Problemas de primer grado con una o dos incógnitas
Problema XV
Dos ciclistas A y B recorren un camino en el mismo sentido. En cierto instante están separados 15 km. ¿Después de cuánto tiempo A alcanza a B, si A marcha a 20 km por hora, B a 18 km por hora, y B precede a A?
Planteo
Llamando $x$ al tiempo buscado en horas:
Durante ese tiempo:
A recorre:
$$
20x
$$
km
B recorre:
$$
18x
$$
km
Como la diferencia entre las distancias recorridas es de 15 km:
$$
20x - 18x = 15
$$
Resolución
$$
2x = 15
$$
$$
x = \frac{15}{2} = 7,5
$$
Discusión
A alcanza a B después de:
$$
7,5 \text{ horas}
$$
Problema XVI
Un oficial y un aprendiz trabajando juntos pueden hacer una pared en 12 días, y el aprendiz, trabajando solo, lo hace en 30 días. ¿Cuántos días necesitará el oficial para hacer ese trabajo solo?
Planteo
Llamando $x$ al número de días que tarda el oficial trabajando solo:
Trabajo diario del oficial:
$$
\frac{1}{x}
$$
Trabajo diario del aprendiz:
$$
\frac{1}{30}
$$
Trabajando juntos:
$$
\frac{1}{12}
$$
Entonces:
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{30} = \frac{1}{12}
$$
Resolución
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{30}
$$
$$
\frac{1}{x} = \frac{5 - 2}{60}
$$
$$
\frac{1}{x} = \frac{3}{60}
$$
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{20}
$$
$$
x = 20
$$
Discusión
El oficial tarda:
$$
20 \text{ días}
$$
porque:
$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
=
\frac{3 + 2}{60}
=
\frac{5}{60}
=
\frac{1}{12}
$$
Problema XVII
Un tanque puede ser llenado por una canilla en 10 minutos y por otra en 15 minutos. ¿En cuánto tiempo se llena si se abren las dos juntas?
Planteo
Sea $x$ el tiempo necesario para llenar el tanque con ambas canillas abiertas.
La primera llena:
$$
\frac{1}{10}
$$
del tanque por minuto.
La segunda llena:
$$
\frac{1}{15}
$$
del tanque por minuto.
Entonces:
$$
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{x}
$$
Resolución
$$
\frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{x}
$$
$$
\frac{5}{30} = \frac{1}{x}
$$
$$
\frac{1}{6} = \frac{1}{x}
$$
$$
x = 6
$$
Discusión
El tanque se llena en:
$$
6 \text{ minutos}
$$
Problema XVIII
Una mezcla contiene 2 l de nafta y 5 l de kerosene. ¿Cuántos litros de nafta es necesario agregar para que la mezcla tenga $\frac{3}{8}$ de nafta?
Planteo
Llamando $x$ a los litros de nafta agregados:
La cantidad total de nafta será:
$$
2 + x
$$
La cantidad total de mezcla será:
$$
7 + x
$$
Entonces:
$$
\frac{2 + x}{7 + x} = \frac{3}{8}
$$
Resolución
$$
8(2 + x) = 3(7 + x)
$$
$$
16 + 8x = 21 + 3x
$$
$$
8x - 3x = 21 - 16
$$
$$
5x = 5
$$
$$
x = 1
$$
Observación
El cálculo algebraico da:
$$
x = 1
$$
Problema XIX
Calcular los ángulos del triángulo ABC sabiendo que B es el doble de A y que C es el triplo de A.
Planteo
Llamando $x$ al ángulo A:
$$
A = x
$$
$$
B = 2x
$$
$$
C = 3x
$$
Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180°:
$$
x + 2x + 3x = 180
$$
Resolución
$$
6x = 180
$$
$$
x = 30
$$
Entonces:
$$
A = 30^\circ
$$
$$
B = 60^\circ
$$
$$
C = 90^\circ
$$
Discusión
Los ángulos son:
$$
30^\circ,\quad 60^\circ,\quad 90^\circ
$$
porque:
$$
30 + 60 + 90 = 180
$$
Problema XX
Calcular las longitudes de los lados del triángulo ABC sabiendo que su perímetro es de 59 m y que a es 4 m más largo que b, y que c es igual al duplo de b menos 5 m.
Planteo
Llamando $b = x$:
$$
a = x + 4
$$
$$
c = 2x - 5
$$
Como el perímetro es 59 m:
$$
x + (x + 4) + (2x - 5) = 59
$$
Resolución
$$
4x - 1 = 59
$$
$$
4x = 60
$$
$$
x = 15
$$
Entonces:
$$
b = 15
$$
$$
a = 19
$$
$$
c = 25
$$
Discusión
$$
19 + 15 + 25 = 59
$$
Problema XXI
Hallar dos números sabiendo que su suma es −9 y su diferencia es 5.
Planteo
Llamando $x$ al primer número e $y$ al segundo:
$$
x + y = -9
$$
$$
x - y = 5
$$
Resolución
Sumando ambas ecuaciones:
$$
2x = -4
$$
$$
x = -2
$$
Sustituyendo:
$$
-2 + y = -9
$$
$$
y = -7
$$
Discusión
Los números son:
$$
-2 \text{ y } -7
$$
Problema XXII
Hallar dos números sabiendo que el duplo del primero más el triplo del segundo es −10 y que la diferencia entre el primero y el segundo es −10.
Planteo
Llamando $x$ al primero e $y$ al segundo:
$$
2x + 3y = -10
$$
$$
x - y = -10
$$
Resolución
De la segunda ecuación:
$$
x = y - 10
$$
Sustituyendo:
$$
2(y - 10) + 3y = -10
$$
$$
2y - 20 + 3y = -10
$$
$$
5y = 10
$$
$$
y = 2
$$
Entonces:
$$
x = 2 - 10 = -8
$$
Observación
El desarrollo algebraico da como resultado:
$$
-8 \text{ y } 2
$$
La respuesta impresa en el libro aparece como “8 y 2”, lo cual parece ser un error de signo.
Problema XXIII
Hallar la fracción que es igual a 1 si se le suma 2 a su numerador e igual a −1 si se le resta 8 a su denominador.
Planteo
Sea la fracción:
$$
\frac{x}{y}
$$
Las condiciones son:
$$
\frac{x + 2}{y} = 1
$$
$$
\frac{x}{y - 8} = -1
$$
Resolución
De la primera:
$$
x + 2 = y
$$
De la segunda:
$$
x = -y + 8
$$
Sustituyendo:
$$
(-y + 8) + 2 = y
$$
$$
10 = 2y
$$
$$
y = 5
$$
$$
x = 3
$$
La fracción es:
$$
\frac{3}{5}
$$
Problema XXIV
Una persona que tiene 1500 pesos coloca una parte de ellos al 5 % y el resto al 4 %. Hallar el valor de cada una de esas partes sabiendo que la suma de los intereses producidos en un año es de 66 pesos .
Planteo
Llamando $x$ a la cantidad colocada al 5 %:
$$
1500 - x
$$
queda colocada al 4 %.
Entonces:
$$
0,05x + 0,04(1500 - x) = 66
$$
Resolución
$$
0,05x + 60 - 0,04x = 66
$$
$$
0,01x = 6
$$
$$
x = 600
$$
La otra parte es:
$$
1500 - 600 = 900
$$
Discusión
Las cantidades son:
$$
600 \text{ pesos y } 900 \text{ pesos }
$$
Problema XXV
Repartir el número 180 en partes proporcionales a 6 y 9.
Planteo
Llamando $x$ e $y$ a las partes:
$$
x + y = 180
$$
$$
\frac{x}{y} = \frac{6}{9}
$$
Resolución
$$
\frac{x}{y} = \frac{2}{3}
$$
$$
3x = 2y
$$
$$
y = \frac{3x}{2}
$$
Sustituyendo:
$$
x + \frac{3x}{2} = 180
$$
$$
\frac{5x}{2} = 180
$$
$$
5x = 360
$$
$$
x = 72
$$
$$
y = 108
$$
Discusión
$$
72 + 108 = 180
$$
y:
$$
\frac{72}{108} = \frac{2}{3} = \frac{6}{9}
$$
Problema XXVI
Un señor dejó al morir un campo de 700 hectáreas para que fuera repartido entre dos amigos en partes inversamente proporcionales a sus edades. ¿Cuántas hectáreas le corresponde a cada uno, si el primero tiene 36 años y el segundo 24?
Planteo
Como las partes son inversamente proporcionales a las edades:
$$
\frac{x}{y} = \frac{24}{36}
$$
o sea:
$$
\frac{x}{y} = \frac{2}{3}
$$
Además:
$$
x + y = 700
$$
Resolución
$$
3x = 2y
$$
$$
y = \frac{3x}{2}
$$
Sustituyendo:
$$
x + \frac{3x}{2} = 700
$$
$$
\frac{5x}{2} = 700
$$
$$
5x = 1400
$$
$$
x = 280
$$
$$
y = 700 - 280 = 420
$$
Discusión
Al primero le corresponden:
$$
280 \text{ hectáreas}
$$
y al segundo:
$$
420 \text{ hectáreas}
$$
Problema XXVII
A y B formaron una compañía. A puso 5000 pesos y B puso 6000 pesos dejando dichos capitales durante el mismo tiempo. Habiéndose obtenido al cabo de ese tiempo 1540 pesos de ganancia, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Planteo
Las ganancias deben repartirse proporcionalmente a los capitales:
$$
\frac{x}{y} = \frac{5000}{6000}
$$
$$
\frac{x}{y} = \frac{5}{6}
$$
Además:
$$
x + y = 1540
$$
Resolución
$$
6x = 5y
$$
$$
y = \frac{6x}{5}
$$
Sustituyendo:
$$
x + \frac{6x}{5} = 1540
$$
$$
\frac{11x}{5} = 1540
$$
$$
11x = 7700
$$
$$
x = 700
$$
$$
y = 1540 - 700 = 840
$$
Discusión
A obtiene:
$$
700 \text{ pesos }
$$
y B obtiene:
$$
840 \text{ pesos }
$$
Problema XXVIII
Se ha mezclado café de 2 pesos el kg con otro de 3 pesos el kg. ¿Cuántos kg de cada precio deben mezclarse para poder obtener 150 kg de mezcla de 2,70 pesos el kg?
Planteo
Llamando $x$ a los kg de café de 2 pesos e $y$ a los kg de café de 3 pesos :
$$
x + y = 150
$$
El valor total de la mezcla es:
$$
2x + 3y = 2,70 \times 150
$$
$$
2x + 3y = 405
$$
Resolución
De la primera ecuación:
$$
x = 150 - y
$$
Sustituyendo:
$$
2(150 - y) + 3y = 405
$$
$$
300 - 2y + 3y = 405
$$
$$
y = 105
$$
$$
x = 150 - 105 = 45
$$
Discusión
Se deben mezclar:
$$
45 \text{ kg de café de 2 pesos }
$$
con:
$$
105 \text{ kg de café de 3 pesos }
$$
Problema XXIX
Un avión tiene una velocidad de 310 km por hora al volar a favor del viento y una de 150 km por hora al volar en contra. ¿Cuál es la velocidad propia del avión y cuál la del viento?
Planteo
Llamando $x$ a la velocidad del avión e $y$ a la velocidad del viento:
$$
x + y = 310
$$
$$
x - y = 150
$$
Resolución
Sumando ambas ecuaciones:
$$
2x = 460
$$
$$
x = 230
$$
Sustituyendo:
$$
230 + y = 310
$$
$$
y = 80
$$
Discusión
La velocidad propia del avión es:
$$
230 \text{ km/h}
$$
y la del viento:
$$
80 \text{ km/h}
$$
Problema XXX
Un automovilista recorre una carretera manteniendo constante la velocidad de 80 km/h a partir de un punto A de la misma. Media hora más tarde parte de ese punto A otro automovilista para recorrer la carretera a una velocidad constante de 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y a qué distancia de A se encontrarán?
Planteo
Llamando $x$ al tiempo recorrido por el segundo automovilista:
El primero habrá viajado:
$$
x + 0,5
$$
horas.
Las distancias recorridas serán iguales:
$$
80(x + 0,5) = 90x
$$
Resolución
$$
80x + 40 = 90x
$$
$$
40 = 10x
$$
$$
x = 4
$$
La distancia será:
$$
90 \times 4 = 360
$$
Problema XXXI
Hallar la edad de un señor y la de su hijo sabiendo que la del primero es el cuádruplo de la del segundo y que el padre tiene 24 años más que su hijo.
Planteo
Llamando $x$ a la edad del hijo:
$$
4x
$$
es la edad del padre.
Además:
$$
4x = x + 24
$$
Resolución
$$
4x - x = 24
$$
$$
3x = 24
$$
$$
x = 8
$$
Entonces:
$$
4x = 32
$$
Discusión
El padre tiene:
$$
32 \text{ años}
$$
y el hijo:
$$
8 \text{ años}
$$
Problema XXXII
Hallar el número de asistentes a un banquete y el precio del cubierto, sabiendo que si hubiesen asistido 2 más pagarían 2 pesos menos el cubierto, y que si asistiesen 2 menos tendrían que pagar 3 pesos más por cubierto.
Planteo
Llamando $x$ al número de asistentes e $y$ al precio del cubierto:
El gasto total es constante:
$$
xy = (x + 2)(y - 2)
$$
y también:
$$
xy = (x - 2)(y + 3)
$$
Resolución
Desarrollando la primera:
$$
xy = xy - 2x + 2y - 4
$$
$$
2x - 2y = -4
$$
$$
x - y = -2
$$
Desarrollando la segunda:
$$
xy = xy + 3x - 2y - 6
$$
$$
3x - 2y = 6
$$
Resolviendo el sistema:
$$
x = 10
$$
$$
y = 12
$$
Discusión
Asistieron:
$$
10 \text{ personas}
$$
y el cubierto costaba:
$$
12 \text{ pesos }
$$
Problema XXXIII
Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que la diferencia entre el mayor y el menor de ellos es de 10°.
Planteo
En un triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90°.
Llamando $x$ al menor ángulo:
$$
x + (x + 10) = 90
$$
Resolución
$$
2x + 10 = 90
$$
$$
2x = 80
$$
$$
x = 40
$$
Entonces el otro ángulo es:
$$
50^\circ
$$
Discusión
Los ángulos agudos son:
$$
40^\circ \text{ y } 50^\circ
$$
Problema XXXIV
Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que el perímetro es de 28 m y que la base supera a la altura en 2 m.
Planteo
Llamando $x$ a la altura:
$$
x + 2
$$
es la base.
Como:
$$
2[(x + 2) + x] = 28
$$
Resolución
$$
(x + 2) + x = 14
$$
$$
2x + 2 = 14
$$
$$
2x = 12
$$
$$
x = 6
$$
Entonces:
$$
x + 2 = 8
$$
Discusión
La base mide:
$$
8 \text{ m}
$$
y la altura:
$$
6 \text{ m}
$$
Problema XXXV
Si se divide a un segmento de 30 cm de longitud en otros dos cuya razón es $\frac{1}{2}$, ¿cuánto mide cada una de las partes?
Planteo
Llamando $x$ e $y$ a las partes:
$$
x + y = 30
$$
$$
\frac{x}{y} = \frac{1}{2}
$$
Resolución
$$
2x = y
$$
Sustituyendo:
$$
x + 2x = 30
$$
$$
3x = 30
$$
$$
x = 10
$$
$$
y = 20
$$
Discusión
Las partes miden:
$$
10 \text{ cm y } 20 \text{ cm}
$$
|
