Resistencia eléctrica
El hecho de que un conductor que transporta corriente pueda calentarse demuestra que el trabajo realizado por la fuerza aplicada para producir la corriente debe efectuarse venciendo cierta oposición o resistencia.
- Ohm (Ω) – unidad práctica de resistencia. Nombrada en honor al físico alemán Georg S. Ohm (1787–1854).
Relaciones fundamentales de la resistencia:
\[
R = \frac{\rho L}{A}
\]
\[
R = \frac{\rho V}{A^{2}}
\]
\[
R = \frac{\rho L^{2}}{V}
\]
donde:
- R = resistencia (ohm)
- A = área de la sección transversal (metro cuadrado)
- ρ = resistividad (ohm·metro)
- L = longitud (metro)
- V = volumen (metro cúbico)
- Resistencia específica (resistividad) – resistencia ofrecida por un cubo unitario del material.
- Circular mil (CM) – área de un círculo cuyo diámetro (d) es de un mil.
CM = d²
1,000 mil = 1 inch
1 MCM = 1,000 CM
Efecto de la temperatura sobre la resistencia
Los experimentos han demostrado que la resistencia de todos los conductores utilizados comúnmente en sistemas eléctricos aumenta a medida que la temperatura se incrementa.
\[
\frac{R_1}{R_2} = \frac{T + t_1}{T + t_2}
\]
\[
\frac{R_2}{R_1} = 1 + \alpha_{t_1}\Delta t
\]
\[
\alpha_{t_1} = \frac{1}{T + t_1}
\]
\[
\Delta t = t_2 - t_1
\]
donde:
- R₁ = resistencia inicial (ohm)
- R₂ = resistencia final (ohm)
- T = temperatura absoluta inferida
- t₁ = temperatura inicial
- t₂ = temperatura final
- Δt = cambio de temperatura
- α = coeficiente de temperatura de la resistencia
| Material |
ρ (Ω·CM/ft) |
T (°C) |
α a 20°C |
| Plata |
9.9 |
243 |
0.0038 |
| Cobre |
10.37 |
234.5 |
0.00393 |
| Aluminio |
17 |
236 |
0.0039 |
| Tungsteno |
33 |
202 |
0.0045 |
| Zinc |
36 |
250 |
0.0037 |
Coeficiente de temperatura de la resistencia (α) – cambio de resistencia en ohmios por grado y por ohmio a una temperatura específica.
Resistencia de aislamiento de cables
La resistencia del aislamiento de un cable depende de la resistividad del material aislante y de la geometría del aislamiento.
R = (ρ / 2πl) ln (r₂ / r₁)
donde:
- ρ = resistividad del material aislante (ohm·metro)
- l = longitud del cable (metro)
- r₁ = radio del conductor
- r₂ = radio hasta la superficie exterior del aislamiento
Conductancia
La conductancia es una medida de la capacidad de un material para conducir corriente eléctrica. Es igual al inverso de la resistencia.
- Siemens (anteriormente mho) – unidad de conductancia. Nombrada en honor al ingeniero alemán Ernst Werner von Siemens (1816–1892).
G = 1 / R
G = δA / L
δ = 1 / ρ
donde:
- δ = conductividad (siemens por metro)
- L = longitud (metro)
- A = área de la sección transversal (metro cuadrado)
- ρ = resistividad específica (ohm·metro)
- G = conductancia (siemens)
- R = resistencia (ohm)
Problemas resueltos de ejemplo :
Problema 1
Un dieléctrico con carga positiva tiene una carga de 2 coulomb.
Si se agregan 12.5 × 1018 electrones libres,
¿cuál será la carga neta sobre dicho dieléctrico?
- A. 4 C
- B. −2 C
- C. 8 C
- D. 0
Desarrollo
Datos:
\[
Q_1 = +2\,\text{C}
\]
\[
n = 12.5 \times 10^{18}\ \text{electrones}
\]
Sabemos que la carga de un electrón es:
\[
e = -1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}
\]
Entonces, la carga aportada por los electrones agregados es:
\[
Q_2 = n \cdot e
\]
\[
Q_2 = \left(12.5 \times 10^{18}\right)\left(-1.6 \times 10^{-19}\right)\,\text{C}
\]
\[
Q_2 = -2\,\text{C}
\]
La carga neta final será:
\[
Q_{\text{neta}} = Q_1 + Q_2
\]
\[
Q_{\text{neta}} = 2 + (-2)
\]
\[
Q_{\text{neta}} = 0
\]
Respuesta
La carga neta sobre el dieléctrico es:
\[
\boxed{Q_{\text{neta}} = 0}
\]
Opción correcta: D. 0 Problema 2
Una batería puede entregar 10 joules de energía para mover 5 coulombs de carga.
¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería?
- A. 2 V
- B. 50 V
- C. 0.5 V
- D. 5 V
Desarrollo
Recordemos que el voltaje es la energía por unidad de carga:
\[
E = \frac{W}{Q}
\]
donde:
- \(E\) = diferencia de potencial o voltaje
- \(W\) = energía o trabajo, en joules
- \(Q\) = carga eléctrica, en coulombs
Sustituyendo los valores:
\[
E = \frac{10}{5}
\]
\[
E = 2 \text{ V}
\]
Respuesta
La diferencia de potencial entre los terminales de la batería es:
\[
\boxed{E = 2 \text{ V}}
\]
Opción correcta: A. 2 V
Problema 3
Una nube de 2.5 × 1019 electrones pasa por un punto dado cada
2 segundos. ¿Cuál es la intensidad de la corriente eléctrica del flujo de electrones?
- A. 1 A
- B. 2 A
- C. 2.5 A
- D. 1.5 A
Desarrollo
Recordemos que un ampere es igual a un coulomb por segundo.
\[
I = \frac{Q}{t}
\]
Primero convertimos el número de electrones a coulombs.
\[
Q = 2.5 \times 10^{19} \times \frac{1\,C}{6.25 \times 10^{18}\,e}
\]
\[
Q = 4\,C
\]
Ahora calculamos la corriente eléctrica:
\[
I = \frac{Q}{t}
\]
\[
I = \frac{4}{2}
\]
\[
I = 2\,A
\]
Respuesta
La intensidad de la corriente eléctrica es:
\[
\boxed{I = 2\,A}
\]
Opción correcta: B. 2 A
Problema 4
La corriente en una lámpara eléctrica es de 5 amperes.
¿Qué cantidad de electricidad fluye hacia el filamento en 6 minutos?
- A. 30 C
- B. 3600 C
- C. 72 C
- D. 1800 C
Desarrollo
Recordemos la relación entre carga eléctrica, corriente y tiempo:
\[
Q = I t
\]
donde:
- \(Q\) = carga eléctrica (coulomb)
- \(I\) = corriente (ampere)
- \(t\) = tiempo (segundos)
Primero convertimos el tiempo a segundos:
\[
t = 6 \text{ min} \times \frac{60 \text{ s}}{1 \text{ min}}
\]
\[
t = 360 \text{ s}
\]
Ahora calculamos la carga eléctrica:
\[
Q = I t
\]
\[
Q = 5 \times 360
\]
\[
Q = 1800 \text{ C}
\]
Respuesta
La cantidad de electricidad que fluye hacia el filamento es:
\[
\boxed{Q = 1800 \text{ C}}
\]
Opción correcta: D. 1800 C
Problema 5
Una corriente constante de 4 A carga un capacitor.
¿Cuánto tiempo tomará acumular una carga total de 8 coulombs en las placas?
- A. 2 s
- B. 32 s
- C. 1/2 s
- D. 12 s
Desarrollo
La relación entre carga eléctrica, corriente y tiempo es:
\[
Q = I t
\]
Despejando el tiempo:
\[
t = \frac{Q}{I}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
t = \frac{8}{4}
\]
\[
t = 2 \text{ s}
\]
Respuesta
El tiempo necesario para acumular la carga es:
\[
\boxed{t = 2 \text{ s}}
\]
Opción correcta: A. 2 s Problema 6
La barra colectora de una subestación está formada por barras redondas de cobre de
2 pulgadas de diámetro y 20 ft de longitud.
¿Cuál es la resistencia de cada barra si la resistividad es
1.724 × 10-6 ohm·cm?
- A. 7.21 × 10-5 Ω
- B. 13.8 × 10-6 Ω
- C. 5.185 × 10-5 Ω
- D. 2.96 × 10-5 Ω
Desarrollo
La resistencia de un conductor se calcula mediante:
\[
R = \frac{\rho L}{A}
\]
donde:
- \(\rho\) = resistividad
- \(L\) = longitud del conductor
- \(A\) = área de la sección transversal
Primero convertimos las dimensiones al sistema CGS utilizado en la resistividad.
\[
L = 20 \text{ ft} = 20 \times 30.48 = 609.6 \text{ cm}
\]
El diámetro es 2 in, por lo tanto el radio es:
\[
r = 1 \text{ in} = 2.54 \text{ cm}
\]
Área de la sección transversal:
\[
A = \pi r^2
\]
\[
A = \pi (2.54)^2
\]
\[
A \approx 20.27 \text{ cm}^2
\]
Ahora calculamos la resistencia:
\[
R = \frac{(1.724 \times 10^{-6})(609.6)}{20.27}
\]
\[
R \approx 5.18 \times 10^{-5} \ \Omega
\]
Respuesta
La resistencia de cada barra es aproximadamente:
\[
\boxed{R = 5.185 \times 10^{-5} \ \Omega}
\]
Opción correcta: C. \(5.185 \times 10^{-5}\) Ω
Problema 9
Una vuelta de una barra de cobre se produce cortando una arandela de cobre a lo largo
de un radio y separando los extremos. La arandela está hecha de cobre recocido con
resistividad a 20 °C de
1.732 × 10-6 ohm·cm.
La arandela tiene un espesor de 0.125 pulgadas y un diámetro interior
de 1 pulgada y exterior de 9 pulgadas. Calcule la
resistencia exacta entre los extremos del anillo considerando la distribución no
uniforme de corriente.
- A. 12.74 × 10-6 Ω
- B. 15.53 × 10-6 Ω
- C. 17.22 × 10-6 Ω
- D. 14.83 × 10-6 Ω
Desarrollo
La resistencia diferencial de un anillo elemental es:
\[
R = \rho \frac{L}{A}
\]
Considerando un anillo diferencial:
\[
A = t\,dr
\]
\[
L = 2\pi r
\]
\[
dR = \frac{\rho(2\pi r)}{t\,dr}
\]
La conductancia diferencial es:
\[
dG = \frac{t\,dr}{\rho(2\pi r)}
\]
Integrando entre los radios interno y externo:
\[
G = \frac{t}{2\pi\rho}\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r}
\]
\[
G = \frac{t}{2\pi\rho}\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)
\]
Sustituyendo valores:
\[
G = \frac{0.125\times2.54}{2\pi(1.724\times10^{-6})}
(\ln4.5-\ln0.5)
\]
\[
G = 64402.25
\]
Finalmente:
\[
R = \frac{1}{G}
\]
\[
R = 15.527\times10^{-6}\,\Omega
\]
Respuesta
\[
\boxed{R = 15.53\times10^{-6}\,\Omega}
\]
Opción correcta: B
|
