Hidrostática. Salida de los líquidos.
SALIDA DE LOS LÍQUIDOS
Ver tema previo : HIDROSTÁTICA : Presión. Concepto y ejemplos.
Teorema de Torricelli.
Si un vaso lleno de líquido presenta un orificio, situado por debajo de la superficie libre, el líquido sale por dicha abertura. Su velocidad a la salida del orificio (abierto en pared delgada), se determina por el siguiente principio, debido a Torricelli:
La velocidad del líqudo que sale por un orificio, abierto en pared delgada y situado a una altura a, debajo del nivel del líquido, es igual a √2ag, siendo g la aceleración de la gravedad.
Figura : vaso lleno de líquido
En efecto, consideremos una masa de líquido m, orificio de salida O por una altura a (ver figura). Dicha masa m posee una energía potencial:
Ep = mga
Al descender la masa de agua m la energía potencial que pierde se transforma en igual cantidad de energía cinética.
Luego, en el orificio su energía cinética será:
Y por el principio de conservación de la energía podemos escribir
Nótese que
es la velocidad que adquiere un cuerpo, sólido o líquido, cayendo en el vacío de la altura a.
Aplicaciones. — La presión lateral y la energía cinética de las corrientes
de agua se utilizan principalmente para mover las ruedas hidráulicas y las turbinas que suministran trabajo mecánico y corrientes eléctricas.
En los países montañosos se construyen presas y canales que llevan el agua a extensos depósitos, situados a veces a grandes alturas. De allí parten tuberías que bajan por la pendiente hasta las turbinas establecidas en los valles, donde los tubos se estrechan de manera que el agua sale con la mayor velocidad. La fuerza viva del agua, obrando sobre los álabes de las turbinas, les comunica un movimiento rapidísimo y se transforma en trabajo mecánico, el cual a su vez es convertido en energía eléctrica, que suministra luz y fuerza motriz a las ciudades y fábricas.
Frasco de Mariotte.
Es un frasco de vidrio, provisto de una pequeña abertura a, y cerrado por un tapón por el que pasa un tubito de cristal abierto por ambos extremos (ver figura). Dicho frasco permite obtener un chorro continuo de velocidad constante.
Figura : Frasco de Mariotte. (La velocidad, del chorro es constante ) .
Estando el frasco lleno de agua, sale ésta por el orificio a. Entra
el aire exterior por el tubo nm y baja rápidamente el nivel del
agua en el tubo hasta que llega a m. Desde aquel momento penetra el aire, burbuja por burbuja, por el extremo del tubo, yendo a la parte superior del frasco, y la salida del líquido se verifica con velocidad constante, pues la altura h es aquí la distancia vertical del orificio a al nivel m, en el que se ejerce la presión exterior. La velocidad permanece constante hasta que haya salido toda el agua contenida en el frasco encima del nivel de m.
Se regula la velocidad haciendo variar la altura del tubo m. con relación al orificio a. Si la abertura a estuviera situada encima de m, no se observaría salida del líquido, cuyo nivel, en el tubo, se establecería en a', en el mismo plano horizontal que el orificio a.
Presenta con frecuencia el frasco de Mariotte varias aberturas que pueden destaparse separada o simultáneamente. Si se destapan simultáneamente, estando la extremidad inferior del tubo m encima de la más alta, se ve salir el agua por todas las aberturas, pero con diferentes velocidades. Puede comprobarse experimentalmente que son proporcionales a las distancias verticales de los orificios al punto m, demostrándose así el principio de Torricelli.
Aplicación. — En un tubo de distribución del agua, se abre un agujero de 2 mm2 a 12,1 m. debajo del nivel del depósito. Se pregunta ¿con qué velocidad sale el liquido y qué cantidad se derrama en un minuto?
Velocidad :
La cantidad de líquido derramado está representada por el volumen de un cilindro de 2 mm2 de base y 15,4 x 2 = 30,8 metros de altura.
Luego:
Volumen = 0,000002 X 30,8 = 1,85 litro.
Trayectoria recorrida por un líquido que sale por una abertura lateral (ver figura).
Figura : Trayectoria recorrida
por un líquido.
Hagamos la composición de los dos movimientos que se verifican en la salida de un líquido.
1º Por inercia, a causa del empuje inicial de la presión hidráulica, el agua seguiría horizontalmente según OF, con un movimiento untforme (2º principio).
Después de t” habría recorrido un espacio e = v x t.
2º Pero, desde su salida, el agua está sujeta a la acción de la gravedad y, al no existir el 1er. movimento, caería verticalmente según OG, con un movimiento uniforme mente acelerado, recorriendo en (t”) el espacio e = 1/2 gt2.
En virtud de la compensación de los dos movimientos el chorro caerá en E, después de haber recorrido la trayectoria parabólica OBCDE, formada por el conjunto de las diagonales (resultantes) de los paralelogramos construidos sobre los espacios recorridos en tiempos iguales, que se toman como lados.
Aparato de Leblanc
Con el sencillo aparato de Leblanc (ver figura siguiente) pueden, demostrarse los dos casos de la “Ley de Mariotte”.
Figura : Comprobación de la ley de Mariotte. Aparato de Leblanc. En el centro diseño del aparto completo. Izquierda,: ampliaciones de la parte movible para presiones superiores a la presión atmosférica.
Derecha: idem, para presiones inferiores.
Dicho aparato consta de dos tubos de vidrio que pueden deslizarse a lo largo de una regla vertical dividida en centímetros, y unidos por un tubo flexible de caucho. Uno de los tubos está provisto de una llave c, en su extremidad superior, el otro está abierto.
a) Para presiones superiores a la presión atmosférica:
Se fijan los dos tubos como lo indica la fig. A. Abierta la llave c, se vierte mercurio hasta la altura ab. Se cierra luego la llave c, y el aire encerrado en ac está a la presión atmosférica H, que se ejerce en b.
2º Se baja entonces el tubo cerrado a y se levanta b hasta reducir a la 1/2 el volumen del aire aislado en a. Esto sucede cuando la diferencia de nivel del mercurio en los dos tubos es igual a la presión atmosférica H, o sea a 76 cm. (fig. B).
Luego el aire de a’c soporta la presión de 2H: una que se ejerce sobre el tubo abierto b' y la otra por el peso de los 76 cm. de Hg.
3º Se podría seguir y levantar b' hasta reducir a su 1/3 parte el volumen primitivo del aire de a. Se conseguiría este resultado cuando la diferencia de los niveles del mercurio en ambos tubos sea igual a 2H o sea, 76 X 2 = 152 centímetros.
Por consiguiente, el aire reducido a su tercera parte, soportaría una presión de 3H. (2H por los 152 cm. de Hg + 1 H de la presión atmosférica exterior)...
Luego los volúmenes v,v/2,v/3 son inversamente proporcionales a
las presiones H, 2H, 3H, respectivamente.
b) En cuanto a las presiones inferiores a la presión atmosférica, se procede del siguiente modo:
1º Se abre la llave c de r y se colocan los dos tubos como lo indica la fig. C, y se cierra la llave. De esta manera el aire aislado en rc, soporta la presión de 1H, que se ejerce en s.
2º Se levanta el tubo r y se baja s hasta que el volumen del aire en r’c sea doble del de rc (D).
En esta posición la diferencia de nivel del mercurio en los dos tubos es igual a 38 cm. o sea 1/2H.
Luego por haberse duplicado el volumen del aire la presión se ha reducido a 1/2 H. En efecto, se ve que la presión de 1 H exterior en s', queda equilibrada por 1/2H de mercurio y de la presión del aire.
3º Se podría seguir y levantar el tubo r’ hasta triplicar el volumen del aire y se tendría 50 2/3 cm. ó 2/3 de H entre los dos niveles del mercurio, dando el siguiente equilibrio:
1 H (presión atmosférica exterior) = 2/3 H de mercurio + 1/3 H (presión del aire).
Luego por haberse triplicado el volumen primitivo del aire la presión se ha reducido a 1/3 de H.
Resumiendo, se ve que el volumen y la presión varían como sigue:
A un volumen v corresponde la presión 1H
A un volumen 2v corresponde la presión H/2
A un volumen 3v corresponde la presión H/3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Problema 1. Una masa gaseosa ocupa un volumen V = 245 dm3 bajo una presión H = 76 cm. ¿Qué volumen V’ = x tomará bajo una presión H’ = 190 cm.?
Aplicando la fórmula de Mariotte: V’H’ = VH, se obtiene la ecuación: 190x = 245 X 76;
de la que se obtiene:
X = (245 x 76)/190 = 98 dm3
Problema 2. Una masa gaseosa ocupa un volumen V = 245 dm3 bajo una presión H = 76 cm. ¿A qué presión H' hay que someterla para reducir su volumen a V’ = 35 dm3?
Aplicando la fórmula de Mariotte: V’H’ = VH, se obtiene la ecuación: 35y = 245 X 76;
de donde se obtiene : y = (245 x 76)/35 = 532 cm
Problema 3. Un gas está comprimido en el brazo menor de un tubo de Mariotte por mercurio, que presenta una diferencia de nivel h = 20 cm. Se vierte mercurio en el brazo abierto hasta que el volumen del gas esté reducido de
1/5.
¿Cuál será entonces la diferencia de nivel del mercurio?
Sean x la diferencia pedida y V el volumen primitivo de la masa
gaseosa.
Esta ocupa primero un volumen V a la presión H + h.
y después un volumen 4V/5 presión H + x,
Se tiene pues, según la ley de Mariotte:
Problema 4. La presión hidrostática es la presión en un líquido. La presión aumenta a medida que aumenta la profundidad en un líquido. Este aumento se debe al peso del fluido por encima del punto de medición. La presión viene dada por
p = γh
donde
- p = presión en libras por unidad de área o pascales
- γ = el peso específico (lb / ft3 en unidades inglesas o N / m3 en unidades SI)
- h = distancia desde la superficie en unidades compatibles (pies, pulgadas, cm, m, etc.)
¿Cuál es la presión manométrica en (a) kilopascales y (b) newtons por centímetro cuadrado a una distancia de 1 m debajo de la superficie en el agua?
(a) p = 100 cm/m/10.2 cm/kPa = 9.8 kPa
(b) p = 9.8 N/m2 = 9.8/10,000 N/cm2 = 0.98 × 10-3 N/cm2
La presión en este caso es la presión manométrica, es decir, kPa (g). Para obtener la presión total, se debe tener en cuenta la presión de la atmósfera. La presión total (absoluta) en este caso es 9,8 + 101,3 = 111,1 kPa (a).
La g la a deben usarse en todos los casos para evitar confusiones. En el caso de libras por pulgada cuadrada y libras por pie cuadrado, esto se convertiría en libras por pulgada cuadrada de calibre y libras por pie cuadrado de calibre, o libras por pulgada cuadrada absoluta y libras por pie cuadrado absoluto. También debe tenerse en cuenta que si se hubiera utilizado glicerina en lugar de agua, la presión habría sido 1,26 veces mayor, ya que su gravedad específica es 1,26.
Problema 5. ¿Cuál es la gravedad específica del mercurio si el peso específico del mercurio es 846,3 lb / pie3?
SG = 846.3/62.4 = 13.56
El cabezal hidráulico (del inglés head), carga hidráulica, altura piezométrica, o nivel piezométrico se usa a veces como medida de presión. (En medidas inglesas) Es la presión en términos de una columna de un fluido en particular, es decir, una altura de 1 pie de agua es la presión que sería ejercida por una columna de agua de 1 pie de altura, es decir, 62.4 psfg, o la presión ejercida por 1 pie de cabezal de glicerina sería 78,6 psfg.
Problema 6. ¿Cuál es la presión en la base de una torre de agua que tiene 50 pies de altura?
p = 62.4 lb/ft3 × 50 ft = 3120 psfg = 3120 psf/144 ft2/in2 = 21.67 psig
La paradoja hidrostática establece que la presión a una profundidad determinada en un líquido es independiente de la forma del recipiente o del volumen de líquido contenido. El valor de la presión es el resultado de la profundidad y la densidad. La figura 1a muestra varias formas de tanques. La presión o fuerzas totales en los lados del contenedor dependen de su forma, pero a una profundidad específica.
Fig. 1 - Diagramas que demuestran (a) la paradoja hidrostática y (b) la flotabilidad.
La presión viene dada por la ecuación.
p = γh
La flotabilidad es la fuerza hacia arriba ejercida sobre un objeto sumergido o flotando en un líquido. El peso es menor que en el aire debido al peso del fluido desplazado. La fuerza hacia arriba sobre el objeto que causa la pérdida de peso se llama fuerza de flotación y está dada por
B = γV
donde
- B = fuerza de flotación (lb)
- γ = peso específico (lb / ft3)
- V = volumen de líquido desplazado (ft3)
Si trabaja en unidades del SI, B está en newtons, g en newton por metro cúbico y V en metros cúbicos.
En la figura 1(b) b, a, b, c y d son del mismo tamaño. Las fuerzas de flotabilidad en a y c son las mismas, aunque su profundidad es diferente. No hay fuerza de flotación en d ya que el líquido no puede pasar por debajo para producir la fuerza. La fuerza de flotabilidad en b es la mitad de la de a y c, ya que solo la mitad del objeto está sumergido.
Problema 7. ¿Cuál es la fuerza de flotación en un cubo de madera de 3 pies de lados flotando en el agua, si el bloque está medio sumergido?
B = 62.4 lb/ft3 × 3 ft × 3 ft × 1.5 ft = 842.4 lb
Problema 8. ¿Cuál es el peso aparente de un bloque de acero de 3 m3 totalmente sumergido en glicerina?
- Peso del acero en el aire = 3 × 76,93 kN = 230,8 kN
- Fuerza de flotabilidad sobre el acero = 3 × 12,4 kN = 37,2 kN
- Peso aparente = 230,8 - 37,2 = 193,6 kN (19,75 Mg)
Problema 9. En un tubo en U, de sección uniforme, se coloca mercurio y agua. Si el desnivel
del mercurio (peso específico, 13,6) es de 3,4 cm, ¿cuál es la altura del agua en
la otra rama?
En un tubo en forma de U, de sección uniforme, lleno con dos líquidos inmiscibles, la presión en ambos puntos de la misma altura es la misma.
En este caso, la presión en el fondo de cada rama del tubo en forma de U es la misma, ya que están en el mismo nivel y el tubo tiene sección uniforme. Esto significa que la presión ejercida por el mercurio en el fondo de la rama del mercurio es igual a la presión ejercida por el agua en el fondo de la otra rama del tubo.
Podemos utilizar la ecuación de presión hidrostática para calcular la presión en el fondo de cada rama:
presión = peso específico * altura * gravedad
Para el mercurio, el peso específico es de 13,6 (g/cm3 o kg/m3, dependiendo de la unidad utilizada), y la altura es de 3,4 cm. Para el agua, el peso específico es de 1 (g/cm3 o kg/m3, dependiendo de la unidad utilizada), y la altura es desconocida. Sin embargo, como la presión es la misma en ambas ramas, podemos igualar las ecuaciones de presión para el mercurio y el agua:
peso específico del mercurio * altura del mercurio * gravedad = peso específico del agua * altura del agua * gravedad
Despejando la altura del agua, obtenemos:
altura del agua = (peso específico del mercurio / peso específico del agua) * altura del mercurio = (13,6 / 1) * 3,4 cm = 46,24 cm
Por lo tanto, la altura del agua en la otra rama del tubo es de 46,24 cm. Se puede evitar confusión aclarando que las unidades están expresadas en g/cm³, y que no es necesario multiplicar por "g" porque se usa la relación relativa entre densidades.
Problema 10. Si en un tubo en forma de U se coloca agua y luego se vierte un líquido que provoca un desnivel de agua de 22 cm y de 29 cm del otro liquido, ¿Cuál es el peso específico de ese líquido?
En un tubo en forma de U lleno con dos líquidos inmiscibles, la presión en ambos puntos de la misma altura es la misma.
En este caso, el desnivel de 22 cm del agua en una rama del tubo significa que la presión en la parte inferior del agua es mayor que la presión en la parte inferior de la otra rama del tubo. Esto se debe a que la columna de agua en la primera rama del tubo es más alta que la columna de agua en la segunda rama del tubo. De manera similar, el desnivel de 29 cm del otro líquido en la segunda rama del tubo significa que la presión en la parte inferior del otro líquido es mayor que la presión en la parte inferior del agua en la primera rama del tubo.
Podemos utilizar la ecuación de presión hidrostática para calcular la presión en el fondo de cada rama del tubo:
presión = peso específico * altura * gravedad
Para el agua, el peso específico es de 1 (g/cm3 o kg/m3, dependiendo de la unidad utilizada), y la altura es de 22 cm en la primera rama del tubo y desconocida en la segunda rama del tubo. Para el otro líquido, el peso específico es desconocido y la altura es de 29 cm en la segunda rama del tubo y desconocida en la primera rama del tubo.
Como la presión en el fondo de cada rama del tubo es la misma, podemos igualar las dos ecuaciones de presión:
peso específico del agua * altura del agua en la primera rama * gravedad = peso específico del otro líquido * altura del otro líquido en la segunda rama * gravedad
Despejando el peso específico del otro líquido, obtenemos:
peso específico del otro líquido = (peso específico del agua * altura del agua en la primera rama) / altura del otro líquido en la segunda rama
Sustituyendo los valores conocidos, tenemos:
peso específico del otro líquido = (1 * 22 cm) / 29 cm = 0.7586 g/cm3
Por lo tanto, el peso específico del otro líquido es de aproximadamente 0.7586 g/cm3.
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