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Definición de ángulo
Sea la línea OA, según se muestra en la Figura 7, como una línea de referencia que tiene una dirección determinada.
Usamos un extremo de la línea como punto de rotación y giramos la línea desde su posición inicial AO a otra posición OB, igual que al abrir una puerta.
Al girar la línea sobre su punto de rotación se genera el ángulo AOB.
Figura 7. Generación del ángulo AOB.
Cuando la línea continúa girando hasta retornar a su posición original cumple una revolución completa y ha girado 360° (grados).
Por convención, al trabajar con ángulos dividimos los 360° en cuatro partes de 90° cada una. Para trabajos de precisión dividimos cada grado en 60′ (minutos) y cada minuto en 60″ (segundos).
Cuando la línea que genera el ángulo se ha desplazado menos de 90° desde su punto inicial en el sentido de las agujas del reloj (o, como convencionalmente se designa, en dirección positiva), la línea genera el ángulo en el primer cuadrante.
Cuando la línea está entre 90° y 180° se halla en el segundo cuadrante; entre 180° y 270°, en el tercero; y entre 270° y menores que 360°, en el cuarto cuadrante.
Estos cuadrantes han sido ilustrados en la Figura 8.
Figura 8. División del plano en cuadrantes.
Cuando la línea que genera el ángulo sobrepasa los 360°, el cuadrante en el cual queda el ángulo se determina dividiendo el número de grados por 360 y observando cuál es el resto.
Por ejemplo, el ángulo + 390° dividido por 360 da
1 + 30°/360°.
Puesto que 30° es un ángulo del primer cuadrante, + 390° también pertenece al primer cuadrante, pero se lo designa ángulo de segunda revolución.
En realidad, todas las funciones de 390° son idénticas a las funciones de 30°.
Ejemplo : ¿En qué cuadrante se encuentra el ángulo +850º?
850° ÷ 360° = 2 + 130°/360°
Visto que 130° es un ángulo del segundo cuadrante, 850° también se ubica en el segundo cuadrante.
Ángulos complementarios y suplementarios
Siempre que se suman dos ángulos de modo que la suma sea exactamente 90°, uno se llama complementario del otro.
Entonces, 40° y 50° son complementarios; 20° y 70°, complementarios de 70°; 30° y 60°, de 60°, etc.
Del mismo modo, si la suma de dos ángulos es 180°, uno es suplementario del otro.
Así, 110° y 70° son suplementarios; 150° y 30°, suplementarios de 150°; etc.
35. Medición de ángulos en radianes
Hay diversos métodos de medir ángulos. Uno de los más importantes es la medición en radianes.
Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.
La unidad para este tipo de medición es el radián.
Tiene ciertas ventajas sobre el método de grados, porque relaciona la longitud del arco generado con el tamaño del ángulo.
Además, las mediciones en radianes simplifican mucho el trabajo con funciones trigonométricas en cálculo.
Supongamos que se genera otro ángulo como se muestra en la Figura 9.
Si imponemos la condición de que la longitud del arco s (descrita por la extremidad del segmento de línea que genera el ángulo) debe ser igual a la longitud de la línea r, entonces describimos un ángulo de exactamente un radián de tamaño.
Es decir, para 1 radián, s = r.
El hecho de que la longitud de la circunferencia de un círculo es 2π veces el radio nos dice que existen 2π radianes en un círculo.
Figura 9. Medición del ángulo en radianes.
Hay π radianes en 180°. Por tanto, un radián es igual a 180°/π ≈ 57°17′45″ ≈ 57,3°. Además, 1° = π/180 radianes ≈ 0,017453 rad.
La relación simple, s = r·θ, donde s es la longitud del arco, r el radio y θ el tamaño del ángulo en radianes, resulta conveniente para resolver muchos tipos de problemas. A continuación se incluyen algunos ejemplos.
Ejemplo: percepción angular del ojo
El ojo humano no puede distinguir claramente objetos si ellos abarcan menos de 0,0002 radianes del ojo.
Ejemplo: periscopio de submarino
¿Cuál es la máxima distancia que puede resolver un periscopio de submarino, de 6 cm de diámetro, a su alrededor?
Indudablemente, este problema no considera la estela dejada por el periscopio.
Con esta información sabemos que:
θ = 0,0002 radianes y s = 6 cm = 0,06 m.
Sustituyendo en s = r·θ:
0,06 = r·0,0002
da:
r = 0,06 / 0,0002 = 300 m.
Movimiento giratorio y desplazamiento longitudinal.
Otro tipo de problemas que se simplifica con la medición en radianes es el que vincula el movimiento giratorio de las ruedas de un vehículo con su movimiento de avance.
Aquí no tratamos solamente con ángulos sino también con velocidades angulares. Analicemos este tipo de movimiento en la Figura 10.
Figura 10. Movimiento giratorio y desplazamiento longitudinal.
Consideremos el círculo a la izquierda en la figura 10, que indica la posición original de una rueda. La rueda gira de modo que el centro se mueve a lo largo de la línea CC′, donde C′ es el centro de la rueda en su posición final.
El punto de contacto en el fondo de la rueda se mueve una distancia igual a PP′. Pero como la rueda gira un ángulo θ, el arco s coincide con la línea PP′, de modo que:
s = PP′ (1)
o la longitud del arco es igual a la distancia recorrida por la rueda. Pero puesto que: s = r·θ y llamando t al tiempo transcurrido,
d = r·θ (2)
Dividiendo ambos miembros de (2) por t:
d / t = r·(θ / t) (3)
La velocidad de avance v del vehículo es igual a la velocidad angular ω de la rueda multiplicada por el radio:
v = r·ω
De la ecuación (3), d/t = r·ω, definimos la velocidad de avance v y la velocidad angular ω:
v = r·ω (4)
si ω se mide en radianes por unidad de tiempo.
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