FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ver inicio

6. Determinación aproximada de los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo dado, empleando el transportador y la regla graduada.
Dado un ángulo, si no conocemos su medida, la podemos determinar con el transportador. Para obtener sus funciones trigonométricas procedemos así: elegimos un radio vector arbitrario y determinamos la ordenada y la abscisa correspondientes; medimos estos segmentos con el doble decímetro y luego calculamos las funciones trigonométricas del ángulo, de acuerdo con las definiciones dadas.

Así, en el caso de la figura, resulta:

α̂ = 30°
y = 15 mm
x = 26 mm
ρ = 30 mm

• sen 30° = y / ρ = 15 mm / 30 mm = 1/2 = 0.5
• cos 30° = x / ρ = 26 mm / 30 mm = 13/15 = 0.866
• tg 30° = y / x = 15 mm / 26 mm = 15/26 = 0.576
• cosec 30° = ρ / y = 30 mm / 15 mm = 30/15 = 2
• sec 30° = ρ / x = 30 mm / 26 mm = 15/13 = 1.153
• cotg 30° = x / y = 26 mm / 15 mm = 26/15 = 1.733

Para mayor comodidad, puede dibujarse el ángulo sobre papel milimetrado, de modo que la medida de la ordenada y de la abscisa se obtenga inmediatamente, y la del radio vector se calcule aplicando un corolario del teorema de Pitágoras.

Así, en la figura, el ángulo α es de 37°; trazamos una ordenada, y, que resulta ser de 4,2 cm, y la abscisa correspondiente x, de 5,6 cm.

El radio vector ρ, calculado por un corolario del teorema de Pitágoras, es de 7 cm. Luego, se tienen todos los elementos para calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 37°.

Consideramos un ángulo, α̂, por ejemplo. Al determinar el radio vector, la abscisa y ordenada correspondientes, ha quedado formado el triángulo rectángulo OPM, en el cual:

• La abscisa correspondiente al α̂ es OM, o sea, el cateto adyacente a α̂.
• La ordenada correspondiente al α̂ es MP, o sea, el cateto opuesto a α̂.
• El radio vector correspondiente al α̂ es OP, o sea, la hipotenusa.

Luego:

En general, cuando se considera un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, sus funciones trigonométricas se determinan mediante cocientes de los lados del triángulo, según indican los últimos miembros de las igualdades anteriores.

Así, en un triángulo rectángulo:

• El seno de uno de sus ángulos agudos es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa.
• El coseno es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa.
• La tangente es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente, etc.

Llamando β̂ al otro ángulo agudo del triángulo OPM, resulta que β̂ es complementario de α̂, es decir:

β̂ = 90° − α̂

De acuerdo con las consideraciones hechas para el ángulo α̂, se tiene que:

• La abscisa correspondiente a β̂ es el cateto adyacente a β̂, o sea MP.
• La ordenada correspondiente a β̂ es el cateto opuesto a β̂, o sea OM.

El radio vector correspondiente a β̂ es la hipotenusa, o sea OP.

Luego:

De [7]: OM / OP = sen β̂
De [2]: OM / OP = cos α̂

Por lo tanto: sen β̂ = cos α̂
o sea:

sen (90° − α̂) = cos α̂

De [8]: MP / OP = cos β̂
De [1]: MP / OP = sen α̂

Por lo tanto: cos β̂ = sen α̂

o sea: cotg (90° − â) = tg â

Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo

Primero. Dado el ángulo α̂, llamando MP a la ordenada y OM a la abscisa correspondientes, se tiene:

Sumando miembro a miembro las igualdades [1] y [2], se obtiene:

sen² α̂ + cos² α̂ = (MP² + OM²) / OP²  [3]

Pero en el triángulo rectángulo ÔMP, por el teorema de Pitágoras:

OP² = MP² + OM²

Luego, reemplazando en [3]:

sen² α̂ + cos² α̂ = OP² / OP²

Como el cociente de cantidades iguales es uno:

OP² / OP² = 1

En definitiva, resulta la relación fundamental:

sen² α̂ + cos² α̂ = 1  [1]

Esta igualdad expresa que el seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a uno.

De la relación [1] es inmediato que:

sen² α̂ = 1 − cos² α̂

sen α = √(1 − cos² α)

También de [1], se deduce inmediatamente que:

cos² α = 1 − sen² α

De donde:

cos α = √(1 − sen² α)

Expresiones que permiten calcular el seno de un ángulo, conocido el coseno; y el coseno, cuando se conoce el seno.

Por otra parte, como:

sen α = MP / OP
cos α = OM / OP

Dividiendo miembro a miembro:

(sen α) / (cos α) = (MP / OP) / (OM / OP)

Simplificando en el segundo miembro:

sen α / cos α = MP / OM

Pero por definición:

MP / OM = tg α

Luego:

sen α / cos α = tg α

tg α = (sen α) / (cos α)      [II]

Relación que expresa que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del mismo ángulo.

sen â = MP / OP
cosec â = OP / MP

Se observa que para obtener la función cosecante basta invertir la función seno, es decir:

Del mismo modo, resulta:

Relaciones que nos dicen que la cosecante, la secante y la cotangente de un ángulo son respectivamente las recíprocas del seno, coseno y tangente del mismo ángulo.

De las tres relaciones demostradas se deduce que, conocida una función trigonométrica de un ángulo, se pueden determinar las otras.

Dado un triángulo rectángulo, el ABC, por ejemplo, se tiene que:

Primero.

sen B = cat. opuesto / hipotenusa = b / a
o sea:
b / a = sen B

b = a · sen B      [1]

sen Ĉ = cat. opuesto / hipotenusa = c / a
o sea:
c / a = sen Ĉ

Las relaciones [1] y [2] expresan que en todo triángulo rectángulo, un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto.

cos B̂ = cat. adyacente / hipotenusa = c / a
o sea:
c / a = cos B̂

Análogamente:

cos Ĉ = cat. adyacente / hipotenusa = b / a
o sea:
b / a = cos Ĉ

Las relaciones [3] y [4] expresan que en todo triángulo rectángulo, un cateto es igual a la hipotenusa por el coseno del ángulo comprendido.

tg B̂ = cat. opuesto / cat. adyacente = b / c

Análogamente:

tg Ĉ = cat. opuesto / cat. adyacente = c / b
o sea:
c / b = tg Ĉ

Las relaciones [5] y [6] expresan que en todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual al otro cateto multiplicado por la tangente del ángulo opuesto al primero.

cotg B̂ = cat. adyacente / cat. opuesto = c / b
o sea:
c / b = cotg B̂

Análogamente:

cotg Ĉ = cat. adyacente / cat. opuesto = b / c
o sea:
b / c = cotg Ĉ

Las relaciones [7] y [8] expresan que en todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual al otro cateto por la cotangente del ángulo agudo adyacente al primero.

De [1] resulta: a = b / sen B̂
y de [2]: a = c / sen B̂

Pero: a = b / sen B̂ puede escribirse: a = b · (1 / sen B̂),
y como: 1 / sen B̂ = cosec B̂,

Análogamente se llega a la relación:

Las relaciones [9] y [10] expresan que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a un cateto multiplicado por la cosecante del ángulo opuesto a dicho cateto.

De [3] resulta: a = c / cos B̂
y de [4]: a = b / cos Ĉ

Pero: a = c / cos B̂ puede escribirse: a = c · (1 / cos B̂), con B̂ ,

y como:
1 / cos B̂ = sec B̂

Del mismo modo se establece que:

Las relaciones [11] y [12] expresan que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a un cateto por la secante del ángulo comprendido.

Las relaciones que acabamos de ver nos permiten calcular todos los elementos de un triángulo rectángulo, cuando se conocen dos lados o un lado y un ángulo agudo.

Calcular los restantes elementos en función de los elementos conocidos es resolver el triángulo.

Según los datos, pueden presentarse los siguientes casos:

1º) Resolver un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo.

Supongamos, por ejemplo, que los elementos conocidos son: la hipotenusa de 10 cm y el ángulo B̂ = 33°.

Los restantes elementos que debemos calcular son: el ángulo Ĉ y los catetos b y c, que constituyen las incógnitas del problema.

Prácticamente el problema se dispone así:

1º) Las incógnitas deben calcularse únicamente en función de los datos.

2º) Para la resolución de los triángulos no es necesario recordar las relaciones a aplicar, pues como se hizo en la teoría, pueden deducirse inmediatamente de las definiciones de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

Cálculo del Ĉ

Como Ĉ y B̂ son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, son complementarios; luego:

Ĉ + B̂ = 90°
o sea:
Ĉ = 90° − B̂ = 90° − 33° = 57°

Cálculo de b

Como conocemos la hipotenusa y el ángulo opuesto al cateto b, debemos aplicar la relación:

b = a · sen B̂

en nuestro caso:
b = 10 cm · sen 33°
y como sen 33° = 0,545, se tiene:
b = 10 cm · 0,545

es decir:
b = 5,45 cm

Cálculo de c

Como conocemos la hipotenusa y el ángulo B̂ comprendido entre ella y el cateto que se quiere calcular, la relación que se debe aplicar es:

c = a · cos B̂

o sea:
c = 10 cm · cos 33°
y como cos 33° = 0,839, se tiene:
c = 10 cm · 0,839

es decir:
c = 8,39 cm

2º) Resolver un triángulo rectángulo dados un cateto y un ángulo agudo

Resolvemos únicamente el caso en que el cateto y el ángulo agudo conocidos, son opuestos, pues cuando son adyacentes, el problema se resuelve en forma del todo semejante.

Sea, por ejemplo:

Datos: { b = 5 cm B̂ = 52° }

Como Ĉ y B̂ son complementarios:
Ĉ + B̂ = 90°
o sea:
Ĉ = 90° − 52° = 38°

Conocemos el cateto opuesto b y el ángulo opuesto, aplicamos la relación [9]:
a = b · cosec B̂
luego:
a = 5 cm · cosec 52°
y como cosec 52° = 1,269,
a = 5 cm · 1,269 = 6,345 cm

Conocemos el cateto adyacente b y el ángulo adyacente, aplicamos:
c = b · cotg B̂
luego:
c = 5 cm · cotg 52°
y como cotg 52° = 0,781,
c = 5 cm · 0,781 = 3,905 cm

3º) Resolver un triángulo rectángulo conocidos la hipotenusa y un cateto

Sea por ejemplo:

Datos: { a = 8 cm c = 4 cm }

Como se conocen el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa, aplicamos la relación:
cos B̂ = c / a

En nuestro caso:
cos B̂ = 4 cm / 8 cm = 0,500

Se calcula mediante calculadora, o se busca en la tabla el ángulo que corresponde a un coseno de 0,500, que resulta ser 60°:
B̂ = 60°

Como se conocen el cateto opuesto a dicho ángulo y la hipotenusa:
sen Ĉ = c / a

Luego:
sen Ĉ = 4 cm / 8 cm = 0,500

Utilizando las tablas se determina que 0,500 es el seno que corresponde a un ángulo de 30°:
Ĉ = 30°

Conociendo la hipotenusa y un cateto, usamos el teorema de Pitágoras:
b = √(a² − c²)

o sea:
b = √(8 cm)² − (4 cm)² = √64 cm² − 16 cm² = √48 cm²

Luego:
b = 6,92 cm

4º) Resolver un triángulo rectángulo conocidos los dos catetos

Datos: { b = 51 m c = 100 m }

Cálculo de B̂

Conocidos los dos catetos, para calcular el ángulo B̂ se aplica:
tg B̂ = b / c = 51 m / 100 m = 0,51

Pero una tangente de 0,51 corresponde, según las tablas, a un ángulo de 27°;
Luego:
B̂ = 27°

Cálculo del Ĉ

Para calcular el ángulo Ĉ conocidos los dos catetos, aplicamos:
tg Ĉ = c / b = 100 m / 51 m = 1,96

Y como una tangente de 1,96 corresponde según las tablas a un ángulo de 63°, se tiene:
Ĉ = 63°

Cálculo de a

Un corolario del teorema de Pitágoras nos permite calcular la hipotenusa a, conocidos los dos catetos:

a = √(b² + c²)
a = √((51 m)² + (100 m)²) = √(2601 m² + 10.000 m²)

Luego:
a = 112,25 m