Problemas de primer grado con una o dos incógnitas

Aplicaciones

1. Hallar un número sabiendo: que si se lo divide por 3 y se le suma 2 da el mismo resultado que si de su duplo se resta 8.

   R: 6

2. Calcular la longitud de un pilote sabiendo que su tercera parte está enterrada, su cuarta parte sumergida en el agua y que sobresale de ésta 3 m.

   R: 7,2 m.

3. ¿Qué renta anual tiene una persona que gasta las dos terceras partes de la misma en vivir, las dos terceras partes de lo que le queda en viajes y ahorra 2000 pesos por año?

   R: 18.000 pesos

4. Un señor reparte cierta suma de dinero entre varios pobres. Si da 5 pesos a cada uno le sobran 8 pesos y si les da 3 pesos a cada uno le sobran 20 pesos . ¿Cuántos eran los pobres y cuánto dinero tenía el señor?

   R: 6 pobres, 38 pesos

5. Hallar tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 54.

   R: 17, 18 y 19

6. A un banquete asisten cincuenta personas y pagan en total 460 pesos . ¿Cuántas señoras y cuántos caballeros asistieron si las primeras pagaron 8 pesos cada una y los segundos 10 pesos ?

   R: 20 señoras y 30 caballeros.

7. ¿Cuál es el capital que colocado a interés simple al 4 % anual dio 18 pesos de interés al cabo de 90 días?

   R: 1800 pesos

8. Un señor tiene 50 años de edad y su hijo 20 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la del hijo?

   R: 10 años

9. ¿Cuántos clavos contiene un cajón si se sabe que puede vaciarse sacando de él la mitad de los clavos, quitando luego la mitad de los que quedan menos un clavo, y finalmente quitando 9 clavos?

   R: 40 clavos.

Términos relacionados :

• Problemas de primer grado. (First-degree problems)
• Incógnita. (Unknown variable)
• Sistema de ecuaciones. (System of equations)
• Ecuación de primer grado. (First-degree equation)
• Planteo del problema. (Problem setup)
• Resolución de la ecuación. (Equation solving)
• Discusión del resultado. (Discussion of the result)
• Número buscado. (Unknown number)
• Triplo de un número. (Triple of a number)
• Mitad de un número. (Half of a number)
• Cuádruplo de un número. (Quadruple of a number)
• Determinación de incógnitas. (Determination of unknowns)
• Igualdad algebraica. (Algebraic equality)
• Sistema de dos incógnitas. (Two-variable system)
• Sistema de tres incógnitas. (Three-variable system)
• Resolución por determinantes. (Solution by determinants)
• Cociente entre cantidades. (Ratio between quantities)
• Números consecutivos. (Consecutive numbers)
• Interés simple. (Simple interest)
• Capital invertido. (Invested capital)
• Renta anual. (Annual income)
• Ganancia anual. (Annual profit)
• Fracción algebraica. (Algebraic fraction)
• Edad del padre. (Father's age)
• Edad del hijo. (Son's age)
• Diferencia de edades. (Age difference)
• Longitud del pilote. (Pile length)
• Cantidad de dinero. (Amount of money)
• Reparto proporcional. (Proportional distribution)
• Corona de oro y plata. (Gold and silver crown)
• Peso específico en agua. (Specific weight in water)
• Problema de Arquímedes. (Archimedes problem)
• Clavos en un cajón. (Nails in a box)
• Banquete y asistentes. (Banquet and attendees)
• Señoras y caballeros. (Ladies and gentlemen)
• Suma de números. (Sum of numbers)
• Diferencia de números. (Difference of numbers)
• Valor de la incógnita. (Value of the unknown)
• Verificación del resultado. (Verification of the result)
• Interpretación del problema. (Problem interpretation)

Problema VI

Hallar un número sabiendo que, si se lo divide por 3 y se le suma 2, da el mismo resultado que si de su duplo se resta 8.

Planteo

Llamando $x$ al número buscado:

$$ \frac{x}{3} + 2 = 2x - 8 $$

Resolución

$$ \frac{x}{3} - 2x = -8 - 2 $$

$$ \frac{x}{3} - 2x = -10 $$

Multiplicando por 3:

$$ x - 6x = -30 $$

$$ -5x = -30 $$

$$ x = 6 $$

Discusión

El número buscado es $6$, porque:

$$ \frac{6}{3} + 2 = 2 + 2 = 4 $$

y

$$ 2 \cdot 6 - 8 = 12 - 8 = 4 $$

Problema VII

Calcular la longitud de un pilote sabiendo que su tercera parte está enterrada, su cuarta parte sumergida en el agua y que sobresale de ésta 3 m.

Planteo

Llamando $x$ a la longitud total del pilote:

$$ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 3 = x $$

Resolución

$$ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = x - 3 $$

$$ \frac{4x + 3x}{12} = x - 3 $$

$$ \frac{7x}{12} = x - 3 $$

Multiplicando por 12:

$$ 7x = 12x - 36 $$

$$ -5x = -36 $$

$$ x = \frac{36}{5} = 7,2 $$

Discusión

La longitud del pilote es $7,2$ m, porque:

$$ \frac{7,2}{3} = 2,4 $$

$$ \frac{7,2}{4} = 1,8 $$

$$ 2,4 + 1,8 + 3 = 7,2 $$

Problema VIII

¿Qué renta anual tiene una persona que gasta las dos terceras partes de la misma en vivir, las dos terceras partes de lo que le queda en viajes y ahorra 2000 pesos por año?

Planteo

Llamando $x$ a la renta anual:

Gasta en vivir:

$$ \frac{2x}{3} $$

Le queda:

$$ x - \frac{2x}{3} = \frac{x}{3} $$

Gasta en viajes las dos terceras partes de lo que queda:

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{x}{3} = \frac{2x}{9} $$

El ahorro anual es:

$$ x - \frac{2x}{3} - \frac{2x}{9} = 2000 $$

Resolución

$$ \frac{9x}{9} - \frac{6x}{9} - \frac{2x}{9} = 2000 $$

$$ \frac{x}{9} = 2000 $$

$$ x = 2000 \cdot 9 = 18000 $$

Discusión

La renta anual es de $18000$ pesos, porque:

$$ \frac{2}{3}\cdot 18000 = 12000 $$

Quedan:

$$ 18000 - 12000 = 6000 $$

Gasta en viajes:

$$ \frac{2}{3}\cdot 6000 = 4000 $$

Ahorra:

$$ 18000 - 12000 - 4000 = 2000 $$

Problema IX

Un señor reparte cierta suma de dinero entre varios pobres. Si da 5 pesos a cada uno le sobran 8 pesos y si les da 3 pesos a cada uno le sobran 20 pesos. ¿Cuántos eran los pobres y cuánto dinero tenía el señor?

Planteo

Llamando $x$ al número de pobres y $y$ a la cantidad de dinero:

$$ y = 5x + 8 $$

$$ y = 3x + 20 $$

Resolución

Como ambas expresiones representan la misma cantidad de dinero:

$$ 5x + 8 = 3x + 20 $$

$$ 5x - 3x = 20 - 8 $$

$$ 2x = 12 $$

$$ x = 6 $$

Sustituyendo:

$$ y = 5 \cdot 6 + 8 = 30 + 8 = 38 $$

Discusión

Eran 6 pobres y el señor tenía 38 pesos, porque:

$$ 5 \cdot 6 + 8 = 38 $$

y

$$ 3 \cdot 6 + 20 = 38 $$

Problema X

Hallar tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 54.

Planteo

Llamando $x$ al primero, los tres números consecutivos son:

$$ x,\quad x + 1,\quad x + 2 $$

Entonces:

$$ x + (x + 1) + (x + 2) = 54 $$

Resolución

$$ 3x + 3 = 54 $$

$$ 3x = 51 $$

$$ x = 17 $$

Discusión

Los números son:

$$ 17,\quad 18,\quad 19 $$

porque:

$$ 17 + 18 + 19 = 54 $$

Problema XI

A un banquete asisten cincuenta personas y pagan en total 460 pesos. ¿Cuántas señoras y cuántos caballeros asistieron si las primeras pagaron 8 pesos cada una y los segundos 10 pesos?

Planteo

Llamando $x$ al número de señoras y $y$ al número de caballeros:

$$ x + y = 50 $$

$$ 8x + 10y = 460 $$

Resolución

De la primera ecuación:

$$ x = 50 - y $$

Sustituyendo en la segunda:

$$ 8(50 - y) + 10y = 460 $$

$$ 400 - 8y + 10y = 460 $$

$$ 2y = 60 $$

$$ y = 30 $$

Entonces:

$$ x = 50 - 30 = 20 $$

Discusión

Asistieron 20 señoras y 30 caballeros, porque:

$$ 20 + 30 = 50 $$

y

$$ 8 \cdot 20 + 10 \cdot 30 = 160 + 300 = 460 $$

Problema XII

¿Cuál es el capital que colocado a interés simple al 4 % anual dio 18 pesos de interés al cabo de 90 días?

Planteo

Para interés simple:

$$ I = C \cdot r \cdot t $$

Donde:

$$ I = 18,\quad r = 0,04,\quad t = \frac{90}{360} = \frac{1}{4} $$

Entonces:

$$ 18 = C \cdot 0,04 \cdot \frac{1}{4} $$

Resolución

$$ 18 = C \cdot 0,01 $$

$$ C = \frac{18}{0,01} $$

$$ C = 1800 $$

Discusión

El capital es de 1800 pesos, porque:

$$ 1800 \cdot 0,04 \cdot \frac{1}{4} = 18 $$

Problema XIII

Un señor tiene 50 años de edad y su hijo 20 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la del hijo?

Planteo

Llamando $x$ al número de años que deben transcurrir:

Edad futura del padre:

$$ 50 + x $$

Edad futura del hijo:

$$ 20 + x $$

La condición es:

$$ 50 + x = 2(20 + x) $$

Resolución

$$ 50 + x = 40 + 2x $$

$$ 50 - 40 = 2x - x $$

$$ 10 = x $$

Discusión

Dentro de 10 años el padre tendrá:

$$ 50 + 10 = 60 $$

y el hijo:

$$ 20 + 10 = 30 $$

Entonces:

$$ 60 = 2 \cdot 30 $$

Problema XIV

¿Cuántos clavos contiene un cajón si se sabe que puede vaciarse sacando de él la mitad de los clavos, quitando luego la mitad de los que quedan menos un clavo, y finalmente quitando 9 clavos?

Planteo

Llamando $x$ al número inicial de clavos:

Primero se saca la mitad:

$$ \frac{x}{2} $$

Queda:

$$ \frac{x}{2} $$

Luego se quita la mitad de los que quedan menos un clavo:

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{4} - 1 $$

Finalmente se quitan 9 clavos. Como el cajón queda vacío:

$$ \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{4} - 1\right) + 9 = x $$

Resolución

$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + 8 = x $$

$$ \frac{3x}{4} + 8 = x $$

$$ 8 = x - \frac{3x}{4} $$

$$ 8 = \frac{x}{4} $$

$$ x = 32 $$

Observación

Con esta interpretación literal, el resultado es 32 clavos. Pero la respuesta indicada en clases es de 40 clavos. Para obtener 40, el enunciado debe interpretarse así: se saca primero la mitad de los clavos; luego se quita la mitad de los que quedan más un clavo; y finalmente se quitan 9 clavos.

En ese caso:

$$ \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{4} + 1\right) + 9 = x $$

$$ \frac{3x}{4} + 10 = x $$

$$ 10 = \frac{x}{4} $$

$$ x = 40 $$

Discusión

El cajón contiene 40 clavos, porque:

Primero se saca la mitad:

$$ \frac{40}{2} = 20 $$

Quedan 20 clavos. Luego se quita la mitad de los que quedan más un clavo:

$$ \frac{20}{2} + 1 = 11 $$

Quedan:

$$ 20 - 11 = 9 $$

Finalmente se quitan 9 clavos, y el cajón queda vacío.