Problemas de primer grado con una o dos incógnitas
Colección de problemas clásicos de edades, repartos, movimientos, trabajo,
mezclas, proporcionalidad, interés simple, descuento comercial y sistemas
de ecuaciones de primer grado con una o varias incógnitas.
1. Problemas de primer grado con una, dos o tres incógnitas. —
Ciertas cuestiones o problemas que se presentan en la práctica, pueden ser resueltos por medio de ecuaciones.
Cuando el problema a resolver tiene por objeto la determinación de uno, dos o tres números, que cumplan ciertas condiciones que permitan ser expresadas por una, dos o tres igualdades, dicho problema puede resolverse mediante una ecuación o un sistema en los que la incógnita o incógnitas son el número o números buscados.
En este capítulo nos ocuparemos solamente de los problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita o a sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas.
Todo problema consta de tres partes:
I) El planteo, que consiste en precisar bien qué es lo que se busca, en representar al ente o entes buscados por letras, y en escribir la ecuación o ecuaciones que traduzcan las condiciones que dicho ente o entes deben cumplir.
II) Resolución de la ecuación o del sistema obtenido, es decir, cálculo de su raíz.
III) Discusión del resultado, es decir, interpretación concreta del mismo para ver si tiene sentido.
Sea por ejemplo resolver el siguiente:
Problema I
Encontrar un número tal que su triplo más su mitad, sea igual al cuádruplo del mismo menos dos.
Planteo
Llamando $x$ al número buscado, resulta que
$3x$ es su triplo,
$\frac{x}{2}$ su mitad y
$4x$ su cuádruplo, luego por las condiciones del problema tendremos:
$$
3x + \frac{x}{2} = 4x - 2
$$
Resolución
$$
3x + \frac{x}{2} - 4x = -2
$$
$$
6x + x - 8x = -4
$$
$$
-x = -4
$$
$$
x = 4
$$
Discusión
Es $x = 4$ el número buscado puesto que:
Su triplo es:
$$
3 \times 4 = 12
$$
Su mitad es:
$$
\frac{4}{2} = 2
$$
Entonces:
$$
12 + 2 = 14
$$
Su cuádruplo es:
$$
4 \times 4 = 16
$$
Y:
$$
16 - 2 = 14
$$
Problema II
Dividir 8600 $ entre dos personas, de manera que la parte de la primera sea a la de la segunda como 2 es a 3.
Planteo
Llamando $x$ al número de pesos que le corresponden a la primera persona, e $y$ al que le corresponde a la segunda, resulta, por las condiciones del problema:
$$
\frac{x}{y} = \frac{2}{3}
$$
$$
x + y = 8600
$$
Quitando denominadores y transponiendo términos se tiene:
$$
\begin{cases}
3x - 2y = 0 \\
x + y = 8600
\end{cases}
$$
Resolución
Resolviéndolo por determinantes, resulta:
$$
x = \frac{17200}{5} = 3440
$$
$$
y = \frac{25800}{5} = 5160
$$
Discusión
$$
\frac{3440}{5160} = \frac{2}{3}
$$
$$
3440 + 5160 = 8600
$$
Por lo tanto:
$$
x = 3440
$$
$$
y = 5160
$$
Regla
Para resolver un problema de primer grado con una incógnita o más incógnitas:
- Se representa la incógnita o incógnitas por letras (generalmente por $x$, $y$, $z$).
- Se someten dichas letras y los demás datos que intervienen en el problema, a las operaciones indicadas por el enunciado, tal como se haría la verificación en el caso en que se conociera el valor de la incógnita o de las incógnitas. Se obtienen así una o dos igualdades que son las ecuaciones del problema.
- Se resuelve la ecuación o sistema obtenidos.
- Se discute la solución hallada, es decir, se averigua si la solución de la ecuación o del sistema satisface también al problema concreto propuesto.
2. Aplicaciones
Damos a continuación ejemplos de algunos de los problemas que se presentan con más frecuencia en la práctica:
Problema I
Si a la suma de dinero que tiene Juan, se le agregan 10 pesos , se obtiene lo mismo que si del triplo de dicha suma se sacan 22 pesos . ¿Cuántos pesos tiene Juan?
Planteo
Llamando $x$ al número de pesos que tiene Juan; como
$x + 10$ debe ser lo mismo que
$3x - 22$, la ecuación del problema es:
$$
x + 10 = 3x - 22
$$
Resolución
$$
x - 3x = -22 - 10
$$
$$
-2x = -32
$$
$$
x = \frac{-32}{-2} = 16
$$
Discusión
Es $x = 16$ el dinero que tiene Juan, puesto que:
$$
16 + 10 = 26
$$
y
$$
3 \times 16 - 22 = 48 - 22 = 26
$$
Problema II
Repartir 100 pesos entre tres personas A, B y C, de manera que la segunda reciba 10 pesos más que la primera, y la tercera reciba 20 pesos más que la segunda. ¿Cuánto corresponde a cada persona?
Problema II
Planteo
Llamando $x$ a la parte correspondiente a A, se tiene que:
A recibe:
$$
x
$$
pesos
B recibe:
$$
x + 10
$$
pesos
C recibe:
$$
x + 15
$$
pesos
y como la suma de lo que le corresponde a A, B y C es igual a 100 pesos resulta:
$$
x + (x + 10) + (x + 15) = 100
$$
Resolución
$$
x + x + x = 100 - 10 - 15
$$
$$
3x = 75
$$
$$
x = \frac{75}{3} = 25
$$
Discusión
Es $x = 25$ lo que le corresponde a A, porque en tal caso a B le corresponden:
$$
x + 10 = 25 + 10 = 35
$$
y a C:
$$
x + 15 = 25 + 15 = 40
$$
$$
25 + 35 + 40 = 100
$$
Problema III
La suma de dos números es igual a 6 y el triplo de la diferencia de los mismos es 9. ¿Cuáles son esos números?
Planteo
Llamando $x$ al primer número buscado:
$$
6 - x
$$
es el segundo, puesto que la suma de ambos es 6.
Por otra parte:
$$
x - (6 - x)
$$
es la diferencia de los mismos; luego por las condiciones del problema resulta:
$$
3[x - (6 - x)] = 9
$$
Resolución
$$
3x - 3(6 - x) = 9
$$
$$
3x - 18 + 3x = 9
$$
$$
3x + 3x = 9 + 18
$$
$$
6x = 27
$$
$$
x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
$$
Siendo:
$$
x = \frac{9}{2}
$$
el primer número, el segundo es:
$$
6 - \frac{9}{2} = \frac{3}{2}
$$
Discusión
Es:
$$
\frac{9}{2}
$$
el primer número y:
$$
\frac{3}{2}
$$
el segundo, puesto que:
$$
\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6
$$
y
$$
3\left(\frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right)
=
3 \cdot \frac{6}{2}
=
9
$$
Problema IV
Una persona ha colocado la mitad de su capital al 5 % de interés, la tercera parte del mismo al 6 % y el resto al 9 %, obteniendo anualmente un producido de 3000 pesos . ¿Qué capital tiene?
Planteo
Llamando $x$ al número de pesos que tiene esa persona:
La mitad del capital:
$$
\frac{x}{2}
$$
produce:
$$
\frac{x}{2} \times 0,05
$$
en 1 año.
La tercera parte:
$$
\frac{x}{3}
$$
produce:
$$
\frac{x}{3} \times 0,06
$$
El resto:
$$
x - \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{3}\right)
=
x - \frac{5x}{6}
=
\frac{x}{6}
$$
produce:
$$
\frac{x}{6} \times 0,09
$$
y como la suma de las ganancias es igual a 3000 pesos , se tiene:
$$
\frac{x}{2}\cdot0,05 + \frac{x}{3}\cdot0,06 + \frac{x}{6}\cdot0,09 = 3000
$$
Resolución
Efectuando la operación del primer miembro da:
$$
0,025x + 0,02x + 0,015x = 3000
$$
o sea:
$$
0,06x = 3000
$$
$$
x = \frac{3000}{0,06} = 50000
$$
Discusión
Es $x = 50000$ el capital, pues:
Interés de la mitad:
$$
25000 \times 0,05 = 1250
$$
Interés de la tercera parte:
$$
\frac{50000 \times 0,06}{3} = 1000
$$
Interés del resto:
$$
\frac{50000 \times 0,09}{6} = 750
$$
Total:
$$
1250 + 1000 + 750 = 3000
$$
Problema V
Herón de Siracusa hizo hacer una corona de oro que pesaba 7465 g. Para conocer si el orfebre había reemplazado el oro por plata, Arquímedes sumergió la corona en el agua, donde ella perdió 467 g. de su peso. Se sabía que el oro pierde en el agua 0,052 de su peso, y la plata 0,095. ¿Cuánto oro tenía y cuánta plata tenía la corona?
Planteo
Llamando $x$ la cantidad de oro que tenía la corona e $y$ la de plata, se tiene por las condiciones del problema el sistema:
$$
\begin{cases}
x + y = 7465 \\
0,052x + 0,095y = 467
\end{cases}
$$
Resolución
Resolviéndolo por determinantes da:
$$
x = 5631,97
$$
$$
y = 1833,03
$$
Discusión
La corona tenía 5631,97 gr. de oro y 1833,03 gr. de plata, puesto que:
$$
5631,97 \text{ gr.} + 1833,03 \text{ gr.} = 7465 \text{ gr.}
$$
y
$$
5631,97 \times 0,052 + 1833,03 \times 0,095 = 467 \text{ gr.}
$$
Problema VI
Repartir 5400 pesos entre dos personas A y B de manera que el cociente entre lo que le toca a A y lo que le corresponde a B sea $\frac{2}{5}$.
Planteo
Llamando $x$ al número de pesos de A e $y$ al de B, se tiene, de acuerdo a las condiciones del problema:
$$
\begin{cases}
\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{5} \\
x + y = 5400
\end{cases}
$$
o sea:
$$
\begin{cases}
5x - 2y = 0 \\
x + y = 5400
\end{cases}
$$
Resolución
Escribiendo la [1]
$$
5x - 2y = 0
$$
y multiplicando la [2] por 2:
$$
2x + 2y = 10800
$$
Sumando miembro a miembro da:
$$
7x = 10800
$$
luego:
$$
x = \frac{10800}{7} = 1542,86
$$
y sustituyendo este valor en [2] da:
$$
1542,86 + y = 5400
$$
luego:
$$
y = 5400 - 1542,86 = 3857,14
$$
y por lo tanto A tiene 1542,86 pesos y B 3857,14 pesos .
3. Discusión de un problema
Un padre tiene $p$ años de edad y su hijo $h$ años. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será igual a $m$ veces la del hijo?
Planteo
Llamando $x$ al número de años que deben transcurrir para que se verifique lo preguntado en el problema, resulta que al cabo de dicho tiempo tendremos:
Edad del padre:
$$
p + x
$$
años
$m$ veces la edad del hijo:
$$
m(h + x)
$$
años
luego:
$$
p + x = m(h + x)
$$
Resolución
$$
p + x = mh + mx
$$
$$
mx - x = p - mh
$$
$$
(m - 1)x = p - mh
$$
$$
x = \frac{p - mh}{m - 1}
$$
Discusión
Como $m$ es un número entero positivo y mayor que 1, el denominador:
$$
m - 1 > 0
$$
o sea, es positivo.
Como en el numerador figura una diferencia, consideraremos los casos en que el minuendo $p$ sea mayor, igual o menor que el sustraendo $mh$.
1º Caso — Cuando $p > mh$
Si:
$$
p > mh
$$
es:
$$
p - mh > 0
$$
y como el denominador:
$$
m - 1 > 0
$$
resulta:
$$
x > 0
$$
(es decir positivo) lo que nos dice que la edad del padre será $m$ veces la del hijo $x$ años después del instante en que se consideró el problema.
Ejemplo numérico: si $p = 45$ años, $h = 15$ años y $m = 2$ es:
$$
x = \frac{p - mh}{m - 1}
=
\frac{45 - 30}{2 - 1}
=
15 \text{ años}
$$
2º Caso — Cuando $p = mh$
Si:
$$
p = mh
$$
es:
$$
p - mh = 0
$$
y como:
$$
m - 1 \ne 0
$$
es:
$$
x = \frac{0}{m - 1} = 0
$$
es decir la edad del padre es $m$ veces la del hijo en el instante de considerar el problema.
Ejemplo numérico: Si $p = 60$ años, $h = 20$ años y $m = 3$ es:
$$
x = \frac{p - mh}{m - 1}
=
\frac{60 - 20 \cdot 3}{3 - 1}
=
\frac{0}{2}
=
0 \text{ años}
$$
3º Caso — Cuando $p < mh$
Si:
$$
p < mh
$$
es:
$$
p - mh < 0
$$
y como:
$$
m - 1 > 0
$$
resulta:
$$
x < 0
$$
(es decir negativo) lo que se interpreta diciendo que la edad del padre ha sido $m$ veces la del hijo $x$ años antes del instante en que se consideró el problema.
Ejemplo numérico: Si $p = 32$ años, $h = 12$ años y $m = 3$ es:
$$
x = \frac{p - mh}{m - 1}
=
\frac{32 - 3 \cdot 12}{3 - 1}
=
\frac{32 - 36}{2}
=
\frac{-4}{2}
=
-2 \text{ años}
$$
|
