi fC} \]

\[ f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

\[ f=\frac{1}{2\pi\sqrt{10\cdot10\times10^{-6}}}=15{,}9\ \text{Hz} \]

3

Una autoinducción de reactancia \(10\ \Omega\) y un condensador de reactancia \(25\ \Omega\), medidas a \(60\ \text{ciclos/s}\), se encuentran conectados en serie con una resistencia de \(10\ \Omega\) a una línea de corriente alterna de \(60\ \text{ciclos/s}\) y diferencia de potencial eficaz \(100\ \text{V}\). a) Calcúlese el voltaje entre los bornes de cada parte del circuito. b) Hállense las expresiones del voltaje y de la intensidad instantáneas en la línea.

Datos:

\[ R=10\ \Omega,\quad X_L=10\ \Omega,\quad X_C=25\ \Omega,\quad V=100\ \text{V} \]

La reactancia total es:

\[ X=X_L-X_C=10-25=-15\ \Omega \]

La impedancia es:

\[ Z=R+jX=10-j15\ \Omega \]

\[ |Z|=\sqrt{10^2+(-15)^2}=18{,}03\ \Omega \]

La corriente eficaz es:

\[ I=\frac{V}{|Z|}=\frac{100}{18{,}03}=5{,}55\ \text{A} \]

Tensiones eficaces en cada elemento:

\[ V_R=IR=5{,}55\cdot10=55{,}5\ \text{V} \]

\[ V_L=IX_L=5{,}55\cdot10=55{,}5\ \text{V} \]

\[ V_C=IX_C=5{,}55\cdot25=138{,}7\ \text{V} \]

El ángulo de fase de la impedancia es:

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{-15}{10}\right)=-56{,}3^\circ \]

Como el circuito es capacitivo, la corriente está adelantada respecto del voltaje de línea.

Si tomamos el voltaje de línea como referencia:

\[ v(t)=141{,}4\cos(377t)\ \text{V} \]

La corriente instantánea será:

\[ i(t)=7{,}84\cos(377t+56{,}3^\circ)\ \text{A} \]

4

En la figura 1, \(I=5\ \text{A}\), \(R=8\ \Omega\), \(X_L=6\ \Omega\), \(X_C=12\ \Omega\). Calcúlense \(V_{ab}\), \(V_{bc}\), \(V_{cd}\), \(V_{ad}\), y la diferencia de fase entre la intensidad de la corriente y el voltaje en la línea.

Fig. 1

Fig. 1, circuito serie con \(R\), \(X_L\) y \(X_C\).

Las tensiones eficaces son:

\[ V_{ab}=IR=5\cdot8=40\ \text{V} \]

\[ V_{bc}=IX_L=5\cdot6=30\ \text{V} \]

\[ V_{cd}=IX_C=5\cdot12=60\ \text{V} \]

La reactancia total es:

\[ X=X_L-X_C=6-12=-6\ \Omega \]

La impedancia total es:

\[ Z=8-j6\ \Omega \]

\[ |Z|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10\ \Omega \]

Por lo tanto:

\[ V_{ad}=I|Z|=5\cdot10=50\ \text{V} \]

El ángulo de fase es:

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{-6}{8}\right)=-36{,}9^\circ \]

El circuito es capacitivo; por lo tanto, la corriente está adelantada respecto del voltaje de línea en:

\[ 36{,}9^\circ \]

5

Una resistencia de \(400\ \Omega\) está en serie con una autoinducción de \(0{,}1\ \text{H}\) y un condensador de \(0{,}5\ \mu F\). Calcúlese la impedancia del circuito y dibújese el diagrama del vector impedancia: a) a la frecuencia de \(500\ \text{ciclos/s}\); b) a la frecuencia de \(1000\ \text{ciclos/s}\). Hállese, en cada caso, la diferencia de fase entre la intensidad de la corriente y el voltaje en la línea, y dígase si la intensidad de la corriente está retrasada o adelantada.

a) Para \(f=500\ \text{Hz}\)

\[ X_L=2\pi fL=2\pi\cdot500\cdot0{,}1=314\ \Omega \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi fC}= \frac{1}{2\pi\cdot500\cdot0{,}5\times10^{-6}} =637\ \Omega \]

\[ X=X_L-X_C=314-637=-323\ \Omega \]

\[ Z=400-j323\ \Omega \]

\[ |Z|=\sqrt{400^2+(-323)^2}=514\ \Omega \]

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{-323}{400}\right)=-38{,}9^\circ \]

El circuito es capacitivo, por lo tanto la corriente está adelantada respecto del voltaje de línea en:

\[ 38{,}9^\circ \]

b) Para \(f=1000\ \text{Hz}\)

\[ X_L=2\pi fL=2\pi\cdot1000\cdot0{,}1=628\ \Omega \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi fC}= \frac{1}{2\pi\cdot1000\cdot0{,}5\times10^{-6}} =318\ \Omega \]

\[ X=X_L-X_C=628-318=310\ \Omega \]

\[ Z=400+j310\ \Omega \]

\[ |Z|=\sqrt{400^2+310^2}=506\ \Omega \]

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{310}{400}\right)=37{,}8^\circ \]

El circuito es inductivo, por lo tanto la corriente está retrasada respecto del voltaje de línea en:

\[ 37{,}8^\circ \]

Fig. 2 - Diagramas del vector impedancia para \(f=500\ \text{Hz}\) y \(f=1000\ \text{Hz}\). En el primer caso el vector está en el cuarto cuadrante; en el segundo, en el primer cuadrante.

6

a) Una resistencia pura y una autoinducción pura están en serie y conectadas a una línea de corriente alterna de \(100\ \text{V}\). Un voltímetro para corriente alterna da la misma lectura cuando se conecta en paralelo a la resistencia y a la autoinducción. ¿Cuánto señala?

b) Los valores de la resistencia y de la autoinducción de la parte a) se modifican de modo que un voltímetro colocado en paralelo con la autoinducción señale \(50\ \text{V}\). ¿Cuál será la indicación del voltímetro cuando se conecte en paralelo con la resistencia?

a) Lectura del voltímetro en la resistencia y en la autoinducción

En un circuito serie RL, la tensión en la resistencia \(V_R\) está en fase con la corriente, mientras que la tensión en la autoinducción \(V_L\) está adelantada \(90^\circ\) respecto de la corriente. Por eso, la tensión total no se suma aritméticamente, sino vectorialmente:

\[ V=\sqrt{V_R^2+V_L^2} \]

Según el enunciado:

\[ V_R=V_L \]

y la tensión total de línea es:

\[ V=100\ \text{V} \]

Entonces:

\[ 100=\sqrt{V_R^2+V_R^2} \]

\[ 100=\sqrt{2V_R^2} \]

\[ 100=V_R\sqrt{2} \]

\[ V_R=\frac{100}{\sqrt{2}}=70{,}7\ \text{V} \]

Como \(V_R=V_L\), resulta:

\[ V_R=V_L=70{,}7\ \text{V} \]

Por lo tanto, el voltímetro señalará:

\[ 70{,}7\ \text{V} \]

b) Lectura del voltímetro en la resistencia

Ahora se indica que la tensión en la autoinducción es:

\[ V_L=50\ \text{V} \]

La tensión total sigue siendo:

\[ V=100\ \text{V} \]

Aplicando nuevamente la suma vectorial:

\[ V=\sqrt{V_R^2+V_L^2} \]

\[ 100=\sqrt{V_R^2+50^2} \]

Elevando al cuadrado:

\[ 100^2=V_R^2+50^2 \]

\[ V_R^2=100^2-50^2 \]

\[ V_R^2=10000-2500=7500 \]

\[ V_R=\sqrt{7500}=86{,}6\ \text{V} \]

Por lo tanto, el voltímetro conectado en paralelo con la resistencia señalará:

\[ 86{,}6\ \text{V} \]

7

El voltaje eficaz entre los bornes de un generador de corriente alterna es \(100\ \text{V}\) y la frecuencia angular es \(\omega=2\pi f=500\ \text{rad/s}\). Entre los bornes del generador hay conectados en serie una resistencia de \(3\ \Omega\), un condensador de \(50\ \mu F\) y una autoinducción que puede variarse de \(10\) a \(80\ \text{mH}\). El voltaje máximo entre las armaduras del condensador no debe exceder \(1200\ \text{V}\). a) ¿Cuál es la máxima intensidad de corriente eficaz admisible en el circuito en serie? b) ¿Hasta qué valor puede aumentarse la autoinducción sin sobrepasar el límite de seguridad?

La reactancia capacitiva es:

\[ X_C=\frac{1}{\omega C} \]

\[ X_C=\frac{1}{500\cdot 50\times10^{-6}}=40\ \Omega \]

Como:

\[ V_C=IX_C \]

la corriente máxima admisible será:

\[ I_{\max}=\frac{V_C}{X_C} \]

\[ I_{\max}=\frac{1200}{40}=30\ \text{A} \]

La impedancia total del circuito es:

\[ Z=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2} \]

Para que la corriente no supere \(30\ \text{A}\):

\[ Z=\frac{V}{I}=\frac{100}{30}=3{,}33\ \Omega \]

Entonces:

\[ 3{,}33^2=3^2+\left(X_L-40\right)^2 \]

\[ \left(X_L-40\right)^2=3{,}33^2-3^2 \]

\[ \left|X_L-40\right|=1{,}45\ \Omega \]

Como la autoinducción aumenta desde valores menores que la resonancia, debe cumplirse:

\[ X_L=40-1{,}45=38{,}55\ \Omega \]

Pero:

\[ X_L=\omega L \]

\[ L=\frac{X_L}{\omega} \]

\[ L=\frac{38{,}55}{500}=0{,}0771\ \text{H} \]

\[ L=77{,}1\ \text{mH} \]

Resultado:

\[ I_{\max}=30\ \text{A} \]

\[ L_{\max}=77{,}1\ \text{mH} \]

8

Una bobina de resistencia \(10\ \Omega\) y cuya autoinducción es \(15\ \text{mH}\), se halla en serie con una resistencia de \(12\ \Omega\) y un condensador de \(200\ \mu F\) de capacidad, y el conjunto conectado a una línea de corriente alterna de \(100\ \text{V}\) y \(60\ \text{ciclos/s}\). Calcúlese el voltaje entre los terminales de la bobina.

Datos:

\[ R_b=10\ \Omega,\quad L=15\ \text{mH},\quad R=12\ \Omega,\quad C=200\ \mu F \]

\[ V=100\ \text{V},\quad f=60\ \text{Hz} \]

La reactancia inductiva de la bobina es:

\[ X_L=2\pi fL \]

\[ X_L=2\pi\cdot60\cdot0{,}015=5{,}65\ \Omega \]

La reactancia capacitiva es:

\[ X_C=\frac{1}{2\pi fC} \]

\[ X_C=\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot200\times10^{-6}}=13{,}26\ \Omega \]

La resistencia total en serie es:

\[ R_T=10+12=22\ \Omega \]

La reactancia total es:

\[ X=X_L-X_C=5{,}65-13{,}26=-7{,}61\ \Omega \]

La impedancia total es:

\[ |Z|=\sqrt{22^2+(-7{,}61)^2}=23{,}28\ \Omega \]

La corriente eficaz del circuito es:

\[ I=\frac{100}{23{,}28}=4{,}29\ \text{A} \]

La impedancia propia de la bobina es:

\[ |Z_b|=\sqrt{10^2+5{,}65^2}=11{,}49\ \Omega \]

Por lo tanto, el voltaje entre los terminales de la bobina es:

\[ V_b=I|Z_b| \]

\[ V_b=4{,}29\cdot11{,}49=49{,}3\ \text{V} \]

Resultado:

\[ V_b\approx 49{,}3\ \text{V} \]

9

Los puntos \(a\) y \(b\) de la figura 3 son los terminales de una línea de corriente alterna de \(60\ \text{ciclos/s}\). El voltaje eficaz entre \(a\) y \(b\) es \(130\ \text{V}\). Si \(R_1=6\ \Omega\), \(R_2=R_3=3\ \Omega\), \(X_C=3\ \Omega\), \(X_L=8\ \Omega\), calcúlese: a) la intensidad de la corriente en el circuito; b) el voltaje entre \(a\) y \(c\); c) el voltaje entre \(c\) y \(d\).

Fig. 3, circuito serie con \(X_L\), \(R_1\), \(X_C\), \(R_2\) y \(R_3\).]

La resistencia total es:

\[ R_T=R_1+R_2+R_3 \]

\[ R_T=6+3+3=12\ \Omega \]

La reactancia total es:

\[ X=X_L-X_C \]

\[ X=8-3=5\ \Omega \]

La impedancia total es:

\[ |Z|=\sqrt{R_T^2+X^2} \]

\[ |Z|=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \Omega \]

La corriente eficaz del circuito es:

\[ I=\frac{V}{|Z|} \]

\[ I=\frac{130}{13}=10\ \text{A} \]

El voltaje entre \(a\) y \(c\) corresponde a \(R_1\) y \(X_L\):

\[ Z_{ac}=R_1+jX_L=6+j8 \]

\[ |Z_{ac}|=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \Omega \]

\[ V_{ac}=I|Z_{ac}|=10\cdot10=100\ \text{V} \]

El voltaje entre \(c\) y \(d\) corresponde a \(R_2\) y \(X_C\):

\[ Z_{cd}=R_2-jX_C=3-j3 \]

\[ |Z_{cd}|=\sqrt{3^2+3^2}=4{,}24\ \Omega \]

\[ V_{cd}=I|Z_{cd}|=10\cdot4{,}24=42{,}4\ \text{V} \]

Resultados:

\[ I=10\ \text{A} \]

\[ V_{ac}=100\ \text{V} \]

\[ V_{cd}=42{,}4\ \text{V} \]

10

Fig. : gráfico de reactancias en función de la frecuencia, desde \(0\) hasta \(2f_0\).]

11

12

El voltaje entre los bornes del generador de corriente alterna de la figura siguiente es \(150\ \text{V}\), y \(R=10\ \Omega\), \(X_L=50\ \Omega\), \(X_C=50\ \Omega\). Calcúlese la intensidad de la corriente en el circuito, y \(V_{ab}\), \(V_{bc}\), \(V_{cd}\), \(V_{bd}\), \(V_{ad}\). Trácese el diagrama del vector rotatorio del circuito.

Fig. , circuito serie con \(R\), \(X_L\), \(X_C\) y generador de CA.

La impedancia total del circuito serie es: \[ Z=R+j(X_L-X_C) \] Como: \[ X_L=50\ \Omega \] \[ X_C=50\ \Omega \] entonces: \[ X_L-X_C=0 \] Por lo tanto: \[ Z=R=10\ \Omega \] La corriente eficaz es: \[ I=\frac{V}{Z} \] \[ I=\frac{150}{10}=15\ \text{A} \] La tensión entre \(a\) y \(b\), correspondiente a la resistencia, es: \[ V_{ab}=IR \] \[ V_{ab}=15\cdot10=150\ \text{V} \] La tensión entre \(b\) y \(c\), correspondiente a la autoinducción, es: \[ V_{bc}=IX_L \] \[ V_{bc}=15\cdot50=750\ \text{V} \] La tensión entre \(c\) y \(d\), correspondiente al condensador, es: \[ V_{cd}=IX_C \] \[ V_{cd}=15\cdot50=750\ \text{V} \] La tensión entre \(b\) y \(d\), correspondiente al conjunto \(L-C\), es: \[ V_{bd}=I(X_L-X_C) \] \[ V_{bd}=15(50-50)=0\ \text{V} \] La tensión total entre \(a\) y \(d\) es: \[ V_{ad}=150\ \text{V} \] Resultados: \[ I=15\ \text{A} \] \[ V_{ab}=150\ \text{V} \] \[ V_{bc}=750\ \text{V} \] \[ V_{cd}=750\ \text{V} \] \[ V_{bd}=0\ \text{V} \] \[ V_{ad}=150\ \text{V} \] El circuito está en resonancia, porque: \[ X_L=X_C \] Por eso, las tensiones inductiva y capacitiva son iguales y opuestas, anulándose vectorialmente.

13

Fig. : gráfica de \(I\) en función de \(\omega\), con dos curvas: una para \(R=100\ \Omega\) y otra para \(R=500\ \Omega\). Ambas presentan máximo en \(\omega=500\ \text{rad/s}\).]

14

Fig: Diagrama vectorial

Problema 14 en forma fasorial