La mayor parte de la energía eléctrica actualmente utilizada en generación, transmisión y distribución emplea sistemas trifásicos equilibrados. El funcionamiento trifásico hace un uso más eficiente del cobre y del hierro en los generadores. El flujo de potencia en circuitos monofásicos, es pulsante. Esta desventaja no está presente en un sistema trifásico. Además, los motores trifásicos arrancan con mayor facilidad y, al tener par constante, funcionan de manera más satisfactoria que los motores monofásicos. Sin embargo, las complicaciones añadidas por tener varias fases no se compensan con el ligero aumento de la eficiencia de operación cuando se usan sistemas polifásicos distintos al trifásico.

Figure 2.5 : Un sistema trifásico conectado en Y y el diagrama fasorial correspondiente.

Un sistema de voltajes trifásico equilibrado está compuesto por tres voltajes monofásicos con la misma magnitud y frecuencia, pero desfasados entre sí 120 °. La Figura 2.5(a) muestra una representación esquemática en la que las tres fuentes de voltaje monofásicas aparecen en conexión en Y; también es posible una configuración en Δ. En la Figura 2.5(b) se proporciona el diagrama fasorial correspondiente de cada uno de los voltajes de fase.

Secuencia de Fase

A medida que los fasores giran a la frecuencia angular ω con respecto a la línea de referencia en sentido antihorario (positivo), el valor máximo positivo ocurre primero en la fase a y luego, sucesivamente, en las fases b y c. Dicho de otro modo, para un observador en el espacio fasorial, el voltaje de la fase a llega primero, seguido por el de b y luego por el de c. Al sistema de voltajes de la Figura 2.5 se le llama entonces secuencia de fases abc (los términos orden de fases o rotación son sinónimos). Esto es importante en aplicaciones como los motores de inducción trifásicos, donde la secuencia de fases determina si el motor gira en sentido horario o antihorario.

Figura : Un sistema de tres fases

Con muy pocas excepciones, los generadores síncronos (comúnmente llamados alternadores) son máquinas trifásicas. Para producir un conjunto de tres voltajes desfasados 120 ° eléctricos en el tiempo, se requiere un mínimo de tres bobinas desfasadas 120 ° eléctricos en el espacio.

Es conveniente representar cada bobina como un generador independiente. Una extensión inmediata de los circuitos monofásicos consistiría en llevar la potencia de los tres generadores por seis conductores. Sin embargo, en lugar de tener un conductor de retorno desde cada carga a cada generador, se utiliza un solo conductor para el retorno de los tres. La corriente en el conductor de retorno será I_a + I_b + I_c; y, para una carga equilibrada, estas corrientes se cancelan entre sí. Si la carga está desequilibrada, la corriente de retorno seguirá siendo pequeña en comparación con I_a, I_b o I_c. De este modo, el conductor de retorno puede ser de menor sección que los otros tres. Esta conexión se conoce como sistema trifásico de cuatro hilos. Por razones de seguridad y protección del sistema, es deseable contar con una conexión a tierra. Un punto lógico para el aterrizaje es el neutro del generador.

Los sistemas equilibrados trifásicos pueden estudiarse usando técnicas desarrolladas para circuitos monofásicos. La disposición de los tres voltajes monofásicos en una configuración en Y o en Δ requiere algunas modificaciones al tratar el sistema en su conjunto.

Con referencia a la Figura 2.7, el punto común n se llama punto neutro o punto estrella (Y). Los voltajes que aparecen entre dos cualesquiera de los conductores de línea a, b y c tienen diferentes relaciones en magnitud y fase respecto a los voltajes que aparecen entre un conductor de línea y el punto neutro n. El conjunto de voltajes Vab, Vbc y Vca se denominan voltajes de línea, y el conjunto Van, Vbn y Vcn se denominan voltajes de fase. El análisis de diagramas fasoriales proporciona las relaciones necesarias.

Los valores eficaces de los voltajes de fase, mostrados en la Figura 2.7, son Van, Vbn y Vcn. Cada uno tiene la misma magnitud y está desplazado 120° respecto a los otros dos fasores.

Observe que el voltaje existente de a a b es igual a la suma del voltaje de a a n (es decir, Van) más el voltaje de n a b.

Para un sistema equilibrado, cada voltaje de fase tiene la misma magnitud, y definimos:

|V_an| = |V_bn| = |V_cn| = V_p    (2.10)

donde V_p denota la magnitud eficaz del voltaje de fase.

Podemos demostrar que:

• V_ab = V_p (1 ∠ –120°) = √3 V_p ∠ 30°    (2.11)
• V_bc = √3 V_p ∠ –90°    (2.12)
• V_ca = √3 V_p ∠ 150°    (2.13)

Figura 2.7 Ilustración de las relaciones de fase y magnitud entre el voltaje de fase y el voltaje de línea en una conexión en Y.

Los voltajes de línea constituyen un sistema trifásico equilibrado cuyas magnitudes son √3 veces las de los voltajes de fase. Así, escribimos:

V_L = √3 V_p    (2.14)

Una corriente que sale de un terminal de línea a (o b o c) es la misma que circula por la fuente de fase entre los terminales n y a (o n y b, o n y c). Por tanto, para una fuente trifásica conectada en Y, la corriente de línea es igual a la corriente de fase:

I_L = I_p    (2.15)

Aquí I_L denota el valor eficaz de la corriente de línea e I_p denota el valor eficaz de la corriente de fase.

Considere el caso en que las tres fuentes monofásicas se reorganizan para formar una conexión trifásica en Δ, como se muestra en la Figura 2.8. En esta configuración, los voltajes de línea y de fase tienen la misma magnitud:

|V_L| = |V_p|    (2.16)

Sin embargo, las corrientes de fase y de línea no son idénticas. La relación entre ellas puede obtenerse aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en uno de los terminales de línea.

Figura 2.8 Una fuente trifásica conectada en ∆.

De manera similar a lo adoptado para la fuente en Y, consideremos el diagrama fasorial de la Figura 2.9. Supongamos que las corrientes de fase son:

• I_ab = I_p ∠ 0°
• I_bc = I_p ∠ –120°
• I_ca = I_p ∠ 120°

La corriente que fluye por la línea que une a con a′ se denota Iaa′ y viene dada por:

I_aa′ = I_ca – I_ab

Como resultado, obtenemos:

I_aa′ = √3 I_p ∠ 150°

De forma similar:

• I_bb′ = √3 I_p ∠ 30°
• I_cc′ = √3 I_p ∠ –90°

Obsérvese que un conjunto equilibrado de corrientes trifásicas de fase produce un conjunto equilibrado de corrientes de línea cuyo valor es √3 veces el de las corrientes de fase. Así, escribimos:

I_L = √3 I_p    (2.17)

donde I_L denota la magnitud de cualquiera de las tres corrientes de línea.

Figura 2.9 Ilustración de la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea en una conexión ∆.

Relaciones de Potencia

Supongamos que el generador trifásico alimenta una carga equilibrada con los tres voltajes de fase sinusoidales:

• va(t) = √2 Vp sin ωt
• vb(t) = √2 Vp sin(ωt – 120°)
• vc(t) = √2 Vp sin(ωt + 120°)

Con las corrientes dadas por:

• ia(t) = √2 Ip sin(ωt – φ)
• ib(t) = √2 Ip sin(ωt – 120° – φ)
• ic(t) = √2 Ip sin(ωt + 120° – φ)

donde φ es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje en cada fase. La potencia instantánea total en la carga es:

p_3φ(t) = v_a(t)i_a(t) + v_b(t)i_b(t) + v_c(t)i_c(t)

Esto resulta ser:

p_3φ(t) = V_pI_p{3 cos φ − [cos(2ωt − φ) + cos(2ωt − 240° − φ) + cos(2ωt + 240° − φ)]}

Obsérvese que los tres últimos términos son de potencia reactiva y suman cero. Por tanto obtenemos:

p_3φ(t) = 3 V_pI_p cos φ   (2.18)

La relación entre los voltajes de línea y de fase en un sistema conectado en Y es:

|V_L| = √3 |V|

Por tanto, la ecuación de potencia en términos de cantidades de línea se expresa:

p_3φ = √3 |V_L| |I_L| cos φ   (2.19)

La potencia instantánea total es constante, con magnitud tres veces la potencia activa por fase. Aunque los términos de potencia reactiva se cancelan en la suma, siguen presentes en cada fase. Extendemos así el concepto de potencia compleja o aparente (S) a sistemas trifásicos definiendo:

S_3φ = 3 V_p I_p^*   (2.20)

donde la potencia activa y reactiva se obtienen de:

S_3φ = P_3φ + j Q_3φ

Así:

• P3φ = 3 |Vp| |Ip| cos φ  (2.21)
• Q3φ = 3 |Vp| |Ip| sin φ  (2.22)

Y también en términos de cantidades de línea:

• P3φ = √3 |VL| |IL| cos φ  (2.23)
• Q3φ = √3 |VL| |IL| sin φ  (2.24)

Al especificar valores nominales de aparatos y equipos de sistemas de potencia (generadores, transformadores, interruptores, etc.), se utiliza la magnitud de la potencia aparente S3φ y el voltaje de línea. Para cargas de motores trifásicos, se emplea la potencia nominal en caballos de fuerza y el voltaje.

Ejemplo 2.2

Una carga trifásica equilibrada conectada en Y, formada por tres impedancias de 20∠30° Ω cada una (ver Figura 2.10), se alimenta con los siguientes voltajes equilibrados línea a neutro:

• Van = 220∠0° V
• Vbn = 220∠240° V
• Vcn = 220∠120° V

Calcular:

1. Las corrientes de fase en cada línea.
2. Los voltajes fasoriales línea a línea.
3. La potencia activa y reactiva total suministrada a la carga.

Figura 2.10 Conexión de carga para el Ejemplo 2.2.

Solución

• Ian = 220∠0° / 20∠30° = 11∠–30° A
• Ibn = 220∠240° / 20∠30° = 11∠210° A
• Icn = 220∠120° / 20∠30° = 11∠90° A

• Vab = Van – Vbn = 220∠0° – 220∠240° = 220√3∠30° V
• Vbc = 220√3∠(30°–120°) = 220√3∠–90° V
• Vca = 220√3∠–210° V

La potencia aparente en la fase a es:

S_a = V_an·I_an^* = (220)(11)∠30° = 2420∠30° VA

La potencia aparente total es tres veces la de una fase:

S_t = 2420 × 3∠30° = 7260∠30° VA = 6287.35 + j 3630.00 VA

Por tanto:

P_t = 6287.35 W
Q_t = 3630.00 var

Repetir el Ejemplo 2.2 como si las mismas tres impedancias estuvieran conectadas en Δ.

Solución

• Vab = 220√3 ∠ 30° V
• Vbc = 220√3 ∠ –90° V
• Vca = 220√3 ∠ –210° V

• Iab = (220√3 ∠ 30°) / (20 ∠ 30°) = 11√3 ∠ 0° A
• Ibc = 11√3 ∠ –120° A
• Ica = 11√3 ∠ 120° A

Figura 2.11 Conexión de carga para el Ejemplo 2.3.

Con referencia a la Figura 2.11:

• Ia = Iab – Ica = 11√3 ∠ 0° – 11√3 ∠ –120° = 33 ∠ 30° A
• Ib = Ibc – Iab = 33 ∠ –90° A
• Ic = Ica – Ibc = 33 ∠ –210° A

Sab = Vab · Iab* = (220√3 ∠ 30°)·(22√3 ∠ 0°) = 7260 ∠ 30° VA

La potencia trifásica total es tres veces la de una fase:

S_3φ = 3·7260 ∠ 30° = 21780 ∠ 30° VA

S_t = 21780 ∠ 30° VA = 18 862.02 + j 10 890.00 VA

Como resultado:

P_t = 37 724.04 W
Q_t = 21 780.00 var